Gravitační problém dvou těl - Gravitational two-body problem

Další relevantní matematický vývoj viz také Problém dvou těl, Keplerova dráha, Keplerův problém, a Rovnice středu.

The gravitační problém dvou těl se týká pohybu dvou bodových částic, které interagují pouze navzájem kvůli gravitace. To znamená, že vlivy jakéhokoli třetího těla jsou zanedbávány. Pro přibližné výsledky, které jsou často vhodné. Znamená to také, že se obě těla navzájem vyhýbají, tj. Ne kolidovat a jedno tělo neprochází druhým atmosféra. I když ano, teorie stále platí pro tu část oběžné dráhy, kde tomu tak není. Kromě těchto úvah lze sféricky symetrické tělo aproximovat bodovou hmotou.

Běžné příklady zahrnují části a vesmírný let kde kosmická loď nepodléhá pohonu a atmosférické efekty jsou zanedbatelné a jediné nebeské těleso v drtivé většině dominuje gravitačním vlivům. Dalšími běžnými příklady jsou oběžná dráha a měsíc kolem a planeta a planety kolem a hvězda a dvě hvězdy obíhající kolem sebe (a binární hvězda ).

Řešení

The snížená hmotnost vynásobený relativním zrychlením mezi těmito dvěma tělesy se rovná gravitační síle. Ta je úměrná součinu dvou hmotností, který se rovná redukované hmotnosti dělené součtem hmotností. V diferenciální rovnici se tedy dva výskyty redukované hmoty navzájem ruší a dostaneme stejnou diferenciální rovnici jako pro polohu velmi malého tělesa obíhajícího kolem tělesa s hmotností rovnou součtu obou hmot.

Dvě těla se stejnou hmotou obíhající kolem společného barycentrum s eliptickými drahami.

Dvě těla s mírným rozdílem v Hmotnost obíhající kolem obyčejného barycentrum. Velikosti a tento konkrétní typ oběžné dráhy jsou podobné Pluto –Charone Systém.

Převzít:

vektor r je poloha jednoho těla vůči druhému
${displaystyle r}$ , ${displaystyle vequiv {frac {dr} {dt}}}$ , poloviční hlavní osa ${displaystyle a}$ a specifický relativní moment hybnosti ${displaystyle h}$ jsou definovány odpovídajícím způsobem (tedy ${displaystyle r}$ je vzdálenost)
${displaystyle h}$ je celkem moment hybnosti děleno redukovanou hmotou
${displaystyle mu = G (m_ {1} + m_ {2})}$ , standardní gravitační parametr (součet těch pro každou hmotnost)^[1]

kde:

${displaystyle m_ {1}}$ a ${displaystyle m_ {2}}$ jsou masy dvou těl.

Pak:

obecné řešení je (viz také orbitální rovnice a problém dvou těles pro sílu inverzního čtverce ):

{displaystyle u (heta) equiv {frac {1} {r (heta)}} = {frac {mu} {h ^ {2}}} (1 + ecos (heta - heta _ {0}))}

pro všechny nezáporné

{displaystyle e}

, volal excentricita; tady

{displaystyle heta}

je skutečná anomálie, což je úhel mezi aktuální polohou obíhajícího objektu a místem na oběžné dráze, ve kterém je nejblíže k centrálnímu tělesu (tzv. periapsis ).

polohy orgánů vzhledem k barycentrum jsou ${displaystyle m_ {2} / (m_ {1} + m_ {2})}$ a ${displaystyle -m_ {1} / (m_ {1} + m_ {2})}$ krát roběžné dráhy obou těles jsou podobný kuželovité úseky; stejné poměry platí pro rychlosti a bez minusu pro rychlosti moment hybnosti a pro kinetické energie, vše s ohledem na barycentrum
pro kruhové dráhy ${displaystyle rv ^ {2} = r ^ {3} omega ^ {2} = 4pi ^ {2} r ^ {3} / T ^ {2} = mu}$
pro eliptické dráhy: ${displaystyle 4pi ^ {2} a ^ {3} / T ^ {2} = mu}$ (s A vyjádřeno v AU a T v letech a s M celková hmotnost vzhledem k hmotnosti Slunce, dostaneme ${displaystyle a ^ {3} / T ^ {2} = M}$ )
pro parabolické trajektorie ${displaystyle rv ^ {2}}$ je konstantní a rovno ${displaystyle 2mu}$
vzorce pro specifická orbitální energie ${displaystyle epsilon}$ platí se specifickým potenciálem a kinetickou energií a jejich součtem jako součty systému vydělené redukovanou hmotou; kinetická energie menšího těla je větší; potenciální energie celého systému se rovná potenciální energii jednoho těla vzhledem k druhému, tj. minus energie potřebná k úniku z druhého, je-li druhý udržován ve stálé poloze; toto by nemělo být zaměňováno s menším množstvím energie, které jedno tělo potřebuje k útěku, pokud se druhé tělo také vzdaluje, opačným směrem: v takovém případě je celková energie, kterou oba potřebují k úniku, stejná jako výše uvedené množství ; zachování energie pro každou hmotu znamená, že zvýšení kinetické energie je doprovázeno snížením potenciální energie, která je pro každou hmotu vnitřním součinem síly a změnou polohy vzhledem k barycentru, nikoli vzhledem k jiné hmotě
pro eliptické a hyperbolické dráhy ${displaystyle mu = 2amid epsilon uprostřed}$

Zvažte například dvě tělesa, jako je Slunce obíhající kolem sebe:

zmenšená hmotnost je polovina hmotnosti jednoho Slunce (jedna čtvrtina celkové hmotnosti)
ve vzdálenosti 1 AU: oběžná doba je ${displaystyle {1 nad 2} {sqrt {2}}}$ rok, stejně jako by oběžná doba Země byla, kdyby mělo Slunce dvojnásobek své skutečné hmotnosti; celková energie na kg snížené hmotnosti (90 MJ / kg) je dvakrát větší než u systému Země – Slunce (45 MJ / kg); celková energie na kg celkové hmotnosti (22,5 MJ / kg) je polovina celkové energie na kg hmotnosti Země v systému Země – Slunce (45 MJ / kg)
ve vzdálenosti 2 AU (každá po oběžné dráze jako Země kolem Slunce): oběžná doba je 2 roky, stejně jako oběžná doba Země by byla, kdyby Slunce mělo jednu čtvrtinu své skutečné hmotnosti
ve vzdálenosti ${displaystyle {sqrt [{3}] {2}} přibližně 1,26}$ AU: oběžná doba je 1 rok, stejně jako oběžná doba Země kolem Slunce

Podobně druhá Země ve vzdálenosti od Země rovná se

{displaystyle {sqrt [{3}] {2}}}

krát obvyklá vzdálenost geosynchronní dráhy bude geosynchronní.

Příklady

Žádný klasický systém dvou částic je podle definice problém dvou těl. V mnoha případech je však jedna částice podstatně těžší než druhá, např Země a slunce. V takových případech je těžší částice přibližně středem hmoty a snížená hmotnost je přibližně hmotností lehčí. S těžší hmotou lze tedy zacházet zhruba jako s pevným středem síly a pohyb lehčí hmoty lze řešit přímo metodami jednoho těla.

V jiných případech jsou však hmotnosti obou těles zhruba stejné, takže ani jednomu z nich nelze přiblížit, že jsou v klidu. Mezi astronomické příklady patří:

A binární hvězda, např. Alfa Centauri (přibližně stejná hmotnost)
A dvojitá planeta, např. Pluto s jeho měsícem Charone (hmotnostní poměr 0,147)
A binární asteroid, např. 90 Antiope (přibližně stejná hmotnost)

Viz také

Poznámky

^ Všimněte si, že μ je ne the snížená hmotnost na této straně.

[1] Všimněte si, že μ je ne the snížená hmotnost na této straně.

[1]