Ultrarelativistický limit - Ultrarelativistic limit

v fyzika se nazývá částice ultrarelativistické když je jeho rychlost velmi blízká rychlosti světla $C$ .

Výraz pro relativistická energie a částice s odpočinková hmota $m$ a hybnost $p$ je dána

{displaystyle E ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4} + p ^ {2} c ^ {2}.}

Energie ultrarelativistické částice je téměř úplně dána její hybností ( $ks ≫ mc 2$ ), a lze je tedy aproximovat pomocí $E = ks$ . To může vyplývat z udržování hmotnosti pevné a zvýšení $p$ na velmi velké hodnoty (obvyklý případ); nebo zadržením energie $E$ pevná a zmenšující se hmota $m$ na zanedbatelné hodnoty. Ten se používá k odvození oběžných drah nehmotných částic, jako je foton od hmotných částic (srov. Keplerův problém v obecné relativitě ).

Obecně platí, že ultrarelativistický limit výrazu je výsledný zjednodušený výraz, když $ks ≫ mc 2$ předpokládá se. Nebo podobně v limitu, kde Lorentzův faktor $y = 1/ \sqrt 1 - proti 2 / C 2$ je velmi velký ( $y ≫ 1$ ).^[1]

Výraz včetně hodnoty hmotnosti

I když je možné použít aproximaci ${displaystyle E = pc}$ , toto zanedbává všechny informace o hmotnosti. V některých případech dokonce s ${displaystyle pgg m}$ , hmotnost nemusí být ignorována, jako při odvození kmitání neutrin. Jednoduchý způsob, jak tyto hromadné informace uchovat, je použití a Taylorova expanze spíše než jednoduchý limit. Následující odvození předpokládá ${displaystyle c = 1}$ (a ultrarelativistický limit ${displaystyle pcgg mc ^ {2}}$ ). Bez ztráty obecnosti lze zobrazit stejné, včetně příslušných ${displaystyle c}$ podmínky.

Derivace

${displaystyle E = (p ^ {2} + m ^ {2}) ^ {1/2}}$
${displaystyle E = p (1+ {frac {m ^ {2}} {p ^ {2}}}) ^ {1/2}}$

Obecný výraz ${displaystyle (1 + x) ^ {1/2}}$ lze rozšířit Taylor, což dává:

${displaystyle (1 + x ^ {2}) ^ {1/2} = 1 + {frac {x ^ {2}} {2}} - {frac {x ^ {4}} {8}} + .. .}$

Použitím pouze prvních dvou termínů to lze nahradit výše uvedeným výrazem (s ${displaystyle {frac {m} {p}}}$ jednat jako ${displaystyle x}$ ), tak jako:

${displaystyle E = p (1+ {frac {m ^ {2}} {2p ^ {2}}})}$
${displaystyle E = p + {frac {m ^ {2}} {2p}}}$

Ultrarelativistické aproximace

Níže uvádíme několik ultrarelativistických aproximací v jednotkách s $C = 1$ . The rychlost je označen $φ$ :

$1 - proti \approx 1 ⁄ 2 y 2$
$E - p = E (1 - proti) \approx m 2 ⁄ 2 E = m ⁄ 2 y$
$φ \approx ln (2 y)$
Pohyb s konstantní správnou akcelerací: $d \approx E aτ /(2 A)$ , kde $d$ je ujetá vzdálenost, $A = dφ / dτ$ je správné zrychlení (s $aτ ≫ 1$ ), $τ$ je správný čas a jízda začíná v klidu a beze změny směru zrychlení (viz správné zrychlení Více podrobností).
Opravená kolize cíle s ultrarelativistickým pohybem těžiště: $E CM \approx \sqrt 2 E 1 E 2$ } kde $E 1$ a $E 2$ jsou energie částice a cíle (v uvedeném pořadí) $E 1 ≫ E 2$ ), a $E CM$ je energie ve středu hmotného rámce.

Přesnost aproximace

Pro výpočty energie částice platí relativní chyba ultrarelativistického limitu pro rychlost $proti = 0.95 C$ je o $10$ %, a pro $proti = 0.99 C$ je to prostě $2$ %. Pro částice jako např neutrina, jehož $y$ (Lorentzův faktor ) jsou obvykle výše $106$ ( $proti$ prakticky k nerozeznání od $C$ ), aproximace je v podstatě přesná.

Další limity

Opačný případ ( $ks ≪ mc 2$ ) je tzv klasická částice, kde je jeho rychlost mnohem menší než $C$ a tak jeho energii lze odhadnout na $E = mc 2 + p 2 ⁄ 2 m$ .

Viz také

Poznámky

^ Dieckmann 2005.

Reference

Dieckmann, M. E. (2005). "Částicová simulace ultrarelativistické nestability dvou proudů". Phys. Rev. Lett. 94 (15): 155001. Bibcode:2005PhRvL..94o5001D. doi:10.1103 / PhysRevLett.94.155001. PMID 15904153.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[FOOTNOTEDieckmann2005-1] Dieckmann 2005.

[1]