Efektivní potenciál - Effective potential

The efektivní potenciál (také známý jako efektivní potenciální energie) kombinuje více, možná protichůdné efekty, do jednoho potenciálu. V základní formě je to součet „protichůdných“ odstředivý potenciální energie s potenciální energie a dynamický systém. Může být použit k určení oběžné dráhy planet (obojí Newtonian a relativistické ) a provádět poloklasické atomové výpočty a často umožňuje redukci problémů na méně rozměry.

Definice

Efektivní potenciál. E> 0 hyperbola a A₁ je pericentrum, E = 0 parabola a A₂ je pericentrum, E <0 elipsa a A₃ je pericentrum A₃'je apocentrum, E = E_min kruh a A₄ je poloměr. Body A₁, ..., A₄ se nazývají body obratu.

Základní forma potenciálu ${ displaystyle U _ { text {eff}}}$ je definován jako:

${ displaystyle U _ { text {eff}} ( mathbf {r}) = { frac {L ^ {2}} {2 mu r ^ {2}}} + U ( mathbf {r})}$,

kde

L je moment hybnosti

r je vzdálenost mezi dvěma hmotami

μ je snížená hmotnost ze dvou těl (přibližně stejná jako hmotnost obíhajícího tělesa, pokud je jedna hmota mnohem větší než druhá); a

U (r) je obecná forma potenciál.

Efektivní síla je tedy záporná spád efektivního potenciálu:

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {F} _ { text {eff}} & = - nabla U _ { text {eff}} ( mathbf {r}) & = { frac { L ^ {2}} { mu r ^ {3}}} { hat { mathbf {r}}} - nabla U ( mathbf {r}) end {zarovnáno}}}$kde ${ displaystyle { hat { mathbf {r}}}}$ označuje jednotkový vektor v radiálním směru.

Důležité vlastnosti

Existuje mnoho užitečných funkcí efektivního potenciálu, jako např

${ displaystyle U _ { text {eff}} leq E}$.

Chcete-li najít poloměr kruhové oběžné dráhy, jednoduše minimalizujte efektivní potenciál vzhledem k ${ displaystyle r}$, nebo ekvivalentně nastavit čistou sílu na nulu a poté vyřešit pro ${ displaystyle r_ {0}}$:

${ displaystyle { frac {dU _ { text {eff}}} {dr}} = 0}$

Po vyřešení pro ${ displaystyle r_ {0}}$, zapojte to zpět ${ displaystyle U _ { text {eff}}}$ najít maximální hodnotu efektivního potenciálu ${ displaystyle U _ { text {eff}} ^ { text {max}}}$.

Kruhová dráha může být buď stabilní, nebo nestabilní. Pokud je nestabilní, malé narušení by mohlo destabilizovat oběžnou dráhu, ale stabilní oběžná dráha je stabilnější. Chcete-li určit stabilitu kruhové oběžné dráhy, určete konkávnost efektivního potenciálu. Pokud je konkávnost kladná, oběžná dráha je stabilní:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} U _ { text {eff}}} {dr ^ {2}}}> 0}$

Frekvence malých oscilací, pomocí základních Hamiltonian analýza, je

${ displaystyle omega = { sqrt { frac {U _ { text {eff}} ''} {m}}}}$,

kde dvojité prime označuje druhou derivaci efektivního potenciálu vzhledem k ${ displaystyle r}$ a je hodnocena minimálně.

Gravitační potenciál

Vizualizace efektivního potenciálu v rovině obsahující oběžnou dráhu (model šedé gumy s fialovými konturami stejného potenciálu), Lagrangeovy body (červená) a planeta (modrá) obíhající kolem hvězdy (žlutá)^[1]

Zvažte částici hmoty m obíhající mnohem těžší hmotný objekt M. Převzít Newtonovská mechanika, který je klasický i nerelativistický. Zachování energie a moment hybnosti dát dvě konstanty E a L, které mají hodnoty

${ displaystyle E = { frac {1} {2}} m vlevo ({ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} { dot { phi}} ^ {2} vpravo ) - { frac {GmM} {r}},}$

${ displaystyle L = mr ^ {2} { dot { phi}} ,}$

když je pohyb větší hmoty zanedbatelný. V těchto výrazech

${ displaystyle { dot {r}}}$ je derivace r vzhledem k času,

${ displaystyle { dot { phi}}}$ je úhlová rychlost hmotym,

G je gravitační konstanta,

E je celková energie a

L je moment hybnosti.

Jsou zapotřebí pouze dvě proměnné, protože pohyb probíhá v rovině. Nahrazení druhého výrazu do prvního a přeskupení dává

${ displaystyle m { dot {r}} ^ {2} = 2E - { frac {L ^ {2}} {mr ^ {2}}} + { frac {2GmM} {r}} = 2E- { frac {1} {r ^ {2}}} vlevo ({ frac {L ^ {2}} {m}} - 2GmMr vpravo),}$

${ displaystyle { frac {1} {2}} m { dot {r}} ^ {2} = E-U _ { text {eff}} (r),}$

kde

${ displaystyle U _ { text {eff}} (r) = { frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}} - { frac {GmM} {r}}}$

je efektivní potenciál.^{[Poznámka 1]} Původní problém se dvěma proměnnými byl snížen na problém s jednou proměnnou. U mnoha aplikací lze s efektivním potenciálem zacházet přesně jako s potenciální energií jednorozměrného systému: například energetický diagram využívající efektivní potenciál určuje body obratu a umístění stabilních a nestabilních rovnováhy. Podobná metoda může být použita v jiných aplikacích, například při určování oběžných drah v obecné relativistické podobě Schwarzschildova metrika.

Efektivní potenciály jsou široce používány v různých podpolech kondenzovaných látek, např. Gauss-core potenciál (Likos 2002, Baeurle 2004) a promítán Coulombův potenciál (Likos 2001).

Poznámky

Reference

• José, JV; Saletan, EJ (1998). Klasická dynamika: moderní přístup (1. vyd.). Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-63636-0..
• Likos, C.N .; Rosenfeldt, S .; Dingenouts, N .; Ballauff, M.; Lindner, P .; Werner, N .; Vögtle, F .; et al. (2002). „Gaussova efektivní interakce mezi pružnými dendrimery čtvrté generace: teoretická a experimentální studie“. J. Chem. Phys. 117 (4): 1869–1877. Bibcode:2002JChPh.117.1869L. doi:10.1063/1.1486209. Archivovány od originál dne 19. 7. 2011.

• Baeurle, S.A .; Kroener J. (2004). „Modelování efektivních interakcí micelárních agregátů iontových povrchově aktivních látek s potenciálem Gauss-Core“. J. Math. Chem. 36 (4): 409–421. doi:10.1023 / B: JOMC.0000044526.22457.bb.

• Likos, C.N. (2001). "Efektivní interakce ve fyzice měkkých kondenzovaných látek". Fyzikální zprávy. 348 (4–5): 267–439. Bibcode:2001PhR ... 348..267L. CiteSeerX  10.1.1.473.7668. doi:10.1016 / S0370-1573 (00) 00141-1.