Vepsaný úhel - Inscribed angle

Vepsaný úhel θ je polovina středového úhlu 2θ který podmaňuje stejný oblouk na kruhu. Tedy úhel θ se nemění, když se jeho vrchol pohybuje po kruhu.

v geometrie, an vepsaný úhel je úhel vytvořené v interiéru a kruh když dva sekanční linie protínají kruh. Lze jej také definovat jako úhel podřízený v bodě v kruhu dvěma danými body v kruhu.

Ekvivalentně je vepsaný úhel definován dvěma akordy kruhu sdílejícího koncový bod.

The věta o vepsaném úhlu se týká opatření vepsaného úhlu k úhlu středový úhel totéž oblouk.

Vepsaná věta o úhlu se objeví jako Proposition 20 v knize 3 z Euklidovy „prvky“.

Teorém

Prohlášení

Pro pevné body A a B, množina bodů M v rovině, pro kterou je úhel AMB je rovnýα je oblouk kruhu. Míra ∠ AOB, kde Ó je střed kruhu, je 2α.

Vepsaná věta o úhlu uvádí, že úhel θ vepsaný do kruhu je polovina středového úhlu 2θ že subtends stejný oblouk na kruhu. Úhel se proto nezmění vrchol se přesune na různé pozice v kruhu.

Důkaz

Napsané úhly, kde jeden akord je průměr

Případ: Jeden akord je průměr

Nechat Ó být středem kruhu, jako na obrázku vpravo. Vyberte dva body v kruhu a zavolejte jim PROTI a A. Nakreslete čáru VO a rozšířená minulost Ó tak, aby protínala kruh v bodě B který je diametrálně opačně bod PROTI. Nakreslete úhel, jehož vrchol je bod PROTI a jehož strany procházejí body A a B.

Nakreslete čáru OA. Úhel BOA je středový úhel; říkej tomu θ. Čáry OV a OA jsou oba poloměry kruhu, takže mají stejnou délku. Proto trojúhelník VOA je rovnoramenný, takže úhel BVA (vepsaný úhel) a úhel VAO jsou rovny; ať je každý z nich označen jako ψ.

Úhly BOA a AOV jsou doplňkový. Přidávají až 180 °, od linie VB procházející Ó je přímka. Proto úhel AOV měří 180 ° -θ.

Je známo, že tři úhly a trojúhelník přidat až 180 ° a tři úhly trojúhelníku VOA jsou:

180° − θ

ψ

ψ.

Proto,

${ displaystyle 2 psi +180 ^ { circ} - theta = 180 ^ { circ}.}$

Odečtěte 180 ° od obou stran,

${ displaystyle 2 psi = theta,}$

kde θ je středový úhel oblouku AB a ψ je vepsaný úhel oblouku AB.

Vepsané úhly se středem kruhu v jejich vnitřku

Případ: Střed vnitřního úhlu

Je dán kruh, jehož střed je bod Ó, zvolte tři body PROTI, C, a D na kruhu. Kreslit čáry VC a VD: úhel DVC je vepsaný úhel. Nyní nakreslete čáru VO a prodloužit ji za bod Ó tak, aby protínala kruh v bodě E. Úhel DVC subtends arc DC na kruhu.

Předpokládejme, že tento oblouk obsahuje bod E v něm. Směřovat E je diametrálně opačný k bodu PROTI. Úhly DVE a EVC jsou také vepsané úhly, ale oba tyto úhly mají jednu stranu, která prochází středem kruhu, proto na ně lze použít větu z výše uvedené části 1.

Proto,

${ displaystyle úhel DVC = úhel DVE + úhel EVC.}$

pak nech

${ displaystyle psi _ {0} = úhel DVC,}$

${ displaystyle psi _ {1} = úhel DVE,}$

${ displaystyle psi _ {2} = úhel EVC,}$

aby

${ displaystyle psi _ {0} = psi _ {1} + psi _ {2}. qquad qquad (1)}$

Kreslit čáry OC a OD. Úhel DOC je středový úhel, ale stejně tak úhly SRNA a EOC, a

${ displaystyle angle DOC = úhel DOE + úhel EOC.}$

Nechat

${ displaystyle theta _ {0} = úhel DOC,}$

${ displaystyle theta _ {1} = úhel DOE,}$

${ displaystyle theta _ {2} = úhel EOC,}$

aby

${ displaystyle theta _ {0} = theta _ {1} + theta _ {2}. qquad qquad (2)}$

Z první části to víme ${ displaystyle theta _ {1} = 2 psi _ {1}}$ a to ${ displaystyle theta _ {2} = 2 psi _ {2}}$. Kombinace těchto výsledků s výnosy rovnice (2)

${ displaystyle theta _ {0} = 2 psi _ {1} +2 psi _ {2} = 2 ( psi _ {1} + psi _ {2})}$

tedy rovnicí (1),

${ displaystyle theta _ {0} = 2 psi _ {0}.}$

Vepsané úhly se středem kruhu v jejich zevnějšku

Případ: Vycentrovat vnější do úhlu

Předchozí případ lze rozšířit tak, aby pokrýval případ, kdy míra vepsaného úhlu je rozdíl mezi dvěma vepsanými úhly, jak je popsáno v první části tohoto důkazu.

Je dán kruh, jehož střed je bod Ó, zvolte tři body PROTI, C, a D na kruhu. Kreslit čáry VC a VD: úhel DVC je vepsaný úhel. Nyní nakreslete čáru VO a prodloužit ji za bod Ó tak, aby protínala kruh v bodě E. Úhel DVC subtends arc DC na kruhu.

Předpokládejme, že tento oblouk nezahrnuje bod E v něm. Směřovat E je diametrálně opačný k bodu PROTI. Úhly EVD a EVC jsou také vepsané úhly, ale oba tyto úhly mají jednu stranu, která prochází středem kruhu, proto na ně lze použít větu z výše uvedené části 1.

Proto,

${ displaystyle úhel DVC = úhel EVC- úhel EVD}$.

pak nech

${ displaystyle psi _ {0} = úhel DVC,}$

${ displaystyle psi _ {1} = úhel EVD,}$

${ displaystyle psi _ {2} = úhel EVC,}$

aby

${ displaystyle psi _ {0} = psi _ {2} - psi _ {1}. qquad qquad (3)}$

Kreslit čáry OC a OD. Úhel DOC je středový úhel, ale stejně tak úhly EOD a EOC, a

${ displaystyle angle DOC = úhel EOC- úhel EOD.}$

Nechat

${ displaystyle theta _ {0} = úhel DOC,}$

${ displaystyle theta _ {1} = úhel EOD,}$

${ displaystyle theta _ {2} = úhel EOC,}$

aby

${ displaystyle theta _ {0} = theta _ {2} - theta _ {1}. qquad qquad (4)}$

Z první části to víme ${ displaystyle theta _ {1} = 2 psi _ {1}}$ a to ${ displaystyle theta _ {2} = 2 psi _ {2}}$. Kombinace těchto výsledků s výnosy rovnice (4)

${ displaystyle theta _ {0} = 2 psi _ {2} -2 psi _ {1}}$

tedy rovnicí (3),

${ displaystyle theta _ {0} = 2 psi _ {0}.}$

Důsledek

Podobným argumentem je úhel mezi a akord a tečna čára v jednom z jejích průsečíků se rovná polovině středového úhlu podřízeného akordu. Viz také Tečné čáry ke kruhům.

Aplikace

Vepsaný úhel teorém se používá v mnoha důkazech elementárního Euklidovská geometrie roviny. Zvláštní případ věty je Thalesova věta, kde se uvádí, že úhel zmenšený a průměr je vždy 90 °, tj. pravý úhel. Důsledkem věty jsou opačné úhly cyklické čtyřstěny součet do 180 °; naopak, jakýkoli čtyřúhelník, pro který to platí, může být zapsán do kruhu. Jako další příklad je zapsaná úhlová věta základem pro několik vět vztahujících se k síla bodu s ohledem na kruh. Dále umožňuje jednomu dokázat, že když se dva akordy protínají v kruhu, produkty délek jejich částí jsou stejné.

Vepsané věty o úhlu pro elipsy, hyperboly a paraboly

Vepsané věty o úhlu existují i ​​pro elipsy, hyperboly a paraboly. Podstatnými rozdíly jsou měření úhlu. (Úhel je považován za dvojici protínajících se čar.)

• Elipsa
• Hyperbola
• Parabola

Reference

• Ogilvy, C. S. (1990). Exkurze v geometrii. Doveru. str.17–23. ISBN  0-486-26530-7.
• Gellert W, Küstner H, Hellwich M, Kästner H (1977). Stručná encyklopedie matematiky VNR. New York: Van Nostrand Reinhold. str. 172. ISBN  0-442-22646-2.
• Moise, Edwin E. (1974). Elementární geometrie z pokročilého hlediska (2. vyd.). Čtení: Addison-Wesley. str. 192–197. ISBN  0-201-04793-4.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Vepsaný úhel“. MathWorld.
• Vztah mezi středovým úhlem a vepsaným úhlem
• Žvýkání na zapsaných úhlech na cut-the-uzel
• Centrální úhel oblouku S interaktivní animací
• Oblouk Periferní (vepsaný) úhel S interaktivní animací
• Věta o středním úhlu oblouku S interaktivní animací
• Na bookofproofs.org