Pytagorova čárka - Pythagorean comma

Pytagorova čárka (531441: 524288) na C

Pythagorova čárka na C pomocí Zápis Ben Johnstona. Poznámka zobrazená jako nižší na hůlce (B♯+++ ) je o něco vyšší v hřišti (než C.♮).

Pythagorova čárka (PC) definované v Pytagorejské ladění jako rozdíl mezi půltóny (A1 - m2) nebo interval mezi enhanarmonicky ekvivalentní poznámky (od D♭ do C.♯). The zmenšená sekunda má stejnou šířku, ale opačný směr (od do C♯ do D.♭).

v hudební ladění, Pytagorova čárka (nebo ditonic čárka^[A]), pojmenovaný po starověkém matematikovi a filozofovi Pythagoras, je malý interval (nebo čárka ) existující v Pytagorejské ladění mezi dvěma enhanarmonicky ekvivalentní poznámky jako C a B.♯ (Hrát si (Pomoc ·informace )) nebo D♭ a C.♯.^[1] Rovná se frekvenční poměr ^(1.5)¹²⁄_2⁷ = ⁵³¹⁴⁴¹⁄₅₂₄₂₈₈ ≈ 1,01364, nebo přibližně 23,46 centů, zhruba čtvrt roku půltón (v rozmezí 75:74 až 74:73^[2]). Čárka, která hudební temperamenty často se odkazuje na temperování, je Pythagorova čárka.^[3]

Pythagorovu čárku lze také definovat jako rozdíl mezi a Pythagorovský apotom a a Pythagorova limma^[4] (tj. mezi chromatickou a diatonickou půltón, jak je stanoveno v Pythagorově ladění), nebo rozdíl mezi dvanácti prostě perfektní pětiny a sedm oktávy nebo rozdíl mezi třemi Pythagorovy ditones a jedna oktáva (to je důvod, proč se pythagorovská čárka také nazývá a ditonic čárka).

The zmenšená sekunda, v Pythagorově ladění, je definován jako rozdíl mezi limma a apotome. Shoduje se tedy s opakem pythagorovské čárky a lze ji považovat za klesající Pytagorova čárka (např. Z C♯ do D.♭), což se rovná asi −23,46 centům.

Derivace

Jak je popsáno v úvodu, Pythagorovu čárku lze odvodit několika způsoby:

Rozdíl mezi dvěma enhanarmonicky ekvivalentní noty v Pythagorově stupnici, například C a B.♯ (Hrát si (Pomoc ·informace )) nebo D♭ a C.♯ (vidět níže ).
Rozdíl mezi Pythagorovský apotom a Pythagorova limma.
Rozdíl mezi dvanácti perfektní pětiny a sedm oktávy.
Rozdíl mezi třemi Pythagorovy ditones (hlavní třetiny ) a jednu oktávu.

Prostě dokonalá pětina má a frekvenční poměr 3: 2. Používá se v Pythagorově ladění společně s oktávou jako měřítko k definování frekvenčního poměru jakékoli jiné noty s ohledem na danou počáteční notu.

Apotome a limma jsou dva druhy půltóny definované v Pythagorově ladění. Jmenovitě, apotom (asi 113,69 centů, např. Od C do C)♯) je chromatický půltón nebo augmented unisono (A1), zatímco limma (asi 90,23 centů, např. z C do D♭) je diatonický půltón nebo menší sekunda (m2).

Diton (nebo hlavní tercie ) je interval tvořený dvěma hlavní tóny. V Pythagorově ladění má hlavní tón velikost asi 203,9 centů (frekvenční poměr 9: 8), tedy Pythagorovský diton je asi 407,8 centů.

Oktávy (7 × 1200 = 8400) versus pětiny (12 × 701,96 = 8423,52), zobrazené jako s Pruty Cuisenaire (červená (2) se používá pro 1200, černá (7) se používá pro 701,96).

Oktávy (1 × 1200 = 1200) versus ditony (3 × 407,82 = 1223,46), zobrazené jako s Pruty Cuisenaire (červená (2) se používá pro 1200, purpurová (4) se používá pro 407,82).

Velikost

Velikost pythagorovské čárky, měřeno v centů, je

{ displaystyle { hbox {apotome}} - { hbox {limma}} přibližně 113,69-90,23 přibližně 23,46 ~ { hbox {centů}} !}

nebo přesněji, pokud jde o frekvenční poměry:

{ displaystyle { frac { hbox {apotome}} { hbox {limma}}} = { frac {3 ^ {7} / 2 ^ {11}} {2 ^ {8} / 3 ^ {5} }} = { frac {3 ^ {12}} {2 ^ {19}}} = { frac {531441} {524288}} = 1,0136432647705078125 !}

Pythagorova čárka zobrazená jako mezera (na pravé straně), která způsobí, že se dvanácticípá hvězda neuzavře, která představuje Pythagorovu stupnici; každý řádek představuje perfektní pětinu. Tato mezera má středový úhel 7,038 stupňů, což je 23,46% z 30 stupňů.

Kruh pátých a enhanarmonická změna

Pythagorovská čárka jako dvanáct spravedlivě vyladila perfektní pětiny v notaci Bena Johnstona.

Pythagorovu čárku lze také považovat za rozpor mezi dvanácti spravedlivě naladěn perfektní pětiny (poměr 3: 2) (hrát si (Pomoc ·informace )) a sedm oktáv (poměr 2: 1):

{ displaystyle { frac { hbox {dvanáct pětin}}} { hbox {sedm oktáv}}} = left ({ tfrac {3} {2}} right) ^ {12} ! ! { Velký /} , 2 ^ {7} = { frac {3 ^ {12}} {2 ^ {19}}} = { frac {531441} {524288}} = 1,0136432647705078125 !}

Vzestup o perfektní pětiny
Poznámka	Pátý	Poměr frekvence	Desetinný poměr
C	0	1 : 1	1
G	1	3 : 2	1.5
D	2	9 : 4	2.25
A	3	27 : 8	3.375
E	4	81 : 16	5.0625
B	5	243 : 32	7.59375
F♯	6	729 : 64	11.390625
C♯	7	2187 : 128	17.0859375
G♯	8	6561 : 256	25.62890625
D♯	9	19683 : 512	38.443359375
A♯	10	59049 : 1024	57.6650390625
E♯	11	177147 : 2048	86.49755859375
B♯ (≈ C)	12	531441 : 4096	129.746337890625

Vzestupně o oktávy
Poznámka	Oktáva	Poměr frekvence
C	0	1 : 1
C	1	2 : 1
C	2	4 : 1
C	3	8 : 1
C	4	16 : 1
C	5	32 : 1
C	6	64 : 1
C	7	128 : 1

V následující tabulce hudební váhy v kruh pětin, Pythagorova čárka je viditelná jako malý interval mezi např. F♯ a G.♭.

6. den♭ a 6♯ váhy * nejsou totožné - i když jsou na klavírní klávesnice - ale ♭ váhy jsou o jednu Pythagorovu čárku nižší. Ignorování tohoto rozdílu vede k enhanarmonická změna.

* Sedm♭ a 5♯5♭ a 7♯ váhy se liší stejným způsobem o jednu Pythagorovu čárku. Váhy s sedm náhodných jsou používány jen zřídka, protože vylepšené harmonické váhy s pěti náhodnými jsou považovány za rovnocenné.

Tento interval má vážné důsledky pro různé ladění schémata chromatická stupnice, protože v západní hudbě 12 dokonalých pětin a sedm oktáv se považuje za stejný interval. Stejný temperament, dnes nejběžnější ladicí systém používaný na Západě, to sladil tím, že každou pětinu zploštil o dvanáctinu Pythagorovy čárky (přibližně 2 centy), čímž vytvořil dokonalé oktávy.

Další způsob, jak to vyjádřit, je, že právě pátá má frekvenční poměr (ve srovnání s tonikem) 3: 2 nebo 1,5: 1, zatímco sedmý půltón (založený na 12 stejných logaritmických děleních oktáv) je sedmou silou dvanáctý kořen ze dvou nebo 1,4983 ... na 1, což není úplně stejné (asi 0,1%). Vezměte pouhou pětinu na dvanáctou mocninu, poté odečtěte sedm oktáv a dostanete Pythagorovu čárku (asi 1,4% rozdíl).

Dějiny

První, kdo zmínil podíl čárky 531441: 524288, byl Euklid, který bere jako základ celý tón Pytagorova ladění s poměrem 9: 8, oktávu s poměrem 2: 1 a číslo A = 262144. Došel k závěru, že zvýšení tohoto čísla o šest celých tónů přinese hodnotu G, která je větší než ta, která se získá zvýšením o oktávu (dvakrát A). Dává G za 531441.^[5] Potřebné výpočty zní:

Výpočet G:

{ displaystyle 262144 cdot left ( textstyle { frac {9} {8}} right) ^ {6} = 531441}

Výpočet dvojnásobku A:

{ displaystyle 262144 cdot left ( textstyle { frac {2} {1}} right) ^ {1} = 524288}

Čínští matematici věděli o pytagorovské čárce již v roce 122 př. Nl (její výpočet je podrobně uveden v Huainanzi ) a kolem 50 př. n.l., Ching Fang objevil, že pokud by cyklus dokonalých pětin pokračoval po 12 až do 53, byl by rozdíl mezi tímto 53. a počátečním hřištěm mnohem menší než Pythagorova čárka. Tento mnohem menší interval byl později pojmenován Mercatorova čárka (vidět: historie 53 stejného temperamentu ).

U George Russella Lydianský chromatický koncept tonální organizace (1953), poloviční krok mezi Lydian Tonic a ♭2 ve svých pozměněných stupnicích Major and Minor Auxiliary Diminished Blues je teoreticky založen na intervalu Pythagorovy čárky.^[6]

Viz také

Poznámky

^ nesmí být zaměňována s diatonická čárka, známější jako syntonická čárka, což se rovná frekvenčnímu poměru 81:80 nebo přibližně 21,51 centů. Viz: Johnston B. (2006). „Maximální jasnost“ a další texty o hudbě, editoval Bob Gilmore. Urbana: University of Illinois Press. ISBN 0-252-03098-2.

Reference

^ Apel, Willi (1969). Harvardský hudební slovník, str. 188. ISBN 978-0-674-37501-7. „... rozdíl mezi dvěma půltóny Pythagorovy stupnice ...“
^ Ginsburg, Jekuthiel (2003). Scripta Mathematica, str.287. ISBN 978-0-7661-3835-3.
^ Coyne, Richard (2010). Ladění místa: Společenské prostory a všudypřítomná digitální média, str.45. ISBN 978-0-262-01391-8.
^ Kottick, Edward L. (1992). Příručka majitele cembala, str.151. ISBN 0-8078-4388-1.
^ Euklid: Katatome kanonos (lat. Sectio canonis). Engl. překlad in: Andrew Barker (ed.): Řecké hudební spisy. Sv. 2: Harmonická a akustická teorie, Cambridge Mass .: Cambridge University Press, 2004, s. 190–208, zde: s. 199.
^ Russell, George (2001) [1953]. George Russell Lydian chromatický koncept tonální organizace. První díl: Umění a věda tonální gravitace (čtvrtý (druhý tisk, opraveno, 2008) ed.). Brookline, Massachusetts: Concept Publishing Company. 17, 57-59. ISBN 0-9703739-0-2.

[1] smí být zaměňována s diatonická čárka, známější jako syntonická čárka, což se rovná frekvenčnímu poměru 81:80 nebo přibližně 21,51 centů. Viz: Johnston B. (2006). „Maximální jasnost“ a další texty o hudbě, editoval Bob Gilmore. Urbana: University of Illinois Press. ISBN 0-252-03098-2.

[2] Apel, Willi (1969). Harvardský hudební slovník, str. 188. ISBN 978-0-674-37501-7. „... rozdíl mezi dvěma půltóny Pythagorovy stupnice ...“

[3] Ginsburg, Jekuthiel (2003). Scripta Mathematica, str.287. ISBN 978-0-7661-3835-3.

[4] Coyne, Richard (2010). Ladění místa: Společenské prostory a všudypřítomná digitální média, str.45. ISBN 978-0-262-01391-8.

[5] Kottick, Edward L. (1992). Příručka majitele cembala, str.151. ISBN 0-8078-4388-1.

[6] Euklid: Katatome kanonos (lat. Sectio canonis). Engl. překlad in: Andrew Barker (ed.): Řecké hudební spisy. Sv. 2: Harmonická a akustická teorie, Cambridge Mass .: Cambridge University Press, 2004, s. 190–208, zde: s. 199.

[7] Russell, George (2001) [1953]. George Russell Lydian chromatický koncept tonální organizace. První díl: Umění a věda tonální gravitace (čtvrtý (druhý tisk, opraveno, 2008) ed.). Brookline, Massachusetts: Concept Publishing Company. 17, 57-59. ISBN 0-9703739-0-2.

[A]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]