Primitivní permutační skupina - Primitive permutation group

v matematika, a permutační skupina G herectví na neprázdnou konečnou množinu X je nazýván primitivní -li G činy přechodně na X a G nezachovává žádné netriviální rozdělit z X, kde netriviální oddíl znamená oddíl, který není oddílem do samostatných sad nebo oddílem do jedné sady X. Jinak, pokud G je tranzitivní a G zachovává netriviální oddíl, G je nazýván pozitivní.

Zatímco primitivní permutační skupiny jsou podle definice tranzitivní, ne všechny tranzitivní permutační skupiny jsou primitivní. Požadavek, aby primitivní skupina byla tranzitivní, je nezbytný, pouze když X je 2-prvková sada a akce je triviální; jinak podmínka, že G zachovává žádný netriviální oddíl, to znamená G je tranzitivní. Důvodem je, že u netranzitivních akcí je buď oběžné dráhy z G vytvoří netriviální oddíl konzervovaný G, nebo je skupinová akce triviální, v takovém případě jakýkoli netriviální oddíl X (který existuje pro |X|≥3) je konzervován G.

Tuto terminologii zavedl Évariste Galois ve svém posledním dopise, ve kterém použil francouzský výraz équation primitive pro rovnici, jejíž Galoisova skupina je primitivní.^[1]

Ve stejném dopise uvedl také následující větu.

Li G je primitivní řešitelná skupina působící na konečnou množinu X, pak pořadí X je síla a prvočíslo str, X lze identifikovat pomocí afinní prostor přes konečné pole s str prvky a G jedná X jako podskupina afinní skupina.

Příkladem skupiny je permimační permutační skupina indukovaná reprezentace; příklady zahrnují coset reprezentace G/H v případech, kdy H není maximální podskupina. Když H je maximální, cosetová reprezentace je primitivní.

Pokud je sada X je konečný, jeho mohutnost se nazývá stupeň z G. Počty primitivních skupin malého stupně byly uvedeny podle Robert Carmichael v roce 1937:

Existuje velké množství primitivních skupin stupně 16. Jak poznamenává Carmichael, všechny tyto skupiny, s výjimkou symetrický a střídavý skupina, jsou podskupiny skupiny afinní skupina na 4-dimenzionálním prostoru nad 2-prvkem konečné pole.

Příklady

• Zvažte symetrická skupina ${ displaystyle S_ {3}}$ působící na scéně ${ displaystyle X = {1,2,3 }}$ a obměna

${ displaystyle eta = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 end {pmatrix}}.}$

Oba ${ displaystyle S_ {3}}$ a skupina generovaná uživatelem ${ displaystyle eta}$ jsou primitivní.

• Nyní zvažte symetrická skupina ${ displaystyle S_ {4}}$ působící na scéně ${ displaystyle {1,2,3,4 }}$ a obměna

${ displaystyle sigma = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 2 & 3 & 4 & 1 end {pmatrix}}.}$

Skupina generovaná uživatelem ${ displaystyle sigma}$ není primitivní, protože oddíl ${ displaystyle (X_ {1}, X_ {2})}$ kde ${ displaystyle X_ {1} = {1,3 }}$ a ${ displaystyle X_ {2} = {2,4 }}$ je zachována pod ${ displaystyle sigma}$, tj. ${ displaystyle sigma (X_ {1}) = X_ {2}}$ a ${ displaystyle sigma (X_ {2}) = X_ {1}}$.

• Každá tranzitivní skupina primárního stupně je primitivní
• The symetrická skupina ${ displaystyle S_ {n}}$ působící na scéně ${ displaystyle {1, ldots, n }}$ je primitivní pro každého n a střídavá skupina ${ displaystyle A_ {n}}$ působící na scéně ${ displaystyle {1, ldots, n }}$ je primitivní pro každéhon > 2.

Viz také

• Blok (teorie permutačních skupin)
• Jordanova věta (symetrická skupina)

Reference

• Roney-Dougal, Colva M. Primitivní permutační skupiny stupně menší než 2 500, Journal of Algebra 292 (2005), č. 1, 154–183.
• The MEZERA Datová knihovna "Primitivní permutační skupiny".
• Carmichael, Robert D., Úvod do teorie skupin konečných objednávek. Ginn, Boston, 1937. Přetištěno v Dover Publications, New York, 1956.
• Todd Rowland. „Primitivní skupinová akce“. MathWorld.