McLaughlin sporadická skupina - McLaughlin sporadic group

Algebraická struktura → Skupinová teorie
Skupinová teorie
Cyklická skupina.svg
Konečné skupiny
Klasifikace konečných jednoduchých skupin

V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, McLaughlinova skupina McL je sporadická jednoduchá skupina z objednat

   27 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 7 ⋅ 11 = 898,128,000
≈ 9×108.

Historie a vlastnosti

McL je jednou z 26 sporadických skupin a objevil ho Jack McLaughlin (1969 ) jako podskupina indexu 2 permutační skupiny 3. úrovně působící na McLaughlinův graf s 275 = 1 + 112 + 162 vrcholy. Opravuje to 2-2-3 trojúhelník v Mřížka pijavice a je tedy podskupinou Skupiny Conway , , a . Své Multiplikátor Schur má objednávku 3 a její vnější skupina automorfismu má pořadí 2. Skupina 3. McL: 2 je maximální podskupinou skupiny Lyonsova skupina.

McL má jednu třídu konjugace involuce (prvek řádu 2), jejíž centralizátor je maximální podskupina typu 2.A8. Toto má střed řádu 2; kvocient modulo střed je izomorfní se střídavou skupinou A8.

Zastoupení

V Skupina Conway Spol3, McL má normalizátor McL: 2, který je v Co3.

McL má 2 třídy maximálních podskupin izomorfních s Skupina Mathieu M22. Vnější automorfismus zaměňuje dvě třídy M.22 skupiny. Tento vnější automorfismus je realizován na McL vloženém jako podskupina společnosti Co3.

Pohodlné znázornění M.22 je v permutačních maticích na posledních 22 souřadnicích; opravuje trojúhelník 2-2-3 s vrcholy počátku a typ 2 bodů X = (−3, 123) a y = (−4,-4,022)'. Okraj trojúhelníku X-y = (1, 5, 122) je typ 3; je stanovena společností Co3. Tohle m22 je monomiální, a maximální, podskupina zastoupení společnosti McL.

Wilson (2009) (str. 207) ukazuje, že podskupina McL je dobře definována. V Mřížka pijavice, předpokládejme bod typu 3 proti je opraven instancí . Spočítejte 2 body typu w takový, že vnitřní produkt proti·w = 3 (a tedy proti-w je typ 2). Ukazuje, že jejich počet je 552 = 23⋅3⋅23 a že tato Co3 je na nich tranzitivní w.

| McL | = | Co3 | / 552 = 898 128 000.

McL je jediná sporadická skupina, která připouští neredukovatelné reprezentace kvartérní typ. Má 2 taková znázornění, jedno z dimenze 3520 a druhé z dimenze 4752.

Maximální podskupiny

Finkelstein (1973) našel 12 tříd konjugace maximálních podskupin McL takto:

  • U4(3) objednat 3265920 index 275 - bodový stabilizátor jeho působení na McLaughlinově grafu
  • M22 objednávka 443520 index 2025 (dvě třídy, kondenzované pod vnějším automorfismem)
  • U3(5) objednejte si 126 000 indexů 7 128
  • 31+4: 2.S5 objednat 58 320 index 15 400
  • 34:M10 objednat 58 320 index 15 400
  • L3(4):22 objednat 40 320 index 22 275
  • 2.A8 objednávka 40 320 index 22 275 - centralizátor involuce
  • 24:A7 objednávka 40 320 index 22 275 (dvě třídy, kondenzované pod vnějším automorfismem)
  • M11 objednat 7 920 index 113 400
  • 5+1+2: 3: 8 objednat 3 000 index 299 376

Hodiny konjugace

Jsou zobrazeny stopy matic ve standardní 24rozměrné reprezentaci McL. [1] Názvy tříd konjugace jsou převzaty z Atlasu reprezentací konečných skupin.[2]

Jsou zobrazeny cyklické struktury v permutačním zastoupení hodnosti 3, stupeň 275, McL.[3]

TřídaPořadí centralizátoruPočet prvkůStopaTyp cyklu
1A898,128,000124
2A40,32034 ⋅ 52 ⋅ 118135, 2120
3A29,16024 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅ 11-315, 390
3B97223 ⋅ 3 ⋅ 53 ⋅ 7 ⋅ 116114, 387
4A9622 ⋅ 35 ⋅ 53 ⋅ 7 ⋅ 11417, 214, 460
5A75026 ⋅ 35 ⋅ ⋅ 7 ⋅ 11-1555
5B2527 ⋅ 36 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11415, 554
6A36024 ⋅ 34 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅ 11515, 310, 640
6B3625 ⋅ 34 ⋅ 53 ⋅ 7 ⋅ 11212, 26, 311, 638
7A1426 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 11312, 739výkonový ekvivalent
7B1426 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 11312, 739
8A824 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 7 ⋅ 1121, 23, 47, 830
9A2727 ⋅ 33 ⋅ 53 ⋅ 7 ⋅ 11312, 3, 930výkonový ekvivalent
9B2727 ⋅ 33 ⋅ 53 ⋅ 7 ⋅ 11312, 3, 930
10A1026 ⋅ 35 ⋅ 53 ⋅ 7 ⋅ 11357, 1024
11A1127 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 721125výkonový ekvivalent
11B1127 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 721125
12A1225 ⋅ 35 ⋅ 53 ⋅ 7 ⋅ 1111, 22, 32, 64, 1220
14A1426 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 1112, 75, 1417výkonový ekvivalent
14B1426 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 1112, 75, 1417
15A3026 ⋅ 35 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅ 1125, 1518výkonový ekvivalent
15B3026 ⋅ 35 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅ 1125, 1518
30A3026 ⋅ 35 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅ 1105, 152, 308výkonový ekvivalent
30B3026 ⋅ 35 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅ 1105, 152, 308

Zobecněný monstrózní měsíční svit

Hlavní článek: Zobecněný měsíční svit

Conway a Norton ve svém příspěvku z roku 1979 navrhli, že monstrózní měsíční svit se neomezuje pouze na monstrum. Larissa Queen a další následně zjistili, že lze z mnoha jednoduchých kombinací dimenzí sporadických skupin sestrojit expanze mnoha Hauptmoduln. Pro Skupiny Conway, příslušná série McKay – Thompson je a .

Reference

  1. ^ Conway a kol. (1985)
  2. ^ http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/permrep/McLG1-p275B0
  3. ^ http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/permrep/McLG1-p275B0
  • Conway, J. H;; Curtis, R. T .; Norton, S. P.; Parker, R. A .; a Wilson, R. A.: "Atlas konečných skupin: maximální podskupiny a běžné znaky pro jednoduché skupiny.„Oxford, Anglie 1985.
  • Finkelstein, Larry (1973), „Maximální podskupiny Conwayovy skupiny C3 a McLaughlinova skupina ", Journal of Algebra, 25: 58–89, doi:10.1016/0021-8693(73)90075-6, ISSN  0021-8693, PAN  0346046
  • Griess, Robert L. Jr. (1998), Dvanáct sporadických skupinSpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, PAN  1707296
  • McLaughlin, Jack (1969), „Jednoduchá skupina objednávky 898 128 000“, v Brauer, R.; Sah, Chih-han (eds.), Teorie konečných grup (Symposium, Harvard Univ., Cambridge, Massachusetts, 1968), Benjamin, New York, s. 109–111, PAN  0242941
  • Wilson, Robert A. (2009), Konečné jednoduché skupiny, Postgraduální texty z matematiky 251, 251, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN  978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012

externí odkazy