Ortogonální doplněk - Orthogonal complement

V matematický pole lineární algebra a funkční analýza, ortogonální doplněk a podprostor Ž a vektorový prostor PROTI vybaven a bilineární forma B je sada Ž^⊥ všech vektorů v PROTI to jsou ortogonální ke každému vektoru v Ž. Neformálně se tomu říká pachatel, zkratka pro kolmý doplněk. Je to podprostor PROTI.

Příklad

V případě, že Ž je podprostor ${ displaystyle V = mathbb {R} ^ {5}}$ (s obvyklým Tečkovaný produkt ) překlenutý řádky další matice,

${ displaystyle { begin {pmatrix} { begin {array} {cc} 1 & 0 0 & 1 end {array}} & { begin {array} {ccc} 2 & 3 & 5 hline 6 & 9 & 3 hline end {pole}} end {pmatrix}}}$

jeho ortogonální doplněk Ž^⊥ je překlenuto třemi řadovými vektory z

${ displaystyle { begin {pmatrix} { begin {pole} {c | c |} -2 & -6 - 3 & -9 - 5 & -3 end {pole}} & { begin { array} {ccc} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array}} end {pmatrix}}}$.

Skutečnost, že každý vektor v prvním seznamu je kolmý ke každému vektoru v druhém seznamu, lze ověřit přímým výpočtem. Skutečnost, že rozpětí těchto vektorů jsou ortogonální, následuje bilinearitou tečkového produktu. Nakonec skutečnost, že tyto prostory jsou ortogonální komplementy, vyplývá z níže uvedených dimenčních vztahů.

Obecné bilineární formy

Nechat ${ displaystyle V}$ být vektorovým prostorem nad polem ${ displaystyle F}$ vybaven a bilineární forma ${ displaystyle B}$. Definujeme ${ displaystyle u}$ být zleva kolmý na ${ displaystyle v}$, a ${ displaystyle v}$ být pravoúhlý na ${ displaystyle u}$, když ${ displaystyle B (u, v) = 0}$. Pro podmnožinu ${ displaystyle W}$ z ${ displaystyle V}$ definujeme levý ortogonální doplněk ${ displaystyle W ^ { bot}}$ být

${ displaystyle W ^ { bot} = left {x ve V: B (x, y) = 0 { mbox {pro všechny}} y ve W right }.}$

Existuje odpovídající definice pravého ortogonálního doplňku. Pro reflexní bilineární forma, kde ${ displaystyle B (u, v) = 0}$ naznačuje ${ displaystyle B (v, u) = 0}$ pro všechny ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle V}$, levé a pravé doplňky se shodují. Bude tomu tak v případě, že ${ displaystyle B}$ je symetrický nebo střídavá forma.

Definice se vztahuje na bilineární formu na a bezplatný modul přes komutativní prsten, a na a sesquilineární forma rozšířen o libovolný volný modul přes komutativní prsten s časování.^[1]

Vlastnosti

• Ortogonální doplněk je podprostorem ${ displaystyle V}$;
• Li ${ displaystyle X podmnožina Y}$ pak ${ displaystyle X ^ { bot} supset Y ^ { bot}}$;
• The radikální ${ displaystyle V ^ { bot}}$ z ${ displaystyle V}$ je podprostorem každého ortogonálního doplňku;
• ${ displaystyle W podmnožina (W ^ { bot}) ^ { bot}}$;
• Li ${ displaystyle B}$ je nedegenerovaný a ${ displaystyle V}$ je tedy konečně-dimenzionální ${ displaystyle dim (W) + dim (W ^ { bot}) = dim V}$.
• Li ${ displaystyle L_ {1}, L_ {2}, ldots, L_ {r}}$ jsou podprostory prostoru konečných rozměrů ${ displaystyle V}$ a ${ displaystyle L _ {*} = L_ {1} čepice L_ {2} čepice ldots čepice L_ {r}}$, pak ${ displaystyle L _ {*} ^ { bot} = L_ {1} ^ { bot} + L_ {2} ^ { bot} + ldots + L_ {r} ^ { bot}}$.

Vnitřní produktové prostory

Tato část se zabývá ortogonálními doplňky v vnitřní produktové prostory.^[2]

Vlastnosti

Ortogonální doplněk je v metrické topologii vždy uzavřen. V konečných dimenzionálních prostorech je to pouze příklad skutečnosti, že jsou uzavřeny všechny podprostory vektorového prostoru. V nekonečně dimenzionálním Hilbertovy prostory, některé podprostory nejsou uzavřeny, ale všechny ortogonální doplňky jsou uzavřeny. V takových prostorech je ortogonální doplněk ortogonálního doplňku ${ displaystyle W}$ je uzavření z ${ displaystyle W}$, tj.,

${ displaystyle (W ^ { bot}) ^ { bot} = { overline {W}}}$.

Některé další užitečné vlastnosti, které vždy platí, jsou následující. Nechat ${ displaystyle H}$ být Hilbertovým prostorem a nechat ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ být jeho lineárními podprostory. Pak:

• ${ displaystyle X ^ { bot} = { overline {X}} ^ { bot}}$;
• -li ${ displaystyle Y podmnožina X}$, pak ${ displaystyle X ^ { bot} podmnožina Y ^ { bot}}$;
• ${ displaystyle X cap X ^ { bot} = {0 }}$;
• ${ displaystyle X subseteq (X ^ { bot}) ^ { bot}}$;
• -li ${ displaystyle X}$ je uzavřený lineární podprostor o ${ displaystyle H}$, pak ${ displaystyle (X ^ { bot}) ^ { bot} = X}$;
• -li ${ displaystyle X}$ je uzavřený lineární podprostor o ${ displaystyle H}$, pak ${ displaystyle H = X oplus X ^ { bot}}$, vnitřní) přímý součet.

Ortogonální doplněk se zobecňuje na zničit a dává Galoisovo spojení na podmnožinách vnitřního produktového prostoru, s přidruženými operátor uzavření topologické uzavření rozpětí.

Konečné rozměry

Pro konečný trojrozměrný vnitřní prostor produktu dimenze n, ortogonální doplněk a k-dimenzionální podprostor je (n − k)-dimenzionální podprostor a dvojitý ortogonální doplněk je původní podprostor:

(Ž^⊥)^⊥ = Ž.

Li A je m × n matice, kde Řádek A, Plk A, a Nula A odkazovat na řádkový prostor, sloupcový prostor, a prázdný prostor z A (respektive), máme

(Řádek A)^⊥ = Null A

(Plk A)^⊥ = Null A^T.^[3]

Banachovy prostory

Obecně existuje přirozený analog tohoto pojmu Banachovy prostory. V tomto případě definujeme ortogonální doplněk Ž být podprostorem dvojí z PROTI definováno podobně jako zničit

${ displaystyle W ^ { bot} = left {, x ve V ^ {*}: forall y in W, x (y) = 0 , right }. ,}$

Vždy jde o uzavřený podprostor o PROTI^∗. Existuje také analogie vlastnosti dvojitého doplňku. Ž^⊥⊥ je nyní podprostorem PROTI^∗∗ (který není totožný s PROTI). Nicméně reflexní prostory mít přírodní izomorfismus i mezi PROTI a PROTI^∗∗. V tomto případě máme

${ displaystyle i { overline {W}} = W ^ { bot , bot}.}$

Jedná se o poměrně přímý důsledek Hahnova – Banachova věta.

Aplikace

v speciální relativita ortogonální doplněk se používá k určení simultánní nadrovina v bodě a světová linie. Bilineární forma η použitá v Minkowského prostor určuje a pseudoeuklidovský prostor událostí. Původ a všechny události na serveru světelný kužel jsou samoortogonální. Když čas událost a prostor událost vyhodnotit na nulu pod bilineární formou, pak jsou hyperbolicko-ortogonální. Tato terminologie vychází z použití dvou konjugovaných hyperbol v pseudoeuklidovské rovině: průměry konjugátu z těchto hyperbolas jsou hyperbolicko-ortogonální.

Viz také

• Doplněná mříž
• Doplněný podprostor

Reference

• Adkins, William A .; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: Přístup prostřednictvím teorie modulů, Postgraduální texty z matematiky, 136, Springer-Verlag, ISBN  3-540-97839-9, Zbl  0768.00003
• Halmos, Paul R. (1974), Konečně-dimenzionální vektorové prostory, Pregraduální texty z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90093-3, Zbl  0288.15002
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symetrické bilineární formuláře, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 73, Springer-Verlag, ISBN  3-540-06009-X, Zbl  0292.10016

externí odkazy

• Instruktážní video popisující ortogonální doplňky (Khan Academy)