Omezené částečné kvocienty - Restricted partial quotients - Wikipedia

v matematika, a zejména v analytické teorii pravidelné pokračující zlomky, nekonečný pravidelný pokračující zlomek X se říká, že je omezený, nebo složený z omezené částečné kvocienty, pokud je posloupnost jmenovatelů jeho dílčích kvocientů omezená; to je

${ displaystyle x = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, dots] = a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1} + { cfrac {1} {a_ {2} + { cfrac {1} {a_ {3} + { cfrac {1} {a_ {4} + ddots}}}}}}}} = a_ {0} + { podmnožina {i = 1} { overset { infty} {K}}} { frac {1} {a_ {i}}}, ,}$

a existuje nějaké kladné celé číslo M takové, že všichni (integrální) dílčí jmenovatelé A_i jsou menší nebo rovny M.^[1][2]

Periodické pokračující frakce

Pravidelný periodická pokračující frakce sestává z konečného počátečního bloku dílčích jmenovatelů, za nímž následuje opakující se blok; -li

${ displaystyle zeta = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, tečky, a_ {k}, { overline {a_ {k + 1}, a_ {k + 2}, tečky , a_ {k + m}}}], ,}$

pak ζ je a kvadratická iracionální číslo a jeho reprezentace jako pravidelného pokračujícího zlomku je periodická. Je zřejmé, že každý pravidelný periodický zlomek se skládá z omezených dílčích kvocientů, protože žádný z dílčích jmenovatelů nemůže být větší než největší z A₀ přes A_k+m. Historicky matematici studovali periodické zlomky, než zvážili obecnější koncept omezených parciálních podílů.

Omezené CF a sada Cantor

The Cantor set je sada C z změřit nulu ze kterého je kompletní interval reálných čísel lze sestrojit jednoduchým sčítáním - to znamená, že jakékoli reálné číslo z intervalu lze vyjádřit jako součet přesně dvou prvků množiny C. Obvyklý důkaz existence sady Cantor je založen na myšlence děrování „díry“ uprostřed intervalu, potom děrování otvorů ve zbývajících dílčích intervalech a opakování tohoto procesu ad infinitum.

Proces přidání jednoho dílčího kvocientu do konečné konečné frakce je v mnoha ohledech analogický s tímto procesem „děrování díry“ v intervalu reálných čísel. Velikost „díry“ je nepřímo úměrná dalšímu zvolenému dílčímu jmenovateli - pokud je další dílčí jmenovatel 1, je mezera mezi po sobě jdoucími konvergenty Aby byly následující věty přesné, budeme uvažovat CF (M), množina omezených pokračujících zlomků, jejichž hodnoty leží v otevřeném intervalu (0, 1) a jejichž dílčí jmenovatelé jsou ohraničeni kladným celým číslem M - to je,

${ displaystyle mathrm {CF} (M) = {[0; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, tečky]: 1 leq a_ {i} leq M }. ,}$

Vytvořením argumentu paralelního s argumentem použitým ke konstrukci sady Cantor lze dosáhnout dvou zajímavých výsledků.

• Li M ≥ 4, pak libovolné reálné číslo v intervalu lze sestrojit jako součet dvou prvků z CF (M), kde je interval dán vztahem

${ displaystyle (2 krát [0; { overline {M, 1}}], 2 krát [0; { overline {1, M}}]) = left ({ frac {1} {M }} left [{ sqrt {M ^ {2} + 4M}} - M right], { sqrt {M ^ {2} + 4M}} - M right).}$

• To ukazuje jednoduchý argument ${ displaystyle { scriptstyle [0; { overline {1, M}}] - [0; { overline {M, 1}}] geq { frac {1} {2}}}}$ drží, když M ≥ 4, a to zase znamená, že pokud M ≥ 4, každé reálné číslo může být reprezentováno ve formě n + CF₁ + CF₂, kde n je celé číslo a CF₁ a CF₂ jsou prvky CF (M).^[3]

Zarembova domněnka

Zaremba předpokládal existenci absolutní konstanty A, takže racionály s částečnými kvocienty omezeny A obsahovat alespoň jeden pro každého (kladné celé číslo) jmenovatele. Volba A = 5 je kompatibilní s číselnými údaji.^[4] Další domněnky tuto hodnotu snižují v případě všech dostatečně velkých jmenovatelů.^[5] Jean Bourgain a Alex Kontorovich to ukázali A lze zvolit tak, aby závěr platil pro sadu jmenovatelů hustoty 1.^[6]

Viz také

• Markovovo spektrum

Reference