Spojuje velmi obecnou nekonečnou řadu s nekonečným pokračujícím zlomkem.
V analytická teorie z pokračující zlomky , Eulerův pokračující zlomkový vzorec je identita spojující určitý velmi obecný nekonečná řada s nekonečným pokračující zlomek . Poprvé publikováno v roce 1748, bylo to nejprve považováno za prostou identitu spojující konečný součet s konečným zlomkem takovým způsobem, že bylo okamžitě patrné rozšíření nekonečného případu.[1] konvergenční problém pro nekonečné pokračující zlomky se složitými prvky.
Původní vzorec Euler odvodil vzorec jako spojení konečného součtu produktů s konečným pokračující zlomek .
A 0 + A 0 A 1 + A 0 A 1 A 2 + ⋯ + A 0 A 1 A 2 ⋯ A n = A 0 1 − A 1 1 + A 1 − A 2 1 + A 2 − ⋱ ⋱ A n − 1 1 + A n − 1 − A n 1 + A n { displaystyle a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + cdots + a_ {0} a_ {1} a_ {2} cdots a_ {n } = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2}} {1 + a_ {2} - { cfrac { ddots} { ddots { cfrac {a_ {n-1}} {1 + a_ {n-1} - { cfrac {a_ {n}} {1 + a_ {n}}}}}} }}}}}}} ,} Identitu snadno určí indukce na n , a je tedy použitelný v limitu: pokud je výraz vlevo rozšířen tak, aby představoval a konvergentní nekonečná řada , výraz vpravo lze také rozšířit tak, aby představoval konvergentní nekonečno pokračující zlomek .
Toto je psáno kompaktněji pomocí zobecněný pokračující zlomek notace:
A 0 + A 0 A 1 + A 0 A 1 A 2 + ⋯ + A 0 A 1 A 2 ⋯ A n = A 0 1 + − A 1 1 + A 1 + − A 2 1 + A 2 + ⋯ − A n 1 + A n . { displaystyle a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + cdots + a_ {0} a_ {1} a_ {2} cdots a_ {n } = { frac {a_ {0}} {1 +}} , { frac {-a_ {1}} {1 + a_ {1} +}} , { cfrac {-a_ {2}} {1 + a_ {2} +}} cdots { frac {-a_ {n}} {1 + a_ {n}}}.} Eulerův vzorec Li r i X je definováno
X = 1 + ∑ i = 1 ∞ r 1 r 2 ⋯ r i = 1 + ∑ i = 1 ∞ ( ∏ j = 1 i r j ) , { displaystyle x = 1 + součet _ {i = 1} ^ { infty} r_ {1} r_ {2} cdots r_ {i} = 1 + součet _ {i = 1} ^ { infty} left ( prod _ {j = 1} ^ {i} r_ {j} right) ,,} pak lze tuto rovnost dokázat indukcí
X = 1 1 − r 1 1 + r 1 − r 2 1 + r 2 − r 3 1 + r 3 − ⋱ { displaystyle x = { cfrac {1} {1 - { cfrac {r_ {1}} {1 + r_ {1} - { cfrac {r_ {2}} {1 + r_ {2} - { cfrac {r_ {3}} {1 + r_ {3} - ddots}}}}}}}} ,} Rovnost zde je třeba chápat jako rovnocennost v tom smyslu, že n'th konvergentní každé pokračující frakce se rovná n'tému dílčímu součtu výše uvedené řady. Pokud je tedy zobrazená řada konvergentní - nebo jednotně konvergentní, když r i z - potom se spojité frakce také sbíhají nebo konvergují jednotně.[2]
Důkaz indukcí Věta: Nechť n { displaystyle n} n + 1 { displaystyle n + 1} A 0 , A 1 , … , A n { displaystyle a_ {0}, a_ {1}, ldots, a_ {n}}
∑ k = 0 n ∏ j = 0 k A j = A 0 1 + − A 1 1 + A 1 + ⋯ − A n 1 + A n { displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} prod _ {j = 0} ^ {k} a_ {j} = { frac {a_ {0}} {1 +}} , { frac {-a_ {1}} {1 + a_ {1} +}} cdots { frac {-a_ {n}} {1 + a_ {n}}}} a pro n { displaystyle n} b 1 , … , b n { displaystyle b_ {1}, ldots, b_ {n}} − b 1 1 + b 1 + − b 2 1 + b 2 + ⋯ − b n 1 + b n ≠ − 1. { displaystyle { frac {-b_ {1}} {1 + b_ {1} +}} , { frac {-b_ {2}} {1 + b_ {2} +}} cdots { frac {-b_ {n}} {1 + b_ {n}}} neq -1.}
Důkaz: Provádíme dvojitou indukci. Pro n = 1 { displaystyle n = 1}
A 0 1 + − A 1 1 + A 1 = A 0 1 + − A 1 1 + A 1 = A 0 ( 1 + A 1 ) 1 = A 0 + A 0 A 1 = ∑ k = 0 1 ∏ j = 0 k A j { displaystyle { frac {a_ {0}} {1 +}} , { frac {-a_ {1}} {1 + a_ {1}}} = { frac {a_ {0}} {1 + { frac {-a_ {1}} {1 + a_ {1}}}}} = { frac {a_ {0} (1 + a_ {1})} {1}} = a_ {0} + a_ {0} a_ {1} = součet _ {k = 0} ^ {1} prod _ {j = 0} ^ {k} a_ {j}} a
− b 1 1 + b 1 ≠ − 1. { displaystyle { frac {-b_ {1}} {1 + b_ {1}}} neq -1.} Nyní předpokládejme, že obě tvrzení jsou pro některé pravdivá n ≥ 1 { displaystyle n geq 1}
My máme − b 1 1 + b 1 + − b 2 1 + b 2 + ⋯ − b n + 1 1 + b n + 1 = − b 1 1 + b 1 + X { displaystyle { frac {-b_ {1}} {1 + b_ {1} +}} , { frac {-b_ {2}} {1 + b_ {2} +}} cdots { frac {-b_ {n + 1}} {1 + b_ {n + 1}}} = { frac {-b_ {1}} {1 + b_ {1} + x}}} X = − b 2 1 + b 2 + ⋯ − b n + 1 1 + b n + 1 ≠ − 1 { displaystyle x = { frac {-b_ {2}} {1 + b_ {2} +}} cdots { frac {-b_ {n + 1}} {1 + b_ {n + 1}}} neq -1}
aplikací indukční hypotézy na b 2 , … , b n + 1 { displaystyle b_ {2}, ldots, b_ {n + 1}}
Ale − b 1 1 + b 1 + X = − 1 { displaystyle { frac {-b_ {1}} {1 + b_ {1} + x}} = - 1} b 1 = 1 + b 1 + X { displaystyle b_ {1} = 1 + b_ {1} + x} X = − 1 { displaystyle x = -1}
− b 1 1 + b 1 + − b 2 1 + b 2 + ⋯ − b n + 1 1 + b n + 1 ≠ − 1 , { displaystyle { frac {-b_ {1}} {1 + b_ {1} +}} , { frac {-b_ {2}} {1 + b_ {2} +}} cdots { frac {-b_ {n + 1}} {1 + b_ {n + 1}}} neq -1,} dokončení této indukce.
Všimněte si, že pro X ≠ − 1 { displaystyle x neq -1}
1 1 + − A 1 + A + X = 1 1 − A 1 + A + X = 1 + A + X 1 + X = 1 + A 1 + X ; { displaystyle { frac {1} {1 +}} , { frac {-a} {1 + a + x}} = { frac {1} {1 - { frac {a} {1+ a + x}}}} = { frac {1 + a + x} {1 + x}} = 1 + { frac {a} {1 + x}};} -li X = − 1 − A { displaystyle x = -1-a}
Použitím A = A 1 { displaystyle a = a_ {1}} X = − A 2 1 + A 2 + ⋯ − A n + 1 1 + A n + 1 ≠ − 1 { displaystyle x = { frac {-a_ {2}} {1 + a_ {2} +}} , cdots { frac {-a_ {n + 1}} {1 + a_ {n + 1} }} neq -1} A 1 , A 2 , … , A n + 1 { displaystyle a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n + 1}}
A 0 + A 0 A 1 + A 0 A 1 A 2 + ⋯ + A 0 A 1 A 2 A 3 ⋯ A n + 1 = A 0 + A 0 ( A 1 + A 1 A 2 + ⋯ + A 1 A 2 A 3 ⋯ A n + 1 ) = A 0 + A 0 ( A 1 1 + − A 2 1 + A 2 + ⋯ − A n + 1 1 + A n + 1 ) = A 0 ( 1 + A 1 1 + − A 2 1 + A 2 + ⋯ − A n + 1 1 + A n + 1 ) = A 0 ( 1 1 + − A 1 1 + A 1 + − A 2 1 + A 2 + ⋯ − A n + 1 1 + A n + 1 ) = A 0 1 + − A 1 1 + A 1 + − A 2 1 + A 2 + ⋯ − A n + 1 1 + A n + 1 , { displaystyle { begin {aligned} a_ {0} + & a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + cdots + a_ {0} a_ {1} a_ {2 } a_ {3} cdots a_ {n + 1} & = a_ {0} + a_ {0} (a_ {1} + a_ {1} a_ {2} + cdots + a_ {1} a_ { 2} a_ {3} cdots a_ {n + 1}) & = a_ {0} + a_ {0} { big (} { frac {a_ {1}} {1 +}} , { frac {-a_ {2}} {1 + a_ {2} +}} , cdots { frac {-a_ {n + 1}} {1 + a_ {n + 1}}} { big) } & = a_ {0} { big (} 1 + { frac {a_ {1}} {1 +}} , { frac {-a_ {2}} {1 + a_ {2} + }} , cdots { frac {-a_ {n + 1}} {1 + a_ {n + 1}}} { big)} & = a_ {0} { big (} { frac {1} {1 +}} , { frac {-a_ {1}} {1 + a_ {1} +}} , { frac {-a_ {2}} {1 + a_ {2} + }} , cdots { frac {-a_ {n + 1}} {1 + a_ {n + 1}}} { big)} & = { frac {a_ {0}} {1+ }} , { frac {-a_ {1}} {1 + a_ {1} +}} , { frac {-a_ {2}} {1 + a_ {2} +}} , cdots { frac {-a_ {n + 1}} {1 + a_ {n + 1}}}, end {zarovnáno}}} dokončení druhé indukce.
Jako příklad výraz A 0 + A 0 A 1 + A 0 A 1 A 2 + A 0 A 1 A 2 A 3 { displaystyle a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} a_ {3}}
A 0 + A 0 A 1 + A 0 A 1 A 2 + A 0 A 1 A 2 A 3 = A 0 ( A 1 ( A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 ) + 1 ) = A 0 1 A 1 ( A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 ) + 1 = A 0 A 1 ( A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 ) + 1 A 1 ( A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 ) + 1 − A 1 ( A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 ) A 1 ( A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 ) + 1 = A 0 1 − A 1 ( A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 ) A 1 ( A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 ) + 1 = A 0 1 − A 1 A 1 ( A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 ) + 1 A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 = A 0 1 − A 1 A 1 ( A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 ) A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 + A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 − A 2 ( A 3 + 1 ) A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 = A 0 1 − A 1 1 + A 1 − A 2 ( A 3 + 1 ) A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 = A 0 1 − A 1 1 + A 1 − A 2 A 2 ( A 3 + 1 ) + 1 A 3 + 1 = A 0 1 − A 1 1 + A 1 − A 2 A 2 ( A 3 + 1 ) A 3 + 1 + A 3 + 1 A 3 + 1 − A 3 A 3 + 1 = A 0 1 − A 1 1 + A 1 − A 2 1 + A 2 − A 3 1 + A 3 { displaystyle { begin {aligned} a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} a_ { 3} & = a_ {0} (a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1) [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} { cfrac {1} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {{ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}} - { cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}} }} = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} { cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} {{ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {2 } (a_ {3} +1) +1}} + { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1) +1} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}} - { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}}}}}} = { cfrac {a_ {0}} { 1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {2} (a_ {3} +1) + 1}}}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2 }} { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1) +1} {a_ {3} +1}}}}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0} } {1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2}} {{ cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {3} +1 }} + { cfrac {a_ {3} +1} {a_ {3} +1}} - { cfrac {a_ {3}} {a_ {3} +1}}}}}}}}} = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2}} {1 + a_ {2} - { cfrac {a_ {3}} {1 + a_ {3}}}}}}}}} end {zarovnáno}}} To lze aplikovat na posloupnost libovolné délky, a proto bude platit také v nekonečném případě.
Příklady Exponenciální funkce Exponenciální funkce E z celá funkce s rozšířením výkonové řady, které rovnoměrně konverguje na každé ohraničené doméně v komplexní rovině.
E z = 1 + ∑ n = 1 ∞ z n n ! = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( ∏ j = 1 n z j ) { displaystyle e ^ {z} = 1 + součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n!}} = 1+ součet _ {n = 1} ^ { infty} left ( prod _ {j = 1} ^ {n} { frac {z} {j}} right) ,} Aplikace Eulerova pokračujícího zlomkového vzorce je přímá:
E z = 1 1 − z 1 + z − 1 2 z 1 + 1 2 z − 1 3 z 1 + 1 3 z − 1 4 z 1 + 1 4 z − ⋱ . { displaystyle e ^ {z} = { cfrac {1} {1 - { cfrac {z} {1 + z - { cfrac {{ frac {1} {2}} z} {1 + { frac {1} {2}} z - { cfrac {{ frac {1} {3}} z} {1 + { frac {1} {3}} z - { cfrac {{ frac {1 } {4}} z} {1 + { frac {1} {4}} z- ddots}}}}}}}}}}. ,} Uplatnění ekvivalenční transformace který spočívá v vymazání zlomků, na které je tento příklad zjednodušený
E z = 1 1 − z 1 + z − z 2 + z − 2 z 3 + z − 3 z 4 + z − ⋱ { displaystyle e ^ {z} = { cfrac {1} {1 - { cfrac {z} {1 + z - { cfrac {z} {2 + z - { cfrac {2z} {3 + z - { cfrac {3z} {4 + z- ddots}}}}}}}}}} ,} a můžeme si být jisti, že tento pokračující zlomek konverguje rovnoměrně na každé ohraničené doméně v komplexní rovině, protože je ekvivalentní k výkonové řadě E z
Přirozený logaritmus The Taylor série pro hlavní větev přirozeného logaritmu v sousedství z = 1 je dobře známo:
log ( 1 + z ) = z − z 2 2 + z 3 3 − z 4 4 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 z n n . { displaystyle log (1 + z) = z - { frac {z ^ {2}} {2}} + { frac {z ^ {3}} {3}} - { frac {z ^ { 4}} {4}} + cdots = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1} z ^ {n}} {n}}. ,} Tato řada konverguje, když |z | <1 a lze jej vyjádřit také jako součet produktů:[3]
log ( 1 + z ) = z + ( z ) ( − z 2 ) + ( z ) ( − z 2 ) ( − 2 z 3 ) + ( z ) ( − z 2 ) ( − 2 z 3 ) ( − 3 z 4 ) + ⋯ { displaystyle log (1 + z) = z + (z) left ({ frac {-z} {2}} right) + (z) left ({ frac {-z} {2}} right) left ({ frac {-2z} {3}} right) + (z) left ({ frac {-z} {2}} right) left ({ frac {-2z } {3}} vpravo) vlevo ({ frac {-3z} {4}} vpravo) + cdots} To ukazuje použití Eulerova pokračujícího zlomkového vzorce na tento výraz
log ( 1 + z ) = z 1 − − z 2 1 + − z 2 − − 2 z 3 1 + − 2 z 3 − − 3 z 4 1 + − 3 z 4 − ⋱ { displaystyle log (1 + z) = { cfrac {z} {1 - { cfrac { frac {-z} {2}} {1 + { frac {-z} {2}} - { cfrac { frac {-2z} {3}} {1 + { frac {-2z} {3}} - { cfrac { frac {-3z} {4}} {1 + { frac {- 3z} {4}} - ddots}}}}}}}}} a použití ekvivalenční transformace k vymazání všech zlomků vede k
log ( 1 + z ) = z 1 + z 2 − z + 2 2 z 3 − 2 z + 3 2 z 4 − 3 z + ⋱ { displaystyle log (1 + z) = { cfrac {z} {1 + { cfrac {z} {2-z + { cfrac {2 ^ {2} z} {3-2z + { cfrac {3 ^ {2} z} {4-3z + ddots}}}}}}}}} z | <1, protože je ekvivalentní k řadě, ze které byl odvozen.[3]
Goniometrické funkce The Taylor série z sinus funkce konverguje po celé komplexní rovině a lze ji vyjádřit jako součet produktů.
hřích X = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! X 2 n + 1 = X − X 3 3 ! + X 5 5 ! − X 7 7 ! + X 9 9 ! − ⋯ = X + ( X ) ( − X 2 2 ⋅ 3 ) + ( X ) ( − X 2 2 ⋅ 3 ) ( − X 2 4 ⋅ 5 ) + ( X ) ( − X 2 2 ⋅ 3 ) ( − X 2 4 ⋅ 5 ) ( − X 2 6 ⋅ 7 ) + ⋯ { displaystyle { begin {aligned} sin x = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1} & = x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { Frac {x ^ {5}} {5!}} - { frac {x ^ {7} } {7!}} + { Frac {x ^ {9}} {9!}} - cdots [8pt] & = x + (x) left ({ frac {-x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) + (x) left ({ frac {-x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) left ({ frac {-x ^ {2 }} {4 cdot 5}} right) + (x) left ({ frac {-x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) left ({ frac {-x ^ {2}} {4 cdot 5}} right) left ({ frac {-x ^ {2}} {6 cdot 7}} right) + cdots end {zarovnáno}}} Potom lze použít Eulerův pokračující zlomkový vzorec
X 1 − − X 2 2 ⋅ 3 1 + − X 2 2 ⋅ 3 − − X 2 4 ⋅ 5 1 + − X 2 4 ⋅ 5 − − X 2 6 ⋅ 7 1 + − X 2 6 ⋅ 7 − ⋱ { displaystyle { cfrac {x} {1 - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {2 cdot 3}} {1 + { frac {-x ^ {2}} {2 cdot 3}} - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {4 cdot 5}} {1 + { frac {-x ^ {2}} {4 cdot 5}} - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {6 cdot 7}} {1 + { frac {-x ^ {2}} {6 cdot 7}} - ddots}}}}}}} }} K vymazání jmenovatelů se používá transformace ekvivalence:
hřích X = X 1 + X 2 2 ⋅ 3 − X 2 + 2 ⋅ 3 X 2 4 ⋅ 5 − X 2 + 4 ⋅ 5 X 2 6 ⋅ 7 − X 2 + ⋱ . { displaystyle sin x = { cfrac {x} {1 + { cfrac {x ^ {2}} {2 cdot 3-x ^ {2} + { cfrac {2 cdot 3x ^ {2} } {4 cdot 5-x ^ {2} + { cfrac {4 cdot 5x ^ {2}} {6 cdot 7-x ^ {2} + ddots}}}}}}}}} Stejný argument lze použít na kosinus funkce:
cos X = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! X 2 n = 1 − X 2 2 ! + X 4 4 ! − X 6 6 ! + X 8 8 ! − ⋯ = 1 + − X 2 2 + ( − X 2 2 ) ( − X 2 3 ⋅ 4 ) + ( − X 2 2 ) ( − X 2 3 ⋅ 4 ) ( − X 2 5 ⋅ 6 ) + ⋯ = 1 1 − − X 2 2 1 + − X 2 2 − − X 2 3 ⋅ 4 1 + − X 2 3 ⋅ 4 − − X 2 5 ⋅ 6 1 + − X 2 5 ⋅ 6 − ⋱ { displaystyle { begin {aligned} cos x = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} x ^ {2n } & = 1 - { frac {x ^ {2}} {2!}} + { Frac {x ^ {4}} {4!}} - { frac {x ^ {6}} {6! }} + { frac {x ^ {8}} {8!}} - cdots [8pt] & = 1 + { frac {-x ^ {2}} {2}} + vlevo ({ frac {-x ^ {2}} {2}} vpravo) vlevo ({ frac {-x ^ {2}} {3 cdot 4}} vpravo) + vlevo ({ frac {- x ^ {2}} {2}} vpravo) vlevo ({ frac {-x ^ {2}} {3 cdot 4}} vpravo) vlevo ({ frac {-x ^ {2} } {5 cdot 6}} right) + cdots [8pt] & = { cfrac {1} {1 - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {2}} {1 + { frac {-x ^ {2}} {2}} - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {3 cdot 4}} {1 + { frac {-x ^ {2 }} {3 cdot 4}} - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {5 cdot 6}} {1 + { frac {-x ^ {2}} {5 cdot 6 }} - ddots}}}}}}}} end {zarovnáno}}} ∴ cos X = 1 1 + X 2 2 − X 2 + 2 X 2 3 ⋅ 4 − X 2 + 3 ⋅ 4 X 2 5 ⋅ 6 − X 2 + ⋱ . { displaystyle proto cos x = { cfrac {1} {1 + { cfrac {x ^ {2}} {2-x ^ {2} + { cfrac {2x ^ {2}} {3 cdot 4-x ^ {2} + { cfrac {3 cdot 4x ^ {2}} {5 cdot 6-x ^ {2} + ddots}}}}}}}}} Inverzní trigonometrické funkce The inverzní trigonometrické funkce lze reprezentovat jako pokračující zlomky.
hřích − 1 X = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ⋅ X 2 n + 1 2 n + 1 = X + ( 1 2 ) X 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) X 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) X 7 7 + ⋯ = X + X ( X 2 2 ⋅ 3 ) + X ( X 2 2 ⋅ 3 ) ( ( 3 X ) 2 4 ⋅ 5 ) + X ( X 2 2 ⋅ 3 ) ( ( 3 X ) 2 4 ⋅ 5 ) ( ( 5 X ) 2 6 ⋅ 7 ) + ⋯ = X 1 − X 2 2 ⋅ 3 1 + X 2 2 ⋅ 3 − ( 3 X ) 2 4 ⋅ 5 1 + ( 3 X ) 2 4 ⋅ 5 − ( 5 X ) 2 6 ⋅ 7 1 + ( 5 X ) 2 6 ⋅ 7 − ⋱ { displaystyle { begin {aligned} sin ^ {- 1} x = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(2n-1) !!} {(2n) !!} } cdot { frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} & = x + left ({ frac {1} {2}} right) { frac {x ^ {3}} {3}} + left ({ frac {1 cdot 3} {2 cdot 4}} right) { frac {x ^ {5}} {5}} + left ({ frac {1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6}} right) { frac {x ^ {7}} {7}} + cdots [8pt] & = x + x left ( { frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} vpravo) + x vlevo ({ frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} vpravo) vlevo ({ frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} vpravo) + x vlevo ({ frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} vpravo) vlevo ({ frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} vpravo) doleva ({ frac {(5x) ^ {2}} {6 cdot 7}} vpravo) + cdots [8pt] & = { cfrac {x} {1 - { cfrac { frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} {1 + { frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} - { cfrac { frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} {1 + { frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} - { cfrac { frac {(5x) ^ {2}} {6 cdot 7}} {1 + { frac {(5x) ^ {2}} {6 cdot 7}} - ddots}}} }}}}} end {zarovnáno}}} Výsledek transformace ekvivalence
hřích − 1 X = X 1 − X 2 2 ⋅ 3 + X 2 − 2 ⋅ 3 ( 3 X ) 2 4 ⋅ 5 + ( 3 X ) 2 − 4 ⋅ 5 ( 5 X 2 ) 6 ⋅ 7 + ( 5 X 2 ) − ⋱ . { displaystyle sin ^ {- 1} x = { cfrac {x} {1 - { cfrac {x ^ {2}} {2 cdot 3 + x ^ {2} - { cfrac {2 cdot 3 (3x) ^ {2}} {4 cdot 5+ (3x) ^ {2} - { cfrac {4 cdot 5 (5x ^ {2})} {6 cdot 7+ (5x ^ {2 }) - ddots}}}}}}}}.} Pokračující zlomek pro inverzní tečna je přímočarý:
opálení − 1 X = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n X 2 n + 1 2 n + 1 = X − X 3 3 + X 5 5 − X 7 7 + ⋯ = X + X ( − X 2 3 ) + X ( − X 2 3 ) ( − 3 X 2 5 ) + X ( − X 2 3 ) ( − 3 X 2 5 ) ( − 5 X 2 7 ) + ⋯ = X 1 − − X 2 3 1 + − X 2 3 − − 3 X 2 5 1 + − 3 X 2 5 − − 5 X 2 7 1 + − 5 X 2 7 − ⋱ = X 1 + X 2 3 − X 2 + ( 3 X ) 2 5 − 3 X 2 + ( 5 X ) 2 7 − 5 X 2 + ⋱ . { displaystyle { begin {seřazeno} tan ^ {- 1} x = součet _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {x ^ {2n + 1} } {2n + 1}} & = x - { frac {x ^ {3}} {3}} + { frac {x ^ {5}} {5}} - { frac {x ^ {7} } {7}} + cdots [8pt] & = x + x left ({ frac {-x ^ {2}} {3}} right) + x left ({ frac {-x ^ {2}} {3}} vpravo) vlevo ({ frac {-3x ^ {2}} {5}} vpravo) + x vlevo ({ frac {-x ^ {2}} { 3}} right) left ({ frac {-3x ^ {2}} {5}} right) left ({ frac {-5x ^ {2}} {7}} right) + cdots [8pt] & = { cfrac {x} {1 - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {3}} {1 + { frac {-x ^ {2}} { 3}} - { cfrac { frac {-3x ^ {2}} {5}} {1 + { frac {-3x ^ {2}} {5}} - { cfrac { frac {-5x ^ {2}} {7}} {1 + { frac {-5x ^ {2}} {7}} - ddots}}}}}}}} [8pt] & = { cfrac {x } {1 + { cfrac {x ^ {2}} {3-x ^ {2} + { cfrac {(3x) ^ {2}} {5-3x ^ {2} + { cfrac {(5x ) ^ {2}} {7-5x ^ {2} + ddots}}}}}}}}. End {zarovnáno}}} Pokračující zlomek pro π Můžeme použít předchozí příklad zahrnující inverzní tangens k vytvoření pokračující zlomkové reprezentace π . Poznamenáváme to
opálení − 1 ( 1 ) = π 4 , { displaystyle tan ^ {- 1} (1) = { frac { pi} {4}},} A nastavení X = 1 v předchozím výsledku získáme okamžitě
π = 4 1 + 1 2 2 + 3 2 2 + 5 2 2 + 7 2 2 + ⋱ . { displaystyle pi = { cfrac {4} {1 + { cfrac {1 ^ {2}} {2 + { cfrac {3 ^ {2}} {2 + { cfrac {5 ^ {2} } {2 + { cfrac {7 ^ {2}} {2+ ddots}}}}}}}}}}. ,} Hyperbolické funkce Připomínajíc vztah mezi hyperbolické funkce a trigonometrické funkce,
hřích i X = i sinh X { displaystyle sin ix = i sinh x} cos i X = hovadina X , { displaystyle cos ix = cosh x,} A to i 2 = − 1 , { displaystyle i ^ {2} = - 1,}
sinh X = X 1 − X 2 2 ⋅ 3 + X 2 − 2 ⋅ 3 X 2 4 ⋅ 5 + X 2 − 4 ⋅ 5 X 2 6 ⋅ 7 + X 2 − ⋱ { displaystyle sinh x = { cfrac {x} {1 - { cfrac {x ^ {2}} {2 cdot 3 + x ^ {2} - { cfrac {2 cdot 3x ^ {2} } {4 cdot 5 + x ^ {2} - { cfrac {4 cdot 5x ^ {2}} {6 cdot 7 + x ^ {2} - ddots}}}}}}}} hovadina X = 1 1 − X 2 2 + X 2 − 2 X 2 3 ⋅ 4 + X 2 − 3 ⋅ 4 X 2 5 ⋅ 6 + X 2 − ⋱ . { displaystyle cosh x = { cfrac {1} {1 - { cfrac {x ^ {2}} {2 + x ^ {2} - { cfrac {2x ^ {2}} {3 cdot 4 + x ^ {2} - { cfrac {3 cdot 4x ^ {2}} {5 cdot 6 + x ^ {2} - ddots}}}}}}}}} Inverzní hyperbolické funkce The inverzní hyperbolické funkce souvisí s inverzními trigonometrickými funkcemi podobně jako hyperbolické funkce s trigonometrickými funkcemi,
hřích − 1 i X = i sinh − 1 X { displaystyle sin ^ {- 1} ix = i sinh ^ {- 1} x} opálení − 1 i X = i tanh − 1 X , { displaystyle tan ^ {- 1} ix = i tanh ^ {- 1} x,} A tyto pokračující zlomky lze snadno odvodit:
sinh − 1 X = X 1 + X 2 2 ⋅ 3 − X 2 + 2 ⋅ 3 ( 3 X ) 2 4 ⋅ 5 − ( 3 X ) 2 + 4 ⋅ 5 ( 5 X 2 ) 6 ⋅ 7 − ( 5 X 2 ) + ⋱ { displaystyle sinh ^ {- 1} x = { cfrac {x} {1 + { cfrac {x ^ {2}} {2 cdot 3-x ^ {2} + { cfrac {2 cdot 3 (3x) ^ {2}} {4 cdot 5- (3x) ^ {2} + { cfrac {4 cdot 5 (5x ^ {2})} {6 cdot 7- (5x ^ {2 }) + ddots}}}}}}}}} tanh − 1 X = X 1 − X 2 3 + X 2 − ( 3 X ) 2 5 + 3 X 2 − ( 5 X ) 2 7 + 5 X 2 − ⋱ . { displaystyle tanh ^ {- 1} x = { cfrac {x} {1 - { cfrac {x ^ {2}} {3 + x ^ {2} - { cfrac {(3x) ^ {2 }} {5 + 3x ^ {2} - { cfrac {(5x) ^ {2}} {7 + 5x ^ {2} - ddots}}}}}}}}} Viz také Poznámky ^ Leonhard Euler (1748), "18", Introductio in analysin infinitorum , Já ^ (Zeď 1948 , str. 17) chyba harv: žádný cíl: CITEREFWall1948 (Pomoc) ^ A b Tato řada konverguje pro |z | <1, podle Ábelova zkouška (aplikováno na sérii pro log (1 -z )). Reference H. S. Wall, Analytická teorie pokračujících zlomků D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; dotisk (1973) vydavatelství Chelsea ISBN 0-8284-0207-8. 
![{ displaystyle { begin {aligned} a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} a_ { 3} & = a_ {0} (a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1) [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} { cfrac {1} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {{ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}} - { cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}} }} = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} { cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1) +1} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} {{ cfrac {a_ {1} (a_ {2} (a_ {3} +1) +1)} {a_ {2 } (a_ {3} +1) +1}} + { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1) +1} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}} - { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {2} (a_ {3} +1) +1}}}}}} = { cfrac {a_ {0}} { 1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {2} (a_ {3} +1) + 1}}}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2 }} { cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1) +1} {a_ {3} +1}}}}}}} [8pt] & = { cfrac {a_ {0} } {1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2}} {{ cfrac {a_ {2} (a_ {3} +1)} {a_ {3} +1 }} + { cfrac {a_ {3} +1} {a_ {3} +1}} - { cfrac {a_ {3}} {a_ {3} +1}}}}}}}}} = { cfrac {a_ {0}} {1 - { cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {1} - { cfrac {a_ {2}} {1 + a_ {2} - { cfrac {a_ {3}} {1 + a_ {3}}}}}}}}} end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2220d0ee296b162bc6d1d865431c25db083f18de)
![{ displaystyle { begin {aligned} sin x = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1} & = x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { Frac {x ^ {5}} {5!}} - { frac {x ^ {7} } {7!}} + { Frac {x ^ {9}} {9!}} - cdots [8pt] & = x + (x) left ({ frac {-x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) + (x) left ({ frac {-x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) left ({ frac {-x ^ {2 }} {4 cdot 5}} right) + (x) left ({ frac {-x ^ {2}} {2 cdot 3}} right) left ({ frac {-x ^ {2}} {4 cdot 5}} right) left ({ frac {-x ^ {2}} {6 cdot 7}} right) + cdots end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc847450258bfb8bba32de1c626c47468155a663)
![{ displaystyle { begin {aligned} cos x = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} x ^ {2n } & = 1 - { frac {x ^ {2}} {2!}} + { Frac {x ^ {4}} {4!}} - { frac {x ^ {6}} {6! }} + { frac {x ^ {8}} {8!}} - cdots [8pt] & = 1 + { frac {-x ^ {2}} {2}} + vlevo ({ frac {-x ^ {2}} {2}} vpravo) vlevo ({ frac {-x ^ {2}} {3 cdot 4}} vpravo) + vlevo ({ frac {- x ^ {2}} {2}} vpravo) vlevo ({ frac {-x ^ {2}} {3 cdot 4}} vpravo) vlevo ({ frac {-x ^ {2} } {5 cdot 6}} right) + cdots [8pt] & = { cfrac {1} {1 - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {2}} {1 + { frac {-x ^ {2}} {2}} - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {3 cdot 4}} {1 + { frac {-x ^ {2 }} {3 cdot 4}} - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {5 cdot 6}} {1 + { frac {-x ^ {2}} {5 cdot 6 }} - ddots}}}}}}}} end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfba04d28890375b61217b61171786d3860d958a)
![{ displaystyle { begin {aligned} sin ^ {- 1} x = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(2n-1) !!} {(2n) !!} } cdot { frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} & = x + left ({ frac {1} {2}} right) { frac {x ^ {3}} {3}} + left ({ frac {1 cdot 3} {2 cdot 4}} right) { frac {x ^ {5}} {5}} + left ({ frac {1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6}} right) { frac {x ^ {7}} {7}} + cdots [8pt] & = x + x left ( { frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} vpravo) + x vlevo ({ frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} vpravo) vlevo ({ frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} vpravo) + x vlevo ({ frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} vpravo) vlevo ({ frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} right) left ({ frac {(5x) ^ {2}} {6 cdot 7}} right) + cdots [8pt] & = { cfrac {x} {1 - { cfrac { frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} {1 + { frac {x ^ {2}} {2 cdot 3}} - { cfrac { frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} {1 + { frac {(3x) ^ {2}} {4 cdot 5}} - { cfrac { frac {(5x) ^ {2}} {6 cdot 7}} {1 + { frac {(5x) ^ {2}} {6 cdot 7}} - ddots}}} }}}}} end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48943c46be1565da33ae0668dce771c7e1586fb)
![{ displaystyle { begin {seřazeno} tan ^ {- 1} x = součet _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {x ^ {2n + 1} } {2n + 1}} & = x - { frac {x ^ {3}} {3}} + { frac {x ^ {5}} {5}} - { frac {x ^ {7} } {7}} + cdots [8pt] & = x + x left ({ frac {-x ^ {2}} {3}} right) + x left ({ frac {-x ^ {2}} {3}} vpravo) vlevo ({ frac {-3x ^ {2}} {5}} vpravo) + x vlevo ({ frac {-x ^ {2}} { 3}} right) left ({ frac {-3x ^ {2}} {5}} right) left ({ frac {-5x ^ {2}} {7}} right) + cdots [8pt] & = { cfrac {x} {1 - { cfrac { frac {-x ^ {2}} {3}} {1 + { frac {-x ^ {2}} { 3}} - { cfrac { frac {-3x ^ {2}} {5}} {1 + { frac {-3x ^ {2}} {5}} - { cfrac { frac {-5x ^ {2}} {7}} {1 + { frac {-5x ^ {2}} {7}} - ddots}}}}}}}} [8pt] & = { cfrac {x } {1 + { cfrac {x ^ {2}} {3-x ^ {2} + { cfrac {(3x) ^ {2}} {5-3x ^ {2} + { cfrac {(5x ) ^ {2}} {7-5x ^ {2} + ddots}}}}}}}}. End {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12abf4c05581843e491d5c3609e1a43b17638b1)
