Mediant (matematika) - Mediant (mathematics)
v matematika, zprostředk ze dvou zlomky, obvykle se skládá ze čtyř kladných celých čísel
- a je definován jako
To znamená, že čitatel a jmenovatel mediant jsou součty čitatelů a jmenovatelů daných zlomků. Někdy se tomu říká nováček součet, protože v počátečních fázích poznávání je to běžná chyba přidání frakcí.
Technicky jde o binární operace na platné zlomky (nenulový jmenovatel), považováno za objednané páry vhodných celých čísel, a priori bez ohledu na perspektivu racionální čísla jako třídy ekvivalence zlomků. Například prostředkem frakcí 1/1 a 1/2 je 2/3. Pokud je však zlomek 1/1 nahrazen zlomkem 2/2, což je ekvivalentní zlomek označující stejné racionální číslo 1, prostředníkem frakcí 2/2 a 1/2 je 3/4. Pro silnější spojení s racionálními čísly může být nutné snížit frakce na nejnižší termíny, čímž vyberete jedinečné zástupce z příslušných tříd ekvivalence.
The Stern-Brocot strom poskytuje výčet všech kladných racionálních čísel prostřednictvím mediánů v nejnižších termínech, získaných čistě iterativním výpočtem prostředku podle jednoduchého algoritmu.
Vlastnosti
- Mediální nerovnost: Důležitou vlastností (také vysvětlující její název) prostředníka je to, že leží striktně mezi dvěma frakcemi, z nichž je prostředníkem: a , pak
- Tato vlastnost vyplývá ze dvou vztahů
- a
- Předpokládejme, že dvojice zlomků A/C a b/d uspokojuje určující vztah . Pak má mediant tu vlastnost, že je nejjednodušší zlomek v intervalu (A/C, b/d), ve smyslu zlomku s nejmenším jmenovatelem. Přesněji řečeno, pokud zlomek s kladným jmenovatelem c 'leží (přísně) mezi A/C a b/d, pak lze jeho čitatele a jmenovatele zapsat jako a se dvěma pozitivní reálná (ve skutečnosti racionální) čísla . Chcete-li zjistit, proč to musí být pozitivní poznámka
- a
- musí být pozitivní. Determinantní vztah
- pak znamená, že obojí musí být celá čísla, řešení soustavy lineárních rovnic
- pro . Proto
- Opak je také pravdivý: předpokládejme, že dvojice redukované frakce A/C < b/d má vlastnost, kterou snížena zlomek s nejmenším jmenovatelem ležícím v intervalu (A/C, b/d) se rovná prostředku obou frakcí. Poté určující vztah před naším letopočtem − inzerát = 1 drží. Tuto skutečnost lze odvodit např. s pomocí Pickova věta který vyjadřuje plochu rovinného trojúhelníku, jehož vrcholy mají celočíselné souřadnice z hlediska čísla vinteriér mřížových bodů (přísně) uvnitř trojúhelníku a číslo vhranice mřížových bodů na hranici trojúhelníku. Zvažte trojúhelník se třemi vrcholy proti1 = (0, 0), proti2 = (A, C), proti3 = (b, d). Jeho plocha se rovná
- Bod uvnitř trojúhelníku lze parametrizovat jako
- kde
- Pickův vzorec
- nyní znamená, že musí existovat mřížkový bod q = (q1, q2) ležící uvnitř trojúhelníku odlišného od tří vrcholů, pokud před naším letopočtem − inzerát > 1 (pak oblast trojúhelníku je ). Odpovídající zlomek q1/q2 leží (přísně) mezi danými (za předpokladu redukovaných) zlomků a má jmenovatele
- tak jako
- Podobně, pokud p/q a r/s jsou redukované zlomky na jednotkovém intervalu tak, že |ps − žád| = 1 (aby to byly sousední prvky řady Farey sekvence ) pak
- kde? je Funkce Minkowského otazníku.
- Ve skutečnosti se medianty běžně vyskytují při studiu pokračující zlomky a zejména Farey zlomky. The nth Farey sekvence Fn je definována jako (seřazená podle velikosti) sekvence redukovaných zlomků A/b (s coprime A, b) takové, že b ≤ n. Pokud dvě zlomky A/C < b/d jsou sousední (sousední) zlomky v segmentu Fn pak určující vztah výše uvedené je obecně platné, a proto je prostředníkem nejjednodušší zlomek v intervalu (A/C, b/d), ve smyslu zlomku s nejmenším jmenovatelem. Mediant se poté (nejprve) objeví v (C + d) th Fareyova sekvence a je „další“ zlomek, který je vložen do jakékoli Farey sekvence mezi A/C a b/d. To dává pravidlo, jak Farey sekvence Fn jsou postupně budovány s přibývajícími n.
Grafické stanovení mediánů

Pozitivní racionální číslo je jeden ve formě kde jsou pozitivní přirozená čísla; tj. . Sada kladných racionálních čísel je tedy kartézský součin z sama o sobě; tj. . Bod se souřadnicemi představuje racionální číslo , a sklon segmentu spojujícího počátek souřadnic s tímto bodem je . Od té doby nemusí být coprime, směřovat představuje jedno a pouze jedno racionální číslo, ale racionální číslo je reprezentováno více než jedním bodem; např. jsou všechna reprezentace racionálního čísla . Toto je nepatrná úprava formální definice racionálních čísel, jejich omezení na kladné hodnoty a převrácení pořadí výrazů v uspořádaném páru takže sklon segmentu se rovná racionálnímu číslu.
Dva body kde jsou dvě reprezentace (možná ekvivalentních) racionálních čísel a . Úsečky spojující počátek souřadnic s a tvoří dvě sousední strany v rovnoběžníku. Vrchol rovnoběžníku proti počátku souřadnic je bod , který je prostředníkem a .
Plocha rovnoběžníku je , což je také velikost křížový produkt vektorů a . Vyplývá to z formální definice ekvivalence racionálních čísel že plocha je nulová, pokud a jsou rovnocenné. V tomto případě se jeden segment shoduje s druhým, protože jejich sklony jsou stejné. Plocha rovnoběžníku tvořená dvěma po sobě jdoucími racionálními čísly v Stern-Brocot strom je vždy 1.[1]
Zobecnění
Pojem mediant lze zobecnit na n zlomky a všeobecná mediální nerovnost platí,[2] skutečnost, která, jak se zdá, si poprvé všiml Cauchy. Přesněji řečeno, vážený prostředník z n zlomky je definováno (s ). To lze ukázat leží někde mezi nejmenším a největším zlomkem mezi .
Viz také
Reference
- ^ Austin, David. Stromy, zuby a čas: Matematika výroby hodin Sloupec funkcí z AMS
- ^ Bensimhoun, Michael (2013). „Poznámka k mediální nerovnosti“ (PDF). Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc)