Iterovaná binární operace - Iterated binary operation

v matematika, an iterovaná binární operace je příponou a binární operace na soubor S do a funkce na konečné sekvence prvků S opakovanou aplikací.^[1] Mezi běžné příklady patří rozšíření přidání operace do součet provoz a rozšíření násobení operace do produkt úkon. Další operace, např. Množinové teoretické operace svaz a průsečík, jsou také často iterováno, ale iterace nejsou samostatně pojmenovány. V tisku jsou součet a součin reprezentovány speciálními symboly; ale jiné iterované operátory jsou často označovány většími variantami symbolu pro běžný binární operátor. Proto jsou označeny iterace čtyř výše zmíněných operací

${displaystyle sum, prod, igcup,}$ a ${displaystyle igcap}$, resp.

Obecněji je iterace binární funkce obecně označena lomítkem: iterace ${displaystyle f}$ přes sekvenci ${displaystyle (a_ {1}, a_ {2} ldots, a_ {n})}$ je označen ${displaystyle f / (a_ {1}, a_ {2} ldots, a_ {n})}$, v návaznosti na zápis pro snížit v Bird 窶 溺 eertens formalismus.

Obecně existuje více než jeden způsob, jak rozšířit binární operaci tak, aby fungovala na konečných sekvencích, v závislosti na tom, zda je operátor asociativní a zda má operátor prvky identity.

Definice

Označit podle A_j,k, s j ≥ 0 a k ≥ jkonečná posloupnost délky k − j prvků S, se členy (A_i), pro j ≤ i < k. Všimněte si, že pokud k = j, sekvence je prázdná.

Pro F : S × S, definovat novou funkci F_l o konečných neprázdných posloupnostech prvků S, kde

${displaystyle F_ {l} (mathbf {a} _ {0, k}) = {egin {cases} a_ {0}, & k = 1 f (F_ {l} (mathbf {a} _ {0, k- 1}), a_ {k-1}), a k> 1end {cases}}.}$

Podobně definujte

${displaystyle F_ {r} (mathbf {a} _ {0, k}) = {egin {cases} a_ {0}, & k = 1 f (a_ {0}, F_ {r} (mathbf {a} _ {1, k})), & k> 1end {cases}}.}$

Li F má jedinečnou levou identitu E, definice F_l lze upravit tak, aby fungoval na prázdné sekvence definováním hodnoty F_l na prázdnou sekvenci E (předchozí základní případ sekvencí délky 1 se stane nadbytečným). Podobně, F_r lze upravit tak, aby fungovaly na prázdné sekvence, pokud F má jedinečnou správnou identitu.

Li F je tedy asociativní F_l rovná se F_r a můžeme jednoduše psát F. Navíc pokud je to prvek identity E existuje, pak je jedinečný (viz Monoidní ).

Li F je komutativní a asociativní F může pracovat s jakýmkoli neprázdným konečným multiset jeho aplikací na libovolný výčet multisetu. Li F navíc má prvek identity E, pak je to definováno jako hodnota F na prázdném multisetu. Li F je idempotentní, lze výše uvedené definice rozšířit na konečné množiny.

Li S je také vybaven a metrický nebo obecněji s topologie to je Hausdorff, takže koncept a limit posloupnosti je definována v S, pak nekonečný opakování na spočetnou sekvenci v S je definována přesně, když konverguje odpovídající sekvence konečných iterací. Tedy např. Pokud A₀, A₁, A₂, A₃, ... je nekonečná posloupnost reálná čísla, pak nekonečný produkt  ${displaystyle prod _ {i = 0} ^ {infty} a_ {i},}$ je definováno a rovno ${displaystyle lim limits _ {nightarrow infty} prod _ {i = 0} ^ {n} a_ {i},}$ pouze tehdy, pokud tento limit existuje.

Neasociativní binární operace

Obecná, neasociativní binární operace je dána a magma. Akt iterace na neasociativní binární operaci může být reprezentován jako a binární strom.

Zápis

Iterované binární operace se používají k představení operace, která se bude opakovat nad množinou s výhradou určitých omezení. Dolní hranice omezení je obvykle zapsána pod symbol a horní hranice nad symbol, ačkoli mohou být také zapsány jako horní a dolní indexy v kompaktní notaci. Interpolace se provádí pozitivně celá čísla od dolní po horní hranici, k vytvoření sady, která bude nahrazena do indexu (níže označeno jako i ) pro opakované operace. Je možné určit členství v sadě nebo jiná logická omezení místo explicitních indexů, aby se implicitně určilo, které prvky sady se mají použít.

Běžné notace zahrnují velké Sigma (opakoval sum ) a velký Pjá (opakoval product ) notace.

${displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n-1} i = 0 + 1 + 2 + tečky + (n-1)}$

${displaystyle prod _ {i = 0} ^ {n-1} i = 0 imes 1 imes 2 imes dots imes (n-1)}$

Ačkoli binární operátory včetně, ale bez omezení na exkluzivní nebo a nastavit unii může být použit.^[2]

Nechat S být množinou sad

${displaystyle igcup _ {sin S} s_ {i} = s_ {1} pohár s_ {2} pohár tečky pohár s_ {N}.}$

Nechat S být logickým souborem propozice

${displaystyle igoplus _ {sin S} s_ {i} = s_ {1} oplus s_ {2} oplus tečky oplus s_ {N}.}$^{[je zapotřebí objasnění ]}

Nechat S být soubor multivektory v Cliffordova algebra /geometrická algebra

${displaystyle igwedge _ {sin S} s_ {i} = s_ {1} klín s_ {2} klínové tečky klín s_ {N},}$

${displaystyle prod _ {sin S} s_ {i} = s_ {1} s_ {2} tečky s_ {N}.}$

Všimněte si, že ve výše uvedeném není použita žádná horní mez, protože to stačí k vyjádření, že prvky ${displaystyle s_ {i}}$ jsou prvky sady S.

Je to také k vytvoření opakované operace dané počtem omezení spojených a spojka (a), například:

${displaystyle sum _ {(iin 2mathbb {N}) klín (ileq n)} i = 0 + 2 + 4 + tečky + n,}$ které lze také označit ${displaystyle sum _ {egin {array} {c} iin 2mathbb {N} ileq nend {array}} i = 0 + 2 + 4 + dots + n.}$

Viz také

• Pokračující zlomek
• Fold (funkce vyššího řádu)
• Nekonečný produkt
• Nekonečná série

Reference

externí odkazy

• Hromadná akce
• Provoz paralelní předpony
• Nuprl iteroval binární operace