Periodická pokračující část - Periodic continued fraction

v matematika, nekonečný periodická pokračující frakce je pokračující zlomek které lze umístit do formuláře

{displaystyle x = a_ {0} + {cfrac {1} {a_ {1} + {cfrac {1} {a_ {2} + {cfrac {ddots} {quad ddots quad a_ {k} + {cfrac {1} {a_ {k + 1} + {cfrac {ddots} {quad ddots quad a_ {k + m-1} + {cfrac {1} {a_ {k + m} + {cfrac {1} {a_ {k + 1 } + {cfrac {1} {a_ {k + 2} + {ddots}}}}}}}}}}}}}}}}}}

kde počáteční blok k + 1 dílčí jmenovatel je následován blokem [A_k+1, A_k+2,…A_k+m] dílčích jmenovatelů, který se opakuje znovu a znovu, ad infinitum. Například, ${displaystyle {sqrt {2}}}$ lze rozšířit na periodický pokračující zlomek, konkrétně jako [1,2,2,2, ...].

Dílčí jmenovatelé {A_i} může být obecně libovolná reálná nebo komplexní čísla. Tento obecný případ je uveden v článku konvergenční problém. Zbývající část tohoto článku je věnována tématu jednoduché pokračující zlomky které jsou také periodické. Jinými slovy, zbytek tohoto článku předpokládá, že všechny dílčí jmenovatele A_i (i ≥ 1) jsou kladná celá čísla.

Čistě periodické a periodické zlomky

Vzhledem k tomu, že všechny dílčí čitatele v pravidelném pokračujícím zlomku jsou rovny jednotce, můžeme přijmout zkratkovou notaci, ve které je pokračovací zlomek zobrazený výše zapsán

{displaystyle {egin {aligned} x & = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, tečky, a_ {k}, a_ {k + 1}, a_ {k + 2}, tečky, a_ { k + m}, a_ {k + 1}, a_ {k + 2}, tečky, a_ {k + m}, tečky] & = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, tečky , a_ {k}, {overline {a_ {k + 1}, a_ {k + 2}, tečky, a_ {k + m}}}] konec {zarovnáno}}}

kde ve druhém řádku a vinculum označí opakující se blok.^[1] Některé učebnice používají notaci

{displaystyle {egin {aligned} x & = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, tečky, a_ {k}, {dot {a}} _ {k + 1}, a_ {k + 2 }, tečky, {tečka {a}} _ {k + m}] konec {zarovnáno}}}

kde je opakující se blok označen tečkami nad jeho prvním a posledním termínem.^[2]

Pokud počáteční neopakující se blok není přítomen - tj. Pokud k = -1, a₀ = aₘ a

{displaystyle x = [{overline {a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, tečky, a_ {m-1}}}],}

regulární pokračující zlomek X se říká, že je čistě periodické. Například běžný pokračující zlomek pro Zlatý řez φ - dané [1; 1, 1, 1,…] - je čistě periodický, zatímco běžný zlomek pro druhou odmocninu ze dvou - [1; 2, 2, 2,…] - je periodický, ale nikoli čistě periodický.

Jako unimodulární matice

Takové periodické zlomky jsou ve vzájemné korespondenci se skutečnými kvadratické iracionály. Korespondenci výslovně poskytuje Funkce Minkowského otazníku. Tento článek také přezkoumává nástroje, které usnadňují práci s takovými pokračujícími zlomky. Zvažte nejprve čistě periodickou část

{displaystyle x = [{overline {0; a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {m}}}],}

To lze ve skutečnosti psát jako

{displaystyle x = {frac {alpha x + eta} {gamma x + delta}}}

s ${displaystyle alfa, eta, gama, delta}$ být celá čísla a uspokojující ${displaystyle alpha delta - eta gamma = 1.}$ Explicitní hodnoty lze získat zápisem

{displaystyle S = {egin {pmatrix} 1 & 0 1 & 1end {pmatrix}}}

který se nazývá „posun“, takže

{displaystyle S ^ {n} = {egin {pmatrix} 1 & 0 n & 1end {pmatrix}}}

a podobně odraz, daný

{displaystyle Tmapsto {egin {pmatrix} -1 & 1 0 & 1end {pmatrix}}}

aby ${displaystyle T ^ {2} = I}$ . Obě tyto matice jsou unimodulární, libovolné produkty zůstávají unimodulární. Pak, vzhledem k tomu ${displaystyle x}$ jak je uvedeno výše, odpovídající matice má formu^[3]

{displaystyle S ^ {a_ {1}} TS ^ {a_ {2}} Tcdots TS ^ {a_ {m}} = {egin {pmatrix} alfa & eta gamma & delta end {pmatrix}}}

a jeden má

{displaystyle x = [{overline {0; a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {m}}}] = {frac {alpha x + eta} {gamma x + delta}}}

jako explicitní forma. Protože všechny položky matice jsou celá čísla, patří tato matice k modulární skupina ${displaystyle SL (2, mathbb {Z}).}$

Vztah ke kvadratickým iracionálům

A kvadratické iracionální číslo je iracionální skutečný kořen kvadratické rovnice

{displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}

kde koeficienty A, b, a C jsou celá čísla a diskriminující, b² − 4ac, je větší než nula. Podle kvadratický vzorec každý kvadratický iracionální může být napsán ve formě

{displaystyle zeta = {frac {P + {sqrt {D}}} {Q}}}

kde P, D, a Q jsou celá čísla, D > 0 není a perfektní čtverec (ale ne nutně bez čtverců) a Q dělí množství P² − D (například (6+√8) / 4). Takovou kvadratickou iracionální lze zapsat i v jiné formě se druhou odmocninou čísla bez čtverce (například (3+√2) / 2), jak je vysvětleno pro kvadratické iracionály.

Uvážením kompletní kvocienty periodických pokračujících zlomků, Euler byl schopen dokázat, že pokud X je tedy pravidelný periodický zlomek X je kvadratické iracionální číslo. Důkaz je přímý. Ze samotného zlomku lze sestrojit kvadratickou rovnici s integrálními koeficienty X musí uspokojit.

Lagrange prokázal obrácení Eulerovy věty: pokud X je kvadratická iracionální, pak pravidelné pokračující rozšiřování zlomků o X je periodický.^[4] Vzhledem ke kvadratické iracionální X lze konstruovat m různé kvadratické rovnice, každá se stejným diskriminačním, které se vztahují k postupným úplným kvocientům pravidelné pokračující frakční expanze X navzájem. Protože těchto rovnic je jen konečně mnoho (koeficienty jsou ohraničené), úplné kvocienty (a také částečné jmenovatele) v regulárním pokračujícím zlomku, který představuje X musí nakonec opakovat.

Snížené částky

Kvadratický iracionální ${displaystyle zeta = {frac {P + {sqrt {D}}} {Q}}}$ se říká, že je snížena -li ${displaystyle zeta> 1}$ a jeho sdružené ${displaystyle eta = {frac {P- {sqrt {D}}} {Q}}}$ uspokojuje nerovnosti ${displaystyle -1$ . Například zlatý řez ${displaystyle phi = (1+ {sqrt {5}}) / 2 = 1,618033 ...}$ je snížené množství, protože je větší než jedna a její konjugát ${displaystyle (1- {sqrt {5}}) / 2 = -0,618033 ...}$ je větší než -1 a menší než nula. Na druhou stranu druhá odmocnina ze dvou ${displaystyle {sqrt {2}} = (0+ {sqrt {8}}) / 2}$ je větší než jedna, ale nejedná se o redukovaný surd, protože jeho konjugát ${displaystyle - {sqrt {2}} = (0- {sqrt {8}}) / 2}$ je menší než -1.

Galois prokázal, že pravidelný zlomek, který představuje kvadratický surd ζ, je čistě periodický právě tehdy, když ζ je redukovaný surd. Galois ve skutečnosti ukázal víc než toto. Dokázal také, že pokud ζ je redukovaný kvadratický surd a η je jeho konjugát, pak pokračující zlomky pro ζ a pro (−1 / η) jsou čistě periodické a opakující se blok v jedné z těchto pokračujících zlomků je zrcadlovým obrazem opakujícího se bloku v druhém. V symbolech máme

{displaystyle {egin {aligned} zeta & = [{overline {a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {m-1}}}]] [[3pt] {frac {-1} {eta}} & = [{overline {a_ {m-1}; a_ {m-2}, a_ {m-3}, dots, a_ {0}}}], konec {zarovnáno}}}

kde ζ je jakýkoli redukovaný kvadratický surd a η je jeho konjugát.

Z těchto dvou Galoisových vět lze odvodit výsledek, který Lagrange již zná. Li r > 1 je tedy racionální číslo, které není dokonalým čtvercem

{displaystyle {sqrt {r}} = [a_ {0}; {overline {a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {2}, a_ {1}, 2a_ {0}}}].}

Zejména pokud n je jakékoli jiné než čtvercové kladné celé číslo, pravidelné pokračující rozšiřování zlomků o √n obsahuje opakující se blok délky m, ve kterém první m - 1 dílčí jmenovatel tvoří a palindromický tětiva.

Délka opakujícího se bloku

Analýzou sledu kombinací

{displaystyle {frac {P_ {n} + {sqrt {D}}} {Q_ {n}}}}

které mohou vzniknout, když ζ = (P + √D)/Q je rozšířen jako běžný pokračující zlomek, Lagrange ukázal, že největší dílčí jmenovatel A_i v expanzi je menší než 2√D, a že délka opakujícího se bloku je menší než 2D.

V poslední době ostřejší argumenty^[5]^[6] založeno na funkce dělitele to ukázali L(D), délka opakujícího se bloku pro kvadratickou skupinu diskriminačních D, darováno

{displaystyle L (D) = {mathcal {O}} ({sqrt {D}} ln {D})}

kde velký Ó znamená „řádově“ nebo „asymptoticky úměrné“ (viz velká O notace ).

Kanonická forma a opakování

Následující iterativní algoritmus^[7] lze použít k získání pokračujícího rozšiřování frakcí v kanonické formě (S je jakýkoli přirozené číslo to není perfektní čtverec ):

{displaystyle m_ {0} = 0 ,!}

{displaystyle d_ {0} = 1 ,!}

{displaystyle a_ {0} = leftlfloor {sqrt {S}} ightfloor,!}

{displaystyle m_ {n + 1} = d_ {n} a_ {n} -m_ {n} ,!}

{displaystyle d_ {n + 1} = {frac {S-m_ {n + 1} ^ {2}} {d_ {n}}} ,!}

{displaystyle a_ {n + 1} = leftlfloor {frac {{sqrt {S}} + m_ {n + 1}} {d_ {n + 1}}} ightfloor = leftlfloor {frac {a_ {0} + m_ {n +1}} {d_ {n + 1}}} ightfloor!.}

Všimněte si toho m_n, d_n, a A_n jsou vždy celá čísla. Algoritmus se ukončí, když je tato trojice stejná jako ta, která se vyskytla dříve. Algoritmus lze také ukončit na_i když_i = 2 a₀,^[8] což je snazší implementovat.

Expanze se od té doby bude opakovat. Sekvence [A₀; A₁, A₂, A₃, ...] je pokračující rozšiřování zlomků:

{displaystyle {sqrt {S}} = a_ {0} + {cfrac {1} {a_ {1} + {cfrac {1} {a_ {2} + {cfrac {1} {a_ {3} +, ddots} }}}}}}

Příklad

Získat √114 jako pokračující zlomek začněte m₀ = 0; d₀ = 1; a A₀ = 10 (10² = 100 a 11² = 121> 114, takže 10 vybraných).

{displaystyle {egin {aligned} {sqrt {114}} & = {frac {{sqrt {114}} + 0} {1}} = 10+ {frac {{sqrt {114}} - 10} {1}} = 10 + {frac {({sqrt {114}} - 10) ({sqrt {114}} + 10)} {{sqrt {114}} + 10}} & = 10+ {frac {114-100} {{sqrt {114}} + 10}} = 10+ {frac {1} {frac {{sqrt {114}} + 10} {14}}}. konec {zarovnáno}}}

{displaystyle m_ {1} = d_ {0} cdot a_ {0} -m_ {0} = 1cdot 10-0 = 10 ,.}

{displaystyle d_ {1} = {frac {S-m_ {1} ^ {2}} {d_ {0}}} = {frac {114-10 ^ {2}} {1}} = 14 ,.}

{displaystyle a_ {1} = leftlfloor {frac {a_ {0} + m_ {1}} {d_ {1}}} ightfloor = leftlfloor {frac {10 + 10} {14}} ightfloor = leftlfloor {frac {20} {14}} ightfloor = 1 ,.}

Tak, m₁ = 10; d₁ = 14; a A₁ = 1.

{displaystyle {frac {{sqrt {114}} + 10} {14}} = 1+ {frac {{sqrt {114}} - 4} {14}} = 1+ {frac {114-16} {14 ( {sqrt {114}} + 4)}} = 1+ {frac {1} {frac {{sqrt {114}} + 4} {7}}}.}

Další, m₂ = 4; d₂ = 7; a A₂ = 2.

{displaystyle {frac {{sqrt {114}} + 4} {7}} = 2+ {frac {{sqrt {114}} - 10} {7}} = 2+ {frac {14} {7 ({sqrt {114}} + 10)}} = 2+ {frac {1} {frac {{sqrt {114}} + 10} {2}}}.}

{displaystyle {frac {{sqrt {114}} + 10} {2}} = 10+ {frac {{sqrt {114}} - 10} {2}} = 10+ {frac {14} {2 ({sqrt {114}} + 10)}} = 10+ {frac {1} {frac {{sqrt {114}} + 10} {7}}}.}

{displaystyle {frac {{sqrt {114}} + 10} {7}} = 2+ {frac {{sqrt {114}} - 4} {7}} = 2+ {frac {98} {7 ({sqrt {114}} + 4)}} = 2+ {frac {1} {frac {{sqrt {114}} + 4} {14}}}.}

{displaystyle {frac {{sqrt {114}} + 4} {14}} = 1+ {frac {{sqrt {114}} - 10} {14}} = 1+ {frac {14} {14 ({sqrt {114}} + 10)}} = 1+ {frac {1} {frac {{sqrt {114}} + 10} {1}}}.}

{displaystyle {frac {{sqrt {114}} + 10} {1}} = 20+ {frac {{sqrt {114}} - 10} {1}} = 20+ {frac {14} {{sqrt {114 }} + 10}} = 20+ {frac {1} {frac {{sqrt {114}} + 10} {14}}}.}

Nyní se vraťte zpět k druhé rovnici výše.

V důsledku toho je jednoduchá pokračující část pro druhou odmocninu 114

{displaystyle {sqrt {114}} = [10; {overline {1,2,10,2,1,20}}].,}

(sekvence A010179 v OEIS )

√114 je přibližně 10,67707 82520. Po jednom rozšíření repetend získá pokračující zlomek racionální zlomek ${displaystyle {frac {21194} {1985}}}$ jehož desetinná hodnota je přibližně. 10,67707 80856, relativní chyba 0,0000016% nebo 1,6 dílu na 100 000 000.

Zobecněná pokračující frakce

Rychlejší metodou je její vyhodnocení zobecněný pokračující zlomek. Ze vzorce odvozeného tam:

{displaystyle {sqrt {z}} = {sqrt {x ^ {2} + y}} = x + {cfrac {y} {2x + {cfrac {y} {2x + {cfrac {y} {2x + ddots}}}} }} = x + {cfrac {2xcdot y} {2 (2z-y) -y- {cfrac {y ^ {2}} {2 (2z-y) - {cfrac {y ^ {2}} {2 (2z -y) -ddots}}}}}}}

a skutečnost, že 114 je 2/3 cesty mezi 10²= 100 a 11²= 121 výsledků v

{displaystyle {sqrt {114}} = {cfrac {sqrt {1026}} {3}} = {cfrac {sqrt {32 ^ {2} +2}} {3}} = {cfrac {32} {3}} + {cfrac {2/3} {64+ {cfrac {2} {64+ {cfrac {2} {64+ {cfrac {2} {64 + ddots}}}}}}}}} = {cfrac {32} {3}} + {cfrac {2} {192+ {cfrac {18} {192+ {cfrac {18} {192 + ddots}}}}}}}

což je jednoduše výše uvedené [10; 1,2, 10,2,1, 20,1,2] hodnocené při každém třetím semestru. Kombinace dvojic zlomků produkuje

{displaystyle {sqrt {114}} = {cfrac {sqrt {32 ^ {2} +2}} {3}} = {cfrac {32} {3}} + {cfrac {64/3} {2050-1- {cfrac {1} {2050- {cfrac {1} {2050-ddots}}}}}} = {cfrac {32} {3}} + {cfrac {64} {6150-3- {cfrac {9} { 6150- {cfrac {9} {6150-ddots}}}}}},}

což je nyní ${displaystyle [10; 1,2, {overline {10,2,1,20,1,2}}]}$ hodnoceno ve třetím semestru a poté každých šest semestrů.

Viz také

Poznámky

^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, str. 158)
^ Long (1972, str. 187)
^ Khinchin, A. Ya. (1964) [Původně publikováno v ruštině, 1935]. Pokračující zlomky. University of Chicago Press. ISBN 0-486-69630-8. To je nyní k dispozici jako dotisk od Dover Publications.
^ Davenport, H. (1982). „Vyšší aritmetika“. Cambridge University Press: 104. ISBN 0-521-28678-6. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Hickerson, Dean R. (1973). "Délka období jednoduchého pokračování expanze zlomku √d". Pacific J. Math. 46: 429–432. doi:10,2140 / pjm.1973,46.429.
^ Podsypanin, E.V. (1982). Msgstr "Délka období kvadratické iracionality". Journal of Soviet Mathematics. 18 (6): 919–923. doi:10.1007 / BF01763963.
^ Beceanu, Marius. „Období pokračující frakce sqrt (n)“ (PDF). Věta 2.3. Archivovány od originál (PDF) dne 21. prosince 2015. Citováno 21. prosince 2015.
^ Gliga, Alexandra Ioana (17. března 2006). Na pokračujících zlomcích druhé odmocniny prvočísel (PDF). Dodatek 3.3.

Reference

Long, Calvin T. (1972), Základní úvod do teorie čísel (2. vyd.), Lexington: D. C. Heath a společnost, LCCN 77-171950
Pettofrezzo, Anthony J .; Byrkit, Donald R. (1970), Prvky teorie čísel, Englewoodské útesy: Prentice Hall, LCCN 77-81766
Rockett, Andrew M .; Szüsz, Peter (1992). Pokračující zlomky. World Scientific. ISBN 981-02-1052-3.

[1] Pettofrezzo & Byrkit (1970, str. 158)

[2] Long (1972, str. 187)

[3] Khinchin, A. Ya. (1964) [Původně publikováno v ruštině, 1935]. Pokračující zlomky. University of Chicago Press. ISBN 0-486-69630-8. To je nyní k dispozici jako dotisk od Dover Publications.

[davenport-4] Davenport, H. (1982). „Vyšší aritmetika“. Cambridge University Press: 104. ISBN 0-521-28678-6. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[5] Hickerson, Dean R. (1973). "Délka období jednoduchého pokračování expanze zlomku √d". Pacific J. Math. 46: 429–432. doi:10,2140 / pjm.1973,46.429.

[6] Podsypanin, E.V. (1982). Msgstr "Délka období kvadratické iracionality". Journal of Soviet Mathematics. 18 (6): 919–923. doi:10.1007 / BF01763963.

[7] Beceanu, Marius. „Období pokračující frakce sqrt (n)“ (PDF). Věta 2.3. Archivovány od originál (PDF) dne 21. prosince 2015. Citováno 21. prosince 2015.

[8] Gliga, Alexandra Ioana (17. března 2006). Na pokračujících zlomcích druhé odmocniny prvočísel (PDF). Dodatek 3.3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]