Úplný kvocient - Complete quotient

V metrické teorii pravidelné pokračující zlomky, kth úplný kvocient ζ_k získáme ignorováním prvního k dílčí jmenovatelé A_i. Například pokud je pravidelný pokračující zlomek dán vztahem

${displaystyle x = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, tečky] = a_ {0} + {cfrac {1} {a_ {1} + {cfrac {1} { a_ {2} + {cfrac {1} {a_ {3} + {cfrac {1} {ddots}}}}}}}}}$

potom po sobě jdoucí úplné kvocienty ζ_k jsou dány

${displaystyle {egin {aligned} zeta _ {0} & = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, dots] zeta _ {1} & = [a_ {1} ; a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, tečky] zeta _ {2} & = [a_ {2}; a_ {3}, a_ {4}, a_ {5}, tečky] zeta _ {k} & = [a_ {k}; a_ {k + 1}, a_ {k + 2}, a_ {k + 3}, tečky]., konec {zarovnáno}}}$

Rekurzivní vztah

Z výše uvedené definice to můžeme okamžitě odvodit

${displaystyle zeta _ {k} = a_ {k} + {frac {1} {zeta _ {k + 1}}} = [a_ {k}; zeta _ {k + 1}] ,,}$

nebo ekvivalentně

${displaystyle zeta _ {k + 1} = {frac {1} {zeta _ {k} -a_ {k}}}.,}$

Kompletní kvocienty a konvergenty X

Označujeme postupné konvergenty pravidelné pokračující frakce X = [A₀; A₁, A₂,…] Od A₀, A₁/B₁, A₂/B₂,… (Jak je podrobněji vysvětleno v článku základní vzorce opakování ), lze prokázat, že

${displaystyle x = {frac {A_ {k} zeta _ {k + 1} + A_ {k-1}} {B_ {k} zeta _ {k + 1} + B_ {k-1}}},}$

pro všechny k ≥ 0.

Tento výsledek lze lépe pochopit připomenutím, že postupné konvergenty nekonečného pravidelného pokračujícího zlomku se blíží hodnotě X v jakémsi klikatém vzoru:

${displaystyle A_ {0} <{frac {A_ {2}} {B_ {2}}} <{frac {A_ {4}} {B_ {4}}}$

takže když k je dokonce i my A_k/B_k < X < A_k+1/B_k+1, a kdy k je divné, že máme A_k+1/B_k+1 < X < A_k/B_k. V obou případech k + 1. kompletní kvocient ζ_k+1 je jedinečné reálné číslo, které vyjadřuje X ve formě a polokonvergentní.

Vyplňte kvocienty a ekvivalentní reálná čísla

Vztah ekvivalence definovaný LFT

Zvažte soubor lineární frakční transformace (LFT) definované

${displaystyle f (x) = {frac {a + bx} {c + dx}},}$

kde A, b, C, a d jsou celá čísla, a inzerát − před naším letopočtem = ± 1. Protože tato sada LFT obsahuje prvek identity (0 +X) / 1, a protože je uzavřen pod složení funkcí a každý člen množiny má v množině inverzi, tyto LFT tvoří a skupina (skupinová operace je složením funkcí), GL (2,Z).

Můžeme definovat vztah ekvivalence na množině reálná čísla pomocí této skupiny lineárních frakčních transformací. Řekneme, že dvě reálná čísla X a y jsou rovnocenné (písemné X ~ y) pokud

${displaystyle y = f (x) = {frac {a + bx} {c + dx}},}$

pro některá celá čísla A, b, C, a d takhle inzerát − před naším letopočtem = ±1.

Je zřejmé, že tento vztah je symetrický, reflexivní a tranzitivní, takže jde o vztah ekvivalence a lze jej použít k oddělení reálných čísel do třídy ekvivalence. Všechny racionální čísla jsou ekvivalentní, protože každé racionální číslo je ekvivalentní nule. Co lze říci o iracionální čísla ? Spadají také do jedné třídy rovnocennosti?

Věta o „ekvivalentních“ iracionálních číslech

Dvě iracionální čísla X a y jsou v tomto schématu ekvivalentní právě tehdy, když nekonečně dlouhé „ocasy“ v jejich expanzích jako pravidelné pokračující zlomky jsou přesně stejné. Přesněji lze dokázat následující větu.

Nechat X a y být dvě iracionální (reálná) čísla a nechat kúplný podíl v pravidelných pokračujících zlomcích expanzí X a y být označen ζ_k a ψ_kPotom X ~ y (podle ekvivalence definované v předchozí části) právě tehdy, pokud existují kladná celá čísla m a n takové, že ζ_m = ψ_n.

Příklad

The Zlatý řez φ je iracionální číslo s velmi nejjednodušší možnou expanzí jako pravidelný zlomek: φ = [1; 1, 1, 1,…]. Věta nám nejprve řekne, že pokud X je libovolné reálné číslo, jehož rozšíření jako běžný zlomek obsahuje nekonečný řetězec [1, 1, 1, 1,…], pak existují celá čísla A, b, C, a d (s inzerát − před naším letopočtem = ± 1) takové, že

${displaystyle x = {frac {a + bphi} {c + dphi}}.,}$

Naopak, pokud A, b, C, a d jsou celá čísla (s inzerát − před naším letopočtem = ± 1), pak pravidelné pokračování zlomkové expanze každého reálného čísla y které lze vyjádřit ve formě

${displaystyle y = {frac {a + bphi} {c + dphi}},}$

nakonec dosáhne „ocasu“, který vypadá stejně jako normální pokračující zlomek pro φ.

Reference

• Rockett, Andrew M .; Szüsz, Peter (1992). Pokračující zlomky. World Scientific. str.4–8. ISBN  981-02-1052-3.