Redukce (matematika) - Reduction (mathematics)

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Redukční“ matematika  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, snížení Odkazuje na přepis z výraz do jednodušší formy. Například proces přepisování a zlomek do jednoho s nejmenším možným jmenovatelem celého čísla (při zachování čitatele celé číslo) se nazývá "zmenšení zlomku". Přepisování a radikální (nebo „kořenový“) výraz s nejmenším možným celým číslem pod radikálovým symbolem se nazývá „zmenšení radikálu“. Volá se minimalizace počtu radikálů, které se ve výrazu objevují pod jinými radikály popírající radikály.

Algebra

v lineární algebra, snížení odkazuje na použití jednoduchých pravidel na řadu rovnice nebo matice změnit je do jednodušší podoby. V případě matic zahrnuje proces manipulaci buď s řádky nebo sloupci matice, a proto se obvykle označuje jako redukce řádků nebo sloupcová redukce, resp. Cílem redukce je často transformace matice na její „řádek redukovaný“ echelon forma „nebo„ řádková řada “; to je cíl Gaussova eliminace.

Počet

v počet, snížení odkazuje na použití techniky integrace po částech hodnotit celou třídu integrály jejich redukcí do jednodušších forem.

Statické (Guyan) snížení

V dynamické analýze statická redukce odkazuje na snížení počtu stupňů volnosti. Statická redukce lze také použít v FEA analýza odkazující na zjednodušení lineárního algebraického problému. Protože statická redukce vyžaduje několik kroků inverze, je to nákladná maticová operace a je náchylná k nějaké chybě v řešení. Zvažte následující systém lineárních rovnic v problému FEA:

${ displaystyle { begin {bmatrix} K_ {11} & K_ {12} K_ {21} & K_ {22} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x_ {1} x_ {2} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} F_ {1} F_ {2} end {bmatrix}}}$

kde K. a F jsou známé a K., X a F jsou rozděleny do dílčích matic, jak je uvedeno výše. Li F₂ obsahuje pouze nuly a pouze X₁ je žádoucí, K. lze snížit, čímž se získá následující systém rovnic

${ displaystyle { begin {bmatrix} K_ {11, snížené} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x_ {1} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} F_ {1} end {bmatrix}}}$

K._{11, sníženo} se získá zapsáním sady rovnic následujícím způsobem:

${ displaystyle K_ {11} x_ {1} + K_ {12} x_ {2} = F_ {1}}$

(Rov. 1)

${ displaystyle K_ {21} x_ {1} + K_ {22} x_ {2} = 0}$

(Rov. 2)

Rovnice (2) lze vyřešit pro ${ displaystyle x_ {2}}$ (za předpokladu invertibility of ${ displaystyle K_ {22}}$):

${ displaystyle -K_ {22} ^ {- 1} K_ {21} x_ {1} = x_ {2}.}$

A dosazením do (1) dává

${ displaystyle K_ {11} x_ {1} -K_ {12} K_ {22} ^ {- 1} K_ {21} x_ {1} = F_ {1}.}$

Tím pádem

${ displaystyle K_ {11, snížené} = K_ {11} -K_ {12} K_ {22} ^ {- 1} K_ {21}.}$

Podobným způsobem jakýkoli řádek / sloupec i z F s nulovou hodnotou lze vyloučit, pokud odpovídající hodnota X_i není žádoucí. Snížený K. může být opět snížena. Poznámka: protože každá redukce vyžaduje inverzi a každá inverze je operace s výpočetními náklady ${ displaystyle O (n ^ {3})}$ většina velkých matic je předem zpracována, aby se zkrátila doba výpočtu.

Dějiny

Perský matematik Al-Khwarizmi je Al-Jabr v 9. století představil základní pojmy „redukce“ a „vyvážení“, odkazující na transpozici odečtených výrazů na druhou stranu rovnice a zrušení podobných výrazů na opačných stranách rovnice. Jedná se o operaci, kterou Al-Khwarizmi původně popsal al-jabr.^[1] Název "algebra „pochází z“al-jabr„v názvu jeho knihy.

Reference