Nekonečné složení analytických funkcí - Infinite compositions of analytic functions

Příklad: Infinite Brooch - Topografický (moduli) obraz a pokračující zlomková forma v komplexní rovině. (6

Přímá funkční expanze

Následují příklady ilustrující převod funkce přímo do složení:

Příklad 1.^[6][12] Předpokládat ${ displaystyle phi}$ je celá funkce splňující následující podmínky:

${ displaystyle { begin {cases} phi (tz) = t left ( phi (z) + phi (z) ^ {2} right) & | t |> 1 phi (0) = 0 phi '(0) = 1 end {cases}}}$

Pak

${ displaystyle f_ {n} (z) = z + { frac {z ^ {2}} {t ^ {n}}} Longrightarrow F_ {n} (z) to phi (z)}$.

Příklad 2.^[6]

${ displaystyle f_ {n} (z) = z + { frac {z ^ {2}} {2 ^ {n}}} Longrightarrow F_ {n} (z) do { frac {1} {2} } left (e ^ {2z} -1 right)}$

Příklad 3.^[5]

${ displaystyle f_ {n} (z) = { frac {z} {1 - { tfrac {z ^ {2}} {4 ^ {n}}}}} Longrightarrow F_ {n} (z) tan (z)}$

Příklad 4.^[5]

${ displaystyle g_ {n} (z) = { frac {2 cdot 4 ^ {n}} {z}} left ({ sqrt {1 + { frac {z ^ {2}} {4 ^ {n}}}}} - 1 vpravo) Longrightarrow G_ {n} (z) to arctan (z)}$

Výpočet pevných bodů

Věta (B) může být použita k určení pevných bodů funkcí definovaných nekonečnými expanzemi nebo určitými integrály. Následující příklady ilustrují postup:

Příklad FP1.^[3] Pro | ζ | ≤ 1 let

${ displaystyle G ( zeta) = { frac { tfrac {e ^ { zeta}} {4}} {3+ zeta + { cfrac { tfrac {e ^ { zeta}} {8} } {3+ zeta + { cfrac { tfrac {e ^ { zeta}} {12}} {3+ zeta + cdots}}}}}}$

Najít α = G(α), nejdříve definujeme:

${ displaystyle { begin {aligned} t_ {n} (z) & = { cfrac { tfrac {e ^ { zeta}} {4n}} {3+ zeta + z}} f_ {n } ( zeta) & = t_ {1} circ t_ {2} circ cdots circ t_ {n} (0) end {zarovnáno}}}$

Pak vypočítat ${ displaystyle G_ {n} ( zeta) = f_ {n} circ cdots circ f_ {1} ( zeta)}$ s ζ = 1, což dává: α = 0,087118118 ... na deset desetinných míst po deseti iteracích.

Věta FP2.^[5] Nechť φ (ζ, t) být analytický v S = {z : |z| < R} pro všechny t v [0, 1] a kontinuální v t. Soubor

${ displaystyle f_ {n} ( zeta) = { frac {1} {n}} součet _ {k = 1} ^ {n} varphi left ( zeta, { tfrac {k} {n }}že jo).}$

Pokud | φ (ζ, t)| ≤ r < R pro ζ ∈ S a t ∈ [0, 1], tedy

${ displaystyle zeta = int _ {0} ^ {1} varphi ( zeta, t) , dt}$

má jedinečné řešení, α in S, s ${ displaystyle lim _ {n to infty} G_ {n} ( zeta) = alfa.}$

Evoluční funkce

Zvažte časový interval normalizovaný na Já = [0, 1]. ICAF mohou být konstruovány tak, aby popisovaly kontinuální pohyb bodu, z, přes interval, ale takovým způsobem, že v každém „okamžiku“ je pohyb prakticky nulový (viz Zenova šipka ): Pro interval rozdělený na n stejných podintervalů, 1 ≤ k ≤ n soubor ${ displaystyle g_ {k, n} (z) = z + varphi _ {k, n} (z)}$ analytické nebo jednoduše kontinuální - v doméně S, takový, že

${ displaystyle lim _ {n až infty} varphi _ {k, n} (z) = 0}$ pro všechny k a všechno z v S,

a ${ displaystyle g_ {k, n} (z) v S}$.

Hlavní příklad^[5]

${ displaystyle { begin {aligned} g_ {k, n} (z) & = z + { frac {1} {n}} phi left (z, { tfrac {k} {n}} right ) G_ {k, n} (z) & = vlevo (g_ {k, n} cirkus g_ {k-1, n} cirkus cdots cirkus g_ {1, n} doprava) (z ) G_ {n} (z) & = G_ {n, n} (z) end {zarovnáno}}}$

naznačuje

${ displaystyle lambda _ {n} (z) doteq G_ {n} (z) -z = { frac {1} {n}} součet _ {k = 1} ^ {n} phi vlevo (G_ {k-1, n} (z) { tfrac {k} {n}} vpravo) doteq { frac {1} {n}} součet _ {k = 1} ^ {n} psi left (z, { tfrac {k} {n}} right) sim int _ {0} ^ {1} psi (z, t) , dt,}$

kde je integrál dobře definovaný, pokud ${ displaystyle { tfrac {dz} {dt}} = phi (z, t)}$ má uzavřené řešení z(t). Pak

${ displaystyle lambda _ {n} (z_ {0}) přibližně int _ {0} ^ {1} phi (z (t), t) , dt.}$

Jinak je integrand špatně definován, i když lze snadno vypočítat hodnotu integrálu. V tomto případě by se dalo nazvat integrál „virtuálním“ integrálem.

Příklad. ${ displaystyle phi (z, t) = { frac {2t- cos y} {1- sin x cos y}} + i { frac {1-2t sin x} {1- sin x cos y}}, int _ {0} ^ {1} psi (z, t) , dt}$

Příklad 1: Virtuální tunely - topografický (moduli) obraz virtuálních integrálů (jeden pro každý bod) v komplexní rovině. [−10,10]

Dva obrysy plynoucí k atraktivnímu pevnému bodu (červená vlevo). Bílá kontura (C = 2) končí před dosažením pevného bodu. Druhá kontura (C(n) = druhá odmocnina z n) končí pevným bodem. Pro oba obrysy, n = 10,000

Příklad.^[13] Nechat:

${ displaystyle g_ {n} (z) = z + { frac {c_ {n}} {n}} phi (z), quad { text {with}} quad f (z) = z + phi (z).}$

Dále nastavte ${ displaystyle T_ {1, n} (z) = g_ {n} (z), T_ {k, n} (z) = g_ {n} (T_ {k-1, n} (z)),}$ a T_n(z) = T_{n, n}(z). Nechat

${ displaystyle T (z) = lim _ {n až infty} T_ {n} (z)}$

když tento limit existuje. Sekvence {T_n(z)} definuje obrysy γ = γ (C_n, z), které sledují tok vektorového pole F(z). Pokud existuje atraktivní pevný bod α, což znamená |F(z) - α | ≤ ρ |z - α | pro 0 ≤ ρ <1 tedy T_n(z) → T(z) ≡ α podél γ = γ (C_n, z), za předpokladu (například) ${ displaystyle c_ {n} = { sqrt {n}}}$. Li C_n ≡ C > 0, tedy T_n(z) → T(z), bod na kontuře γ = γ (C, z). Je to snadno vidět

${ displaystyle mast _ { gamma} phi ( zeta) , d zeta = lim _ {n to infty} { frac {c} {n}} součet _ {k = 1} ^ {n} phi ^ {2} left (T_ {k-1, n} (z) right)}$

a

${ displaystyle L ( gamma (z)) = lim _ {n to infty} { frac {c} {n}} součet _ {k = 1} ^ {n} left | phi left (T_ {k-1, n} (z) right) right |,}$

když tyto limity existují.

Tyto pojmy jsou okrajově příbuzné aktivní konturová teorie při zpracování obrazu a jedná se o jednoduché zobecnění Eulerova metoda

Samoreplikující se expanze

Série

Série definovaná rekurzivně F_n(z) = z + G_n(z) mají vlastnost, že n-tý člen je predikován na součtu prvního n - 1 termíny. Aby bylo možné použít větu (GF3), je nutné ukázat omezenost v následujícím smyslu: Pokud každý F_n je definován pro |z| < M pak |G_n(z)| < M musí následovat před |F_n(z) − z| = |G_n(z)| ≤ Cβ_n je definován pro iterační účely. To je proto, že ${ displaystyle g_ {n} (G_ {n-1} (z))}$ dochází během expanze. K omezení

${ displaystyle | z | 0}$

slouží tomuto účelu. Pak G_n(z) → G(z) jednotně na omezené doméně.

Příklad (S1). Soubor

${ displaystyle f_ {n} (z) = z + { frac {1} { rho n ^ {2}}} { sqrt {z}}, qquad rho> { sqrt { frac { pi } {6}}}}$

a M = ρ². Pak R = ρ² - (π / 6)> 0. Potom, pokud ${ displaystyle S = left {z: | z | 0 right }}$, z v S naznačuje |G_n(z)| < M a věta (GF3) platí, takže

${ displaystyle { begin {zarovnáno} G_ {n} (z) & = z + g_ {1} (z) + g_ {2} (G_ {1} (z)) + g_ {3} (G_ {2 } (z)) + cdots + g_ {n} (G_ {n-1} (z)) & = z + { frac {1} { rho cdot 1 ^ {2}}} { sqrt {z}} + { frac {1} { rho cdot 2 ^ {2}}} { sqrt {G_ {1} (z)}} + { frac {1} { rho cdot 3 ^ {2}}} { sqrt {G_ {2} (z)}} + cdots + { frac {1} { rho cdot n ^ {2}}} { sqrt {G_ {n-1} (z)}} end {zarovnáno}}}$

konverguje absolutně, proto je konvergentní.

Příklad (S2): ${ displaystyle f_ {n} (z) = z + { frac {1} {n ^ {2}}} cdot varphi (z), varphi (z) = 2 cos (x / y) + i2 sin (x / y),> G_ {n} (z) = f_ {n} circ f_ {n-1} circ cdots circ f_ {1} (z), qquad [-10,10 ], n = 50}$

Příklad (S2) - Topografický (moduli) obraz samy generující řady.

produkty

Produkt definovaný rekurzivně pomocí

${ displaystyle f_ {n} (z) = z (1 + g_ {n} (z)), qquad | z | leqslant M,}$

má vzhled

${ displaystyle G_ {n} (z) = z prod _ {k = 1} ^ {n} vlevo (1 + g_ {k} vlevo (G_ {k-1} (z) vpravo) vpravo ).}$

Pro použití věty GF3 je nutné, aby:

${ displaystyle left | zg_ {n} (z) right | leq C beta _ {n}, qquad sum _ {k = 1} ^ { infty} beta _ {k} < infty .}$

Podmínka omezenosti musí znovu podporovat

${ displaystyle left | G_ {n-1} (z) g_ {n} (G_ {n-1} (z)) right | leq C beta _ {n}.}$

Pokud to někdo ví Cβ_n předem postačí následující:

${ displaystyle | z | leqslant R = { frac {M} {P}} qquad { text {kde}} quad P = prod _ {n = 1} ^ { infty} vlevo (1 + C beta _ {n} right).}$

Pak G_n(z) → G(z) jednotně na omezené doméně.

Příklad (P1). Předpokládat ${ displaystyle f_ {n} (z) = z (1 + g_ {n} (z))}$ s ${ displaystyle g_ {n} (z) = { tfrac {z ^ {2}} {n ^ {3}}},}$ pozorování po několika předběžných výpočtech, že |z| ≤ 1/4 znamená |G_n(z) | <0,27. Pak

${ displaystyle left | G_ {n} (z) { frac {G_ {n} (z) ^ {2}} {n ^ {3}}} doprava | <(0,02) { frac {1} {n ^ {3}}} = C beta _ {n}}$

a

${ displaystyle G_ {n} (z) = z prod _ {k = 1} ^ {n-1} left (1 + { frac {G_ {k} (z) ^ {2}} {n ^ {3}}} vpravo)}$

konverguje rovnoměrně.

Příklad (P2).

${ displaystyle g_ {k, n} (z) = z left (1 + { frac {1} {n}} varphi left (z, { tfrac {k} {n}} right) že jo),}$

${ Displaystyle G_ {n, n} (z) = vlevo (g_ {n, n} cirkus g_ {n-1, n} cirkus cdots cirkus g_ {1, n} doprava) (z) = z prod _ {k = 1} ^ {n} (1 + P_ {k, n} (z)),}$

${ displaystyle P_ {k, n} (z) = { frac {1} {n}} varphi left (G_ {k-1, n} (z), { tfrac {k} {n}} že jo),}$

${ displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n-1} left (1 + P_ {k, n} (z) right) = 1 + P_ {1, n} (z) + P_ {2 , n} (z) + cdots + P_ {k-1, n} (z) + R_ {n} (z) sim int _ {0} ^ {1} pi (z, t) , dt + 1 + R_ {n} (z),}$

${ displaystyle varphi (z) = x cos (y) + iy sin (x), int _ {0} ^ {1} (z pi (z, t) -1) , dt, qquad [-15,15]:}$

Příklad (P2): Picassův vesmír - odvozený virtuální integrál ze samy generujícího nekonečného produktu. Kliknutím na obrázek zobrazíte vyšší rozlišení.

Pokračující zlomky

Příklad (CF1): Samy generující se pokračující zlomek.^[5][3]

${ displaystyle { begin {aligned} F_ {n} (z) & = { frac { rho (z)} { delta _ {1} +}} { frac { rho (F_ {1} ( z))} { delta _ {2} +}} { frac { rho (F_ {2} (z))} { delta _ {3} +}} cdots { frac { rho (F_ {n-1} (z))} { delta _ {n}}}, rho (z) & = { frac { cos (y)} { cos (y) + sin (x )}} + i { frac { sin (x)} { cos (y) + sin (x)}}, qquad [0$

Příklad CF1: Snižující se výnosy - topografický (moduli) obraz samogenerující pokračující frakce.

Příklad (CF2): Nejlépe popsáno jako samogenerující reverz Euler pokračoval ve zlomku.^[5]

${ displaystyle G_ {n} (z) = { frac { rho (G_ {n-1} (z))} {1+ rho (G_ {n-1} (z)) -}} { frac { rho (G_ {n-2} (z))} {1+ rho (G_ {n-2} (z)) -}} cdots { frac { rho (G_ {1} ( z))} {1+ rho (G_ {1} (z)) -}} { frac { rho (z)} {1+ rho (z) -z}},}$

${ displaystyle rho (z) = rho (x + iy) = x cos (y) + iy sin (x), qquad [-15,15], n = 30}$

Příklad CF2: Dream of Gold - topografický (moduli) obraz samogenerující reverzní Eulerovy pokračující frakce.

Reference