Khinchinsova konstanta - Khinchins constant - Wikipedia

v teorie čísel, Aleksandr Jakovlevič Khinchin dokázal, že pro téměř všechny reálná čísla Xkoeficienty A_i z pokračující zlomek expanze X mít konečnou geometrický průměr to je nezávislé na hodnotě X a je znám jako Khinchinova konstanta.

To je pro

${ displaystyle x = a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1} + { cfrac {1} {a_ {2} + { cfrac {1} {a_ {3} + { cfrac { 1} { ddots}}}}}}}} ;}$

to je Skoro pořád Pravda že

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} left (a_ {1} a_ {2} ... a_ {n} right) ^ {1 / n} = K_ {0}}$

kde ${ displaystyle K_ {0}}$ je Khinchinova konstanta

${ displaystyle K_ {0} = prod _ {r = 1} ^ { infty} { left (1+ {1 over r (r + 2)} right)} ^ { log _ {2} r} přibližně 2,6854520010 tečky}$ (sekvence A002210 v OEIS )

(s ${ displaystyle prod}$ označující produkt ve všech posloupnostech ).

Ačkoli tuto vlastnost splňují téměř všechna čísla, nebylo prokázáno žádný reálné číslo ne speciálně konstruované pro tento účel. Mezi čísly X jejichž pokračující expanze zlomků jsou známy ne mít tuto vlastnost jsou racionální čísla, kořeny kvadratické rovnice (včetně Zlatý řez Φ a odmocniny celých čísel) a základ přirozeného logaritmu E.

Khinchin je někdy hláskován Khintchine (francouzský přepis ruského (инчин) ve starší matematické literatuře.

Náčrt důkazu

Zde předložený důkaz připravil Czesław Ryll-Nardzewski^[1] a je mnohem jednodušší než Khinchinův původní důkaz, který se nepoužíval ergodická teorie.

Od prvního koeficientu A₀ pokračujícího zlomku X nehraje žádnou roli v Khinchinově větě a od té doby racionální čísla mít Lebesgueovo opatření nula, jsme redukováni na studium iracionálních čísel v jednotkový interval, tj. ti v ${ displaystyle I = [0,1] setminus mathbb {Q}}$. Tato čísla jsou v bijekce s nekonečným pokračující zlomky formuláře [0;A₁, A₂, ...], které jednoduše napíšeme [A₁, A₂, ...], kde A₁, A₂, ... jsou kladná celá čísla. Definujte transformaci T:Já → Já podle

${ displaystyle T ([a_ {1}, a_ {2}, dots]) = [a_ {2}, a_ {3}, dots]. ,}$

Transformace T se nazývá Operátor Gauss – Kuzmin – Wirsing. Pro každého Podmnožina Borel E z Já, definujeme také Gauss – Kuzminovo opatření z E

${ displaystyle mu (E) = { frac {1} { log 2}} int _ {E} { frac {dx} {1 + x}}.}$

Pak μ je míra pravděpodobnosti na σ-algebra podmnožin Borel z Já. Měření μ je ekvivalent na Lebesgueovo opatření dále Já, ale má další vlastnost, že transformace T konzervuje Měření μ. Navíc to lze dokázat T je ergodická transformace z měřitelný prostor Já obdařen mírou pravděpodobnosti μ (toto je těžká část důkazu). The ergodická věta pak říká, že pro všechny μ-integrovatelná funkce F na Jáprůměrná hodnota ${ displaystyle f left (T ^ {k} x right)}$ je stejný téměř pro všechny ${ displaystyle x}$:

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} součet _ {k = 0} ^ {n-1} (f circ T ^ {k}) (x) = int _ {I} fd mu quad { text {for}} mu { text {- téměř vše}} x v I.}$

Toto aplikujeme na funkci definovanou F([A₁, A₂, ...]) = log (A₁), získáme to

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} součet _ {k = 1} ^ {n} log (a_ {k}) = int _ {I} f , d mu = sum _ {r = 1} ^ { infty} log (r) { frac { log { bigl (} 1 + { frac {1} {r (r + 2 )}} { bigr)}} { log 2}}}$

pro téměř všechny [A₁, A₂, ...] v Já tak jako n → ∞.

Užívání exponenciální na obou stranách získáme vlevo geometrický průměr první n koeficienty pokračujícího zlomku a vpravo Khinchinova konstanta.

Sériové výrazy

Khinchinova konstanta může být vyjádřena jako a racionální série zeta ve formě^[2]

${ displaystyle log K_ {0} = { frac {1} { log 2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (2n) -1} {n} } sum _ {k = 1} ^ {2n-1} { frac {(-1) ^ {k + 1}} {k}}}$

nebo odloupnutím termínů v seriálu,

${ displaystyle log K_ {0} = { frac {1} { log 2}} left [- sum _ {k = 2} ^ {N} log left ({ frac {k-1 } {k}} right) log left ({ frac {k + 1} {k}} right) + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (2n , N + 1)} {n}} sum _ {k = 1} ^ {2n-1} { frac {(-1) ^ {k + 1}} {k}} vpravo]}$

kde N je celé číslo, konstantní a ζ (s, n) je komplex Funkce Hurwitz zeta. Obě řady jsou silně konvergentní, protože ζ (n) - 1 se u velkých rychle blíží nule n. Rozšíření může být také poskytnuto z hlediska dilogaritmus:

${ displaystyle log K_ {0} = log 2 + { frac {1} { log 2}} left [{ mbox {Li}} _ {2} left ({ frac {-1} {2}} right) + { frac {1} {2}} sum _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { mbox {Li}} _ {2} left ({ frac {4} {k ^ {2}}} right) right].}$

Hölder znamená

Na Khinchinovu konstantu lze pohlížet jako na první ze série Hölder znamená podmínek pokračujících zlomků. Vzhledem k libovolné sérii {A_n}, Hölderův prostředek řádu p série je dána

${ displaystyle K_ {p} = lim _ {n to infty} left [{ frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {p } right] ^ {1 / p}.}$

Když {A_n} jsou podmínky pokračující expanze zlomků, konstanty jsou dány

${ displaystyle K_ {p} = left [ sum _ {k = 1} ^ { infty} -k ^ {p} log _ {2} left (1 - { frac {1} {(k +1) ^ {2}}} vpravo) vpravo] ^ {1 / p}.}$

Toho se docílí přijetím p- znamená ve spojení s Gauss – Kuzminova distribuce. Hodnota pro K.₀ může být prokázáno, že je získáno v limitu p → 0.

Harmonický průměr

Prostřednictvím výše uvedených výrazů harmonický průměr lze získat také podmínky pro pokračující zlomek. Získaná hodnota je

${ displaystyle K _ {- 1} = 1,74540566240 tečky}$ (sekvence A087491 v OEIS ).

Otevřené problémy

Omezení ${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} ( pi _ {1} pi _ {2} ... pi _ {n}) ^ {1 / n}}$ Zdá se, že inklinuje k Khinchinově konstantě.

• π, Euler – Mascheroniho konstanta γ a Khinchinova konstanta sama, na základě číselných důkazů,^[3][4] jsou považována za čísla, jejichž geometrický průměr koeficientů A_i v jejich pokračující expanzi frakce inklinuje k Khinchinově konstantě. Žádný z těchto limitů však nebyl důsledně stanoven.
• Není známo, zda je Khinchinova konstanta racionální, algebraický iracionální nebo transcendentální číslo.^[5]

Viz také

• Lochsova věta
• Lévyho konstanta

• Seznam matematických konstant

Reference

• David H. Bailey; Jonathan M. Borwein; Richard E. Crandall (1995). „Na Khinchinově konstantě“ (PDF). doi:10.1090 / s0025-5718-97-00800-4. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

• Jonathan M. Borwein; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000). "Výpočetní strategie pro funkci Riemann Zeta" (PDF). J. Comp. Aplikace. Matematika. 121: 11. doi:10.1016 / s0377-0427 (00) 00336-8.

• Thomas Wieting. „Khinchinova sekvence“. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

• Aleksandr Ya. Khinchin (1997). Pokračující zlomky. New York: Dover Publications.

externí odkazy

• 110 000 číslic Khinchinovy ​​konstanty
• 10 000 číslic Khinchinovy ​​konstanty