Funkce podlahy a stropu - Floor and ceiling functions

Funkce podlahy a stropu

Funkce podlahy

Funkce stropu

v matematika a počítačová věda, funkce podlahy je funkce který bere jako vstup a reálné číslo ${ displaystyle x}$, a dává jako výstup největší celé číslo menší nebo rovno ${ displaystyle x}$, označeno ${ displaystyle operatorname {floor} (x)}$ nebo ${ displaystyle lfloor x rfloor}$. Podobně stropní funkce mapy ${ displaystyle x}$ na nejmenší celé číslo větší nebo rovno ${ displaystyle x}$, označeno ${ displaystyle operatorname {ceil} (x)}$ nebo ${ displaystyle lceil x rceil}$.^[1]

Například, ${ displaystyle operatorname {floor} (2.4) = lfloor 2.4 rfloor = 2}$ a ${ displaystyle operatorname {ceil} (2.4) = lceil 2.4 rceil = 3}$, zatímco ${ displaystyle lfloor 2 rfloor = lceil 2 rceil = 2}$.

The nedílná součást nebo celá část z X, často označován ${ displaystyle [x],}$ je ${ displaystyle lfloor x rfloor}$ -li X je nezáporné a ${ displaystyle lceil x rceil}$ v opačném případě. Slovy, toto je celé číslo, které má největší absolutní hodnota menší nebo roven absolutní hodnotě X.

Zápis

The nedílná součást nebo celá část čísla (partie entière v originálu) byla poprvé definována v roce 1798 autorem Adrien-Marie Legendre v jeho důkazu o Legendrův vzorec.

Carl Friedrich Gauss představil notaci hranatých závorek ${ displaystyle [x]}$ ve svém třetím důkazu o kvadratická vzájemnost (1808).^[2] To zůstalo standardem^[3] v matematice do Kenneth E. Iverson představil ve své knize z roku 1962 Programovací jazyk, názvy „podlaha“ a „strop“ a odpovídající notace ${ displaystyle lfloor x rfloor}$ a ${ displaystyle lceil x rceil}$.^[4][5] Oba zápisy se nyní používají v matematice,^[6] ačkoli Iversonova notace bude v tomto článku následována.

V některých zdrojích tučné písmo nebo dvojité závorky ${ displaystyle [! [x] !]}$ se používají pro podlahové a obrácené držáky ${ displaystyle] !] x [! ​​[}$ nebo]X[pro strop.^[7][8] Někdy ${ displaystyle [x]}$ se rozumí funkce zaokrouhlování na nulu.^{[Citace je zapotřebí ]}

The zlomková část je funkce pilovitý zub, označeno ${ displaystyle {x }}$ opravdu X a definovaný vzorcem^[9]

${ displaystyle {x } = x- lfloor x rfloor.}$

Pro všechny X,

${ displaystyle 0 leq {x } <1.}$

Příklady

X	Podlaha ${ displaystyle lfloor x rfloor}$	Strop ${ displaystyle lceil x rceil}$	Frakční část ${ displaystyle {x }}$
2	2	2	0
2.4	2	3	0.4
2.9	2	3	0.9
−2.7	−3	−2	0.3
−2	−2	−2	0

Sazba

Funkce podlahy a stropu jsou obvykle vysázeny s levými a pravými hranatými závorkami, kde chybí horní (pro funkci podlahy) nebo dolní (pro funkci stropu) vodorovné pruhy (${ displaystyle lfloor , rfloor}$ na podlahu a ${ displaystyle lceil , rceil}$ pro strop). V Unicode jsou uvedeny tyto znaky:

• U + 2308 ⌈ LEVÝ STROP (HTML⌈ · & lceil ;, & LeftCeiling;)
• U + 2309 ⌉ SPRÁVNÝ STROP (HTML⌉ · & rceil ;, & RightCeiling;)
• U + 230A ⌊ LEVÁ PODLAHA (HTML⌊ · & LeftFloor ;, & lfloor;)
• U + 230B ⌋ PRAVÉ PODLAHY (HTML⌋ · & rfloor ;, & RightFloor;)

V Latex sázecí systém, tyto symboly lze specifikovat pomocí lfloor, rfloor, lceil a rceil příkazy v matematickém režimu.

Definice a vlastnosti

Vzhledem k reálným číslům X a ycelá čísla k, m, n a soubor celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z}}$, podlahu a strop lze definovat pomocí rovnic

${ displaystyle lfloor x rfloor = max {m in mathbb {Z} mid m leq x },}$

${ displaystyle lceil x rceil = min {n in mathbb {Z} mid n geq x }.}$

Protože v a je právě jedno celé číslo polootevřený interval délky jedna, pro jakékoli reálné číslo X, existují jedinečná celá čísla m a n splnění rovnice

${ Displaystyle x-1$

kde ${ displaystyle lfloor x rfloor = m}$ a ${ displaystyle lceil x rceil = n}$ lze také brát jako definici podlahy a stropu.

Ekvivalence

Tyto vzorce lze použít ke zjednodušení výrazů zahrnujících podlahy a stropy.^[10]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} lfloor x rfloor = m & ; ; { mbox {pokud a jen pokud}} & m & leq x$

V jazyce teorie objednávek, funkce podlahy je a reziduované mapování, tj. součást a Galoisovo spojení: je to horní adjunkc funkce, která vloží celá čísla do realit.

${ displaystyle { begin {zarovnáno} x$

Tyto vzorce ukazují, jak přidání celých čísel do argumentů ovlivňuje funkce:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} lfloor x + n rfloor & = lfloor x rfloor + n, lceil x + n rceil & = lceil x rceil + n, {x + n } & = {x }. end {aligned}}}$

Výše uvedené nejsou nikdy pravdivé, pokud n není celé číslo; pro každého X a y, platí následující nerovnosti:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} lfloor x rfloor + lfloor y rfloor & leq lfloor x + y rfloor leq lfloor x rfloor + lfloor y rfloor +1, lceil x rceil + lceil y rceil -1 & leq lceil x + y rceil leq lceil x rceil + lceil y rceil. end {zarovnáno}}}$

Vztahy mezi funkcemi

Z definic je zřejmé, že

${ displaystyle lfloor x rfloor leq lceil x rceil,}$ s rovností právě tehdy X je celé číslo, tj.

${ displaystyle lceil x rceil - lfloor x rfloor = { begin {cases} 0 & { mbox {if}} x in mathbb {Z} 1 & { mbox {if}} x ne in mathbb {Z} end {cases}}}$

Ve skutečnosti pro celá čísla n, funkce podlahy i stropu jsou identita:

${ displaystyle lfloor n rfloor = lceil n rceil = n.}$

Negace argumentu přepne podlahu a strop a změní znaménko:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} lfloor x rfloor + lceil -x rceil & = 0 - lfloor x rfloor & = lceil -x rceil - lceil x rceil & = lfloor -x rfloor end {zarovnáno}}}$

a:

${ displaystyle lfloor x rfloor + lfloor -x rfloor = { begin {cases} 0 & { text {if}} x in mathbb {Z} - 1 & { text {if}} x not in mathbb {Z}, end {cases}}}$

${ displaystyle lceil x rceil + lceil -x rceil = { začátek {případy} 0 & { text {if}} x v mathbb {Z} 1 & { text {if}} x ne in mathbb {Z}. end {cases}}}$

Negaci argumentu doplňuje zlomková část:

${ displaystyle {x } + {- x } = { začátek {případy} 0 & { text {if}} x in mathbb {Z} 1 & { text {if}} x ne in mathbb {Z}. end {cases}}}$

Funkce podlahy, stropu a dílčí části jsou idempotentní:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { Big lfloor} lfloor x rfloor { Big rfloor} & = lfloor x rfloor, { Big lceil} lceil x rceil { Big rceil} & = lceil x rceil, { Big {} {x } { Big }} & = {x }. end {zarovnáno}}}$

Výsledkem vnořených funkcí podlahy nebo stropu je nejvnitřnější funkce:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { Big lfloor} lceil x rceil { Big rfloor} & = lceil x rceil, { Big lceil} lfloor x rfloor { Big rceil} & = lfloor x rfloor end {zarovnáno}}}$

kvůli vlastnosti identity pro celá čísla.

Kvocienty

Li m a n jsou celá čísla a n ≠ 0,

${ displaystyle 0 leq left {{ frac {m} {n}} right } leq 1 - { frac {1} {| n |}}.}$

Li n je kladné celé číslo^[11]

${ displaystyle left lfloor { frac {x + m} {n}} right rfloor = left lfloor { frac { lfloor x rfloor + m} {n}} right rfloor,}$

${ displaystyle left lceil { frac {x + m} {n}} right rceil = left lceil { frac { lceil x rceil + m} {n}} right rceil.}$

Li m je pozitivní^[12]

${ displaystyle n = left lceil { frac {n} {m}} right rceil + left lceil { frac {n-1} {m}} right rceil + dots + left lceil { frac {n-m + 1} {m}} vpravo rceil,}$

${ displaystyle n = left lfloor { frac {n} {m}} right rfloor + left lfloor { frac {n + 1} {m}} right rfloor + dots + left lfloor { frac {n + m-1} {m}} doprava rfloor.}$

Pro m = 2 z toho vyplývá

${ displaystyle n = left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor + left lceil { frac {n} {2}} right rceil.}$

Obecněji,^[13] pro pozitivní m (Vidět Hermitova identita )

${ Displaystyle lceil mx rceil = left lceil x right rceil + left lceil x - { frac {1} {m}} right rceil + dots + left lceil x- { frac {m-1} {m}} vpravo rceil,}$

${ Displaystyle lfloor mx rfloor = left lfloor x right rfloor + left lfloor x + { frac {1} {m}} right rfloor + dots + left lfloor x + { frac {m-1} {m}} doprava rfloor.}$

K převodu podlah na stropy a naopak (m pozitivní)^[14]

${ displaystyle left lceil { frac {n} {m}} right rceil = left lfloor { frac {n + m-1} {m}} right rfloor = left lfloor { frac {n-1} {m}} doprava rfloor +1,}$

${ displaystyle left lfloor { frac {n} {m}} right rfloor = left lceil { frac {n-m + 1} {m}} right rceil = left lceil { frac {n + 1} {m}} right rceil -1,}$

Pro všechny m a n přísně kladná celá čísla:^{[15][je zapotřebí lepší zdroj ]}

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n-1} vlevo lfloor { frac {km} {n}} vpravo rfloor = { frac {(m-1) (n-1) + gcd (m, n) -1} {2}},}$

které pro pozitivní a coprime m a n, redukuje na

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n-1} vlevo lfloor { frac {km} {n}} vpravo rfloor = { frac {1} {2}} (m-1 ) (n-1).}$

Protože je pravá strana obecného případu symetrická m a n, z toho vyplývá, že

${ displaystyle left lfloor { frac {m} {n}} right rfloor + left lfloor { frac {2m} {n}} right rfloor + dots + left lfloor { frac {(n-1) m} {n}} right rfloor = left lfloor { frac {n} {m}} right rfloor + left lfloor { frac {2n} {m} } right rfloor + dots + left lfloor { frac {(m-1) n} {m}} right rfloor.}$

Obecněji, pokud m a n jsou pozitivní,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} & left lfloor { frac {x} {n}} right rfloor + left lfloor { frac {m + x} {n}} right rfloor + left lfloor { frac {2m + x} {n}} right rfloor + dots + left lfloor { frac {(n-1) m + x} {n}} right rfloor = & left lfloor { frac {x} {m}} right rfloor + left lfloor { frac {n + x} {m}} right rfloor + left lfloor { frac {2n + x} {m}} vpravo rfloor + cdots + vlevo lfloor { frac {(m-1) n + x} {m}} vpravo rfloor. End {zarovnáno}}}$

Někdy se tomu říká a zákon o vzájemnosti.^[16]

Vnořené divize

Pro kladné celé číslo na libovolná reálná čísla m,X:^[17]

${ displaystyle left lfloor { frac { lfloor x / m rfloor} {n}} right rfloor = left lfloor { frac {x} {mn}} right rfloor}$

${ displaystyle left lceil { frac { lceil x / m rceil} {n}} right rceil = left lceil { frac {x} {mn}} right rceil.}$

Kontinuita a rozšiřování sérií

Žádná z funkcí popsaných v tomto článku není kontinuální, ale všechny jsou po částech lineární: funkce ${ displaystyle lfloor x rfloor}$, ${ displaystyle lceil x rceil}$, a ${ displaystyle {x }}$ mít diskontinuity v celých číslech.

${ displaystyle lfloor x rfloor}$ je horní polokontinuální a${ displaystyle lceil x rceil}$ a ${ displaystyle {x }}$ jsou nižší polokontinuální.

Protože žádná z funkcí popsaných v tomto článku není spojitá, žádná z nich nemá a výkonová řada expanze. Protože podlaha a strop nejsou periodické, nemají rovnoměrně konvergentní Fourierova řada expanze. Funkce zlomkové části má expanzi Fourierovy řady^[18]

${ displaystyle {x } = { frac {1} {2}} - { frac {1} { pi}} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin (2 pi kx)} {k}}}$

pro X ne celé číslo.

V bodech diskontinuity Fourierova řada konverguje k hodnotě, která je průměrem jejích limitů vlevo a vpravo, na rozdíl od funkcí podlahy, stropu a zlomkové části: pro y pevné a X násobek y zadaná Fourierova řada konverguje k y/ 2, spíše než aby X mody = 0. V bodech spojitosti řada konverguje ke skutečné hodnotě.

Použití vzorce floor (x) = x - {x} dává

${ displaystyle lfloor x rfloor = x - { frac {1} {2}} + { frac {1} { pi}} součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin (2 pi kx)} {k}}}$

pro X ne celé číslo.

Aplikace

Operátor mod

Pro celé číslo X a kladné celé číslo y, modulo provoz, označeno X mod y, udává hodnotu zbytku, když X je rozděleno y. Tuto definici lze rozšířit na skutečnou X a y, y ≠ 0, podle vzorce

${ displaystyle x { bmod {y}} = x-y levý lfloor { frac {x} {y}} pravý rfloor.}$

Z definice funkce podlahy pak vyplývá, že tato rozšířená operace splňuje mnoho přírodních vlastností. Zejména, X mod y je vždy mezi 0 a y, tj.,

-li y je pozitivní,

${ displaystyle 0 leq x { bmod {y}}$

a pokud y je negativní,

${ displaystyle 0 geq x { bmod {y}}> y.}$

Kvadratická vzájemnost

Gaussův třetí důkaz kvadratická vzájemnost, ve znění Eisensteina, má dva základní kroky.^[19][20]

Nechat str a q být zřetelná kladná lichá prvočísla a nechat

${ displaystyle m = { frac {p-1} {2}},}$ ${ displaystyle n = { frac {q-1} {2}}.}$

Za prvé, Gaussovo lema se používá k prokázání, že Legendární symboly jsou dány

${ displaystyle left ({ frac {q} {p}} right) = (- 1) ^ { left lfloor { frac {q} {p}} right rfloor + left lfloor { frac {2q} {p}} right rfloor + dots + left lfloor { frac {mq} {p}} right rfloor}}$

a

${ displaystyle left ({ frac {p} {q}} right) = (- 1) ^ { left lfloor { frac {p} {q}} right rfloor + left lfloor { frac {2p} {q}} right rfloor + dots + left lfloor { frac {np} {q}} right rfloor}.}$

Druhým krokem je použití geometrického argumentu, který to ukáže

${ displaystyle left lfloor { frac {q} {p}} right rfloor + left lfloor { frac {2q} {p}} right rfloor + dots + left lfloor { frac {mq} {p}} pravý rfloor + levý lfloor { frac {p} {q}} pravý rfloor + levý lfloor { frac {2p} {q}} pravý rfloor + dots + left lfloor { frac {np} {q}} right rfloor = mn.}$

Kombinace těchto vzorců dává kvadratickou vzájemnost ve formě

${ displaystyle left ({ frac {p} {q}} right) left ({ frac {q} {p}} right) = (- 1) ^ {mn} = (- 1) ^ {{ frac {p-1} {2}} { frac {q-1} {2}}}.}$

Existují vzorce, které používají floor k vyjádření kvadratického charakteru malých čísel a lichých prvočísel str:^[21]

${ displaystyle left ({ frac {2} {p}} right) = (- 1) ^ { left lfloor { frac {p + 1} {4}} right rfloor},}$

${ displaystyle left ({ frac {3} {p}} right) = (- 1) ^ { left lfloor { frac {p + 1} {6}} right rfloor}.}$

Zaokrouhlování

Pro libovolné reálné číslo ${ displaystyle x}$, zaokrouhlování ${ displaystyle x}$ na nejbližší celé číslo pomocí lámání kravaty směrem k pozitivnímu nekonečnu je dáno ${ displaystyle { text {rpi}} (x) = left lfloor x + { tfrac {1} {2}} right rfloor = left lceil { tfrac { lfloor 2x rfloor} {2 }} vpravo rceil}$; zaokrouhlování na záporné nekonečno se udává jako ${ displaystyle { text {rni}} (x) = levý lceil x - { tfrac {1} {2}} pravý rceil = levý lfloor { tfrac { lceil 2x rceil} { 2}} doprava rfloor}$.

Pokud je rozhodování rozděleno od 0, pak je funkce zaokrouhlování ${ displaystyle { text {ri}} (x) = operatorname {sgn} (x) levý lfloor | x | + { tfrac {1} {2}} pravý rfloor}$, a zaokrouhlování na rovnoměrné lze vyjádřit tím těžkopádnějším ${ displaystyle lfloor x rceil = left lfloor x + { tfrac {1} {2}} right rfloor + left lceil { tfrac {2x-1} {4}} right rceil - left lfloor { tfrac {2x-1} {4}} right rfloor -1}$, což je výše uvedený výraz pro zaokrouhlování směrem k pozitivnímu nekonečnu ${ displaystyle { text {rpi}} (x)}$ minus an celistvost indikátor pro ${ displaystyle { tfrac {2x-1} {4}}}$.

Zkrácení

The zkrácení kladného čísla je dáno ${ displaystyle lfloor x rfloor.}$ Zkrácení záporného čísla je dáno vztahem ${ displaystyle lceil x rceil}$. Je zřejmé, že zkrácení ${ displaystyle 0}$ je sám sebou ${ displaystyle 0}$.

Zkrácení libovolného reálného čísla může být dáno: ${ displaystyle operatorname {sgn} (x) lfloor | x | rfloor}$, kde sgn je znaková funkce.

Počet číslic

Počet číslic v základna b kladného celého čísla k je

${ displaystyle lfloor log _ {b} {k} rfloor + 1 = lceil log _ {b} {(k + 1)} rceil.}$

Faktory faktoriálů

Nechat n být kladné celé číslo a str kladné prvočíslo. Exponent největšího výkonu str který rozděluje n! je dána verzí Legendrův vzorec^[22]

${ displaystyle left lfloor { frac {n} {p}} right rfloor + left lfloor { frac {n} {p ^ {2}}} right rfloor + left lfloor { frac {n} {p ^ {3}}} right rfloor + dots = { frac {n- sum _ {k} a_ {k}} {p-1}}}$

kde ${ displaystyle n = součet _ {k} a_ {k} p ^ {k}}$ je způsob psaní n v základně str. Toto je konečný součet, protože podlahy jsou nulové, když str^k > n.

Beatty sekvence

The Beatty sekvence ukazuje, jak každý pozitivní iracionální číslo vede k rozdělení oddílu přirozená čísla do dvou sekvencí pomocí funkce podlahy.^[23]

Eulerova konstanta (γ)

Existují vzorce pro Eulerova konstanta γ = 0,57721 56649 ... které zahrnují podlahu a strop, např.^[24]

${ displaystyle gamma = int _ {1} ^ { infty} left ({1 over lfloor x rfloor} - {1 over x} right) , dx,}$

${ displaystyle gamma = lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} součet _ {k = 1} ^ {n} left ( left lceil { frac {n } {k}} right rceil - { frac {n} {k}} right),}$

a

${ displaystyle gamma = součet _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac { left lfloor log _ {2} k right rfloor} {k} } = { tfrac {1} {2}} - { tfrac {1} {3}} + 2 vlevo ({ tfrac {1} {4}} - { tfrac {1} {5}} + { tfrac {1} {6}} - { tfrac {1} {7}} vpravo) +3 vlevo ({ tfrac {1} {8}} - cdots - { tfrac {1} { 15}} vpravo) + tečky}$

Funkce Riemann zeta (ζ)

Funkce zlomkové části se také zobrazí v integrálních reprezentacích Funkce Riemann zeta. Je jednoduché dokázat (pomocí integrace po částech)^[25] to když ${ displaystyle phi (x)}$ je libovolná funkce se spojitou derivací v uzavřeném intervalu [A, b],

${ displaystyle sum _ {a$

Pronájem ${ displaystyle phi (n) = {n} ^ {- s}}$ pro skutečná část z s větší než 1 a nechat A a b být celá čísla a nechat b přístup nekonečna dává

${ displaystyle zeta (s) = s int _ {1} ^ { infty} { frac {{ frac {1} {2}} - {x }} {x ^ {s + 1} }} , dx + { frac {1} {s-1}} + { frac {1} {2}}.}$

Tento vzorec platí pro všechny s se skutečnou částí větší než -1, (kromě s = 1, kde je pól) a v kombinaci s Fourierovou expanzí pro {X} lze použít k rozšíření funkce zeta na celou komplexní rovinu a k prokázání její funkční rovnice.^[26]

Pro s = σ + to v kritickém pásu 0 < σ < 1,

${ displaystyle zeta (s) = s int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- sigma omega} ( lfloor e ^ { omega} rfloor -e ^ { omega} ) e ^ {- to omega} , d omega.}$

V roce 1947 van der Pol použil tuto reprezentaci ke konstrukci analogového počítače pro hledání kořenů funkce zeta.^[27]

Vzorce pro prvočísla

Funkce floor se objevuje v několika vzorcích charakterizujících prvočísla. Například od ${ displaystyle left lfloor { frac {n} {m}} right rfloor - left lfloor { frac {n-1} {m}} right rfloor}$ se rovná 1, pokud m rozděluje n, a na 0, jinak vyplývá, že kladné celé číslo n je prime kdyby a jen kdyby^[28]

${ displaystyle sum _ {m = 1} ^ { infty} left ( left lfloor { frac {n} {m}} right rfloor - left lfloor { frac {n-1} {m}} right rfloor right) = 2.}$

Jeden může také dát vzorce pro výrobu prvočísel. Například pojďme str_n být n^th prime a pro celé číslo r > 1, definujte skutečné číslo α součtem

${ displaystyle alpha = sum _ {m = 1} ^ { infty} p_ {m} r ^ {- m ^ {2}}.}$

Pak^[29]

${ displaystyle p_ {n} = left lfloor r ^ {n ^ {2}} alpha right rfloor -r ^ {2n-1} left lfloor r ^ {(n-1) ^ {2 }} alpha right rfloor.}$

Podobný výsledek je, že existuje číslo θ = 1.3064... (Millsova konstanta ) s vlastností, která

${ Displaystyle left lfloor theta ^ {3} right rfloor, left lfloor theta ^ {9} right rfloor, left lfloor theta ^ {27} right rfloor, dots }$

jsou všichni hlavní.^[30]

Existuje také číslo ω = 1,9287800 ... s vlastností, která

${ displaystyle left lfloor 2 ^ { omega} right rfloor, left lfloor 2 ^ {2 ^ { omega}} right rfloor, left lfloor 2 ^ {2 ^ {2 ^ { omega}}} doprava rfloor, dots}$

jsou všichni hlavní.^[30]

Nechat π(X) být počet prvočísel menší nebo roven X. Je to přímý dedukce z Wilsonova věta že^[31]

${ displaystyle pi (n) = součet _ {j = 2} ^ {n} vlevo lfloor { frac {(j-1)! + 1} {j}} - vlevo lfloor { frac {(j-1)!} {j}} right rfloor right rfloor.}$

Také pokud n ≥ 2,^[32]

${ displaystyle pi (n) = součet _ {j = 2} ^ {n} levý lfloor { frac {1} { součet _ {k = 2} ^ {j} levý lfloor levý lfloor { frac {j} {k}} right rfloor { frac {k} {j}} right rfloor}} right rfloor.}$

Žádný ze vzorců v této části nemá praktické využití.^[33][34]

Vyřešené problémy

Ramanujan předložil tyto problémy Journal of the Indian Mathematical Society.^[35]

Li n je kladné celé číslo, prokažte to

(i) ${ displaystyle left lfloor { tfrac {n} {3}} right rfloor + left lfloor { tfrac {n + 2} {6}} right rfloor + left lfloor { tfrac {n + 4} {6}} vpravo rfloor = vlevo lfloor { tfrac {n} {2}} vpravo rfloor + vlevo lfloor { tfrac {n + 3} {6}} pravé podlaží,}$

ii) ${ displaystyle left lfloor { tfrac {1} {2}} + { sqrt {n + { tfrac {1} {2}}}} right rfloor = left lfloor { tfrac {1} {2}} + { sqrt {n + { tfrac {1} {4}}}} doprava rfloor,}$

(iii) ${ displaystyle left lfloor { sqrt {n}} + { sqrt {n + 1}} right rfloor = left lfloor { sqrt {4n + 2}} right rfloor.}$

Nevyřešený problém

Studium Waringův problém vedlo k nevyřešenému problému:

Existují nějaká kladná celá čísla k ≥ 6 takových^[36]

${ displaystyle 3 ^ {k} -2 ^ {k} left lfloor left ({ tfrac {3} {2}} right) ^ {k} right rfloor> 2 ^ {k} - left lfloor left ({ tfrac {3} {2}} right) ^ {k} right rfloor -2}$ ?

Mahler^[37] dokázal, že jich může být jen konečný počet k; žádné nejsou známy.

Počítačové implementace

Funkce Int z převodu s plovoucí desetinnou čárkou v C

Ve většině programovacích jazyků nejjednodušší metoda převodu čísla s plovoucí desetinnou čárkou na celé číslo neumožňuje podlahu nebo strop, ale zkrácení. Důvod je historický, jako první použité stroje doplněk a zkrácení bylo jednodušší implementovat (podlaha je v doplněk dvou ). FORTRAN bylo definováno tak, aby vyžadovalo toto chování, a tak téměř všechny procesory implementují převod tímto způsobem. Někteří to považují za nešťastné historické rozhodnutí o designu, které vedlo k tomu, že chyby zpracovávaly negativní posuny a grafiku na negativní straně původu.^{[Citace je zapotřebí ]}

A bitový posun doprava celého čísla se znaménkem ${ displaystyle x}$ podle ${ displaystyle n}$ je stejné jako ${ displaystyle left lfloor { frac {x} {2 ^ {n}}} right rfloor}$. Dělení silou 2 se často píše jako pravý posun, nikoli pro optimalizaci, jak by se dalo předpokládat, ale proto, že je nutná minimální úroveň negativních výsledků. Za předpokladu, že takové posuny jsou „předčasnou optimalizací“ a jejich nahrazení rozdělením může software rozbít.^{[Citace je zapotřebí ]}

Mnoho programovacích jazyků (včetně C, C ++,^[38][39] C#,^[40][41] Jáva,^[42][43] PHP,^[44][45] R,^[46] a Krajta^[47]) poskytují standardní funkce pro podlahu a strop, obvykle nazývané podlaha a stropnebo méně často strop.^[48] Jazyk APL používá ⌊X na podlahu. The J Programovací jazyk, pokračování APL, které je navrženo k používání standardních symbolů klávesnice, používá <. na podlahu a >. pro strop.^[49]ALGOL používáentier na podlahu.

Tabulkový software

Tato sekce potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. (Srpna 2008) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Většina tabulkový kalkulátor programy podporují nějakou formu a strop funkce. Ačkoli se podrobnosti mezi programy liší, většina implementací podporuje druhý parametr - na násobek kterého se má zaokrouhlit dané číslo. Například, strop (2, 3) zaokrouhlí číslo 2 na nejbližší násobek 3 a dá 3. Definice toho, co znamená „zaokrouhlit nahoru“, se však liší program od programu.

Microsoft Excel používal téměř přesně opak standardní notace, s INT pro podlahu a PODLAHA což znamená zaokrouhlování na nulu a STROP což znamená zaokrouhlování od nuly.^[50] Toto následovalo až k Office Open XML formát souboru. Excel 2010 nyní postupuje podle standardní definice.^[51]

The OpenDocument formát souboru, jak jej používá OpenOffice.org, Libreoffice a další, řídí se matematickou definicí stropu pro svůj strop funkce s volitelným parametrem pro kompatibilitu s Excelem. Například, STROP (-4,5) vrátí −4.

Viz také

• Závorka (matematika)
• Funkce s celočíselnými hodnotami
• Kroková funkce

Poznámky

Reference

• J.W.S. Cassels (1957), Úvod do diofantické aproximace„Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics“, 45, Cambridge University Press
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001), Prvočísla: Výpočetní perspektiva, New York: Springer, ISBN  0-387-94777-9
• Graham, Ronald L .; Knuth, Donald E .; Patashnik, Oren (1994), Konkrétní matematika, Reading Ma .: Addison-Wesley, ISBN  0-201-55802-5
• Hardy, G. H .; Wright, E. M. (1980), Úvod do teorie čísel (páté vydání), Oxford: Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853171-5
• Nicholas J. Higham, Příručka psaní pro matematické vědy, SIAM. ISBN  0-89871-420-6, str. 25
• ISO /IEC. ISO / IEC 9899 :: 1999 (E): Programovací jazyky - C (2. vydání), 1999; Oddíl 6.3.1.4, s. 43.
• Iverson, Kenneth E. (1962), Programovací jazykWiley
• Lemmermeyer, Franz (2000), Zákony o vzájemnosti: od Eulera po Eisenstein, Berlín: Springer, ISBN  3-540-66957-4
• Ramanujan, Srinivasa (2000), Shromážděné dokumenty, Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN  978-0-8218-2076-6
• Ribenboim, Paulo (1996), Nová kniha rekordů prvočísel, New York: Springer, ISBN  0-387-94457-5
• Michael Sullivan. Precalculus, 8. vydání, s. 86
• Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), Teorie funkce Riemanna Zeta (2. vyd.), Oxford: Oxford U. P., ISBN  0-19-853369-1

externí odkazy

• "Funkce podlahy", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Štefan Porubský, "Funkce zaokrouhlení na celé číslo", Interaktivní informační portál pro algoritmickou matematiku, Ústav výpočetní techniky AV ČR, Praha, vyvoláno 24. října 2008
• Weisstein, Eric W. "Funkce podlahy". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Funkce stropu". MathWorld.