Spojitý (matematika) - Continuant (mathematics)

v algebra, pokračovatel je vícerozměrný polynom zastupující určující a tridiagonální matice a mít aplikace v zobecněné pokračující zlomky.

Definice

The n-th pokračovatel ${ displaystyle K_ {n} (x_ {1}, ; x_ {2}, ; ldots, ; x_ {n})}$ je definován rekurzivně pomocí

${ displaystyle K_ {0} = 1; ,}$

${ displaystyle K_ {1} (x_ {1}) = x_ {1}; ,}$

${ displaystyle K_ {n} (x_ {1}, ; x_ {2}, ; ldots, ; x_ {n}) = x_ {n} K_ {n-1} (x_ {1}, ; x_ {2}, ; ldots, ; x_ {n-1}) + K_ {n-2} (x_ {1}, ; x_ {2}, ; ldots, ; x_ {n -2}). ,}$

Vlastnosti

• Pokračovatel ${ displaystyle K_ {n} (x_ {1}, ; x_ {2}, ; ldots, ; x_ {n})}$ lze vypočítat součtem všech možných produktů z X₁,...,X_n, ve kterém je odstraněn libovolný počet nesouvislých párů po sobě jdoucích termínů (Eulerovo pravidlo). Například,

  ${ displaystyle K_ {5} (x_ {1}, ; x_ {2}, ; x_ {3}, ; x_ {4}, ; x_ {5}) = x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4} x_ {5} ; + ; x_ {3} x_ {4} x_ {5} ; + ; x_ {1} x_ {4} x_ {5} ; + ; x_ {1} x_ {2} x_ {5} ; + ; x_ {1} x_ {2} x_ {3} ; + ; x_ {1} ; + ; x_ {3} ; + ; x_ {5}.}$

Z toho vyplývá, že spojitosti jsou neměnné, pokud jde o obrácení pořadí neurčitých: ${ displaystyle K_ {n} (x_ {1}, ; ldots, ; x_ {n}) = K_ {n} (x_ {n}, ; ldots, ; x_ {1}).}$

• Kontinuant lze vypočítat jako určující a tridiagonální matice:

  ${ displaystyle K_ {n} (x_ {1}, ; x_ {2}, ; ldots, ; x_ {n}) = det { begin {pmatrix} x_ {1} & 1 & 0 & cdots & 0 -1 & x_ {2} & 1 & ddots & vdots 0 & -1 & ddots & ddots & 0 vdots & ddots & ddots & ddots & 1 0 & cdots & 0 & -1 & x_ {n} end {pmatrix}}.}$

• ${ displaystyle K_ {n} (1, ; ldots, ; 1) = F_ {n + 1}}$, (n+1) -st Fibonacciho číslo.
• ${ displaystyle { frac {K_ {n} (x_ {1}, ; ldots, ; x_ {n})} {K_ {n-1} (x_ {2}, ; ldots, ; x_ {n})}} = x_ {1} + { frac {K_ {n-2} (x_ {3}, ; ldots, ; x_ {n})} {K_ {n-1} ( x_ {2}, ; ldots, ; x_ {n})}}.}$
• Poměry spojitých představují (konvergenty k) pokračující zlomky jak následuje:

  ${ displaystyle { frac {K_ {n} (x_ {1}, ; ldots, x_ {n})} {K_ {n-1} (x_ {2}, ; ldots, ; x_ { n})}} = [x_ {1}; ; x_ {2}, ; ldots, ; x_ {n}] = x_ {1} + { frac {1} { displaystyle {x_ {2 } + { frac {1} {x_ {3} + ldots}}}}}}$

• Platí následující identita matice:

  ${ displaystyle { begin {pmatrix} K_ {n} (x_ {1}, ; ldots, ; x_ {n}) & K_ {n-1} (x_ {1}, ; ldots, ; x_ {n-1}) K_ {n-1} (x_ {2}, ; ldots, ; x_ {n}) & K_ {n-2} (x_ {2}, ; ldots, ; x_ {n-1}) end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} x_ {1} & 1 1 & 0 end {pmatrix}} times ldots times { begin {pmatrix} x_ { n} & 1 1 & 0 end {pmatrix}}}$.

  • Pro determinanty to znamená

    ${ displaystyle K_ {n} (x_ {1}, ; ldots, ; x_ {n}) cdot K_ {n-2} (x_ {2}, ; ldots, ; x_ {n- 1}) - K_ {n-1} (x_ {1}, ; ldots, ; x_ {n-1}) cdot K_ {n-1} (x_ {2}, ; ldots, ; x_ {n}) = (- 1) ^ {n}.}$

  • a také

    ${ displaystyle K_ {n-1} (x_ {2}, ; ldots, ; x_ {n}) cdot K_ {n + 2} (x_ {1}, ; ldots, ; x_ { n + 2}) - K_ {n} (x_ {1}, ; ldots, ; x_ {n}) cdot K_ {n + 1} (x_ {2}, ; ldots, ; x_ {n + 2}) = (- 1) ^ {n + 1} x_ {n + 2}.}$

Zobecnění

Zobecněná definice vezme pokračovatele s ohledem na tři sekvence A, b a C, aby K.(n) je polynom z A₁,...,A_n, b₁,...,b_n−1 a C₁,...,C_n−1. V tomto případě relace opakování se stává

${ displaystyle K_ {0} = 1; ,}$

${ displaystyle K_ {1} = a_ {1}; ,}$

${ displaystyle K_ {n} = a_ {n} K_ {n-1} -b_ {n-1} c_ {n-1} K_ {n-2}. ,}$

Od té doby b_r a C_r vstoupit do K. pouze jako produkt b_rC_r za předpokladu, že: b_r jsou všechny rovny 1.

Prodloužený^{[Citace je zapotřebí ]} Kontinent je přesně determinant tridiagonální matice

${ displaystyle { begin {pmatrix} a_ {1} & b_ {1} & 0 & ldots & 0 & 0 c_ {1} & a_ {2} & b_ {2} & ldots & 0 & 0 0 & c_ {2} & a_ {3} & ldots & 0 & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & 0 & ldots & a_ {n-1} & b_ {n-1} 0 & 0 & 0 & ldots & c_ {n-1} & a_ {n} end {pmatrix}}.}$

V Muirově knize se zobecněný pokračovatel jednoduše nazývá pokračovatel.

Reference

• Thomas Muir (1960). Pojednání o teorii determinantů. Dover Publications. str.516 –525.
• Cusick, Thomas W .; Flahive, Mary E. (1989). Markoffova a Lagrangeova spektra. Matematické průzkumy a monografie. 30. Providence, RI: Americká matematická společnost. str. 89. ISBN  0-8218-1531-8. Zbl  0685.10023.
• George Chrystal (1999). Algebra, základní učebnice pro vyšší třídy středních škol a pro vysoké školy: Pt. 1. Americká matematická společnost. str. 500. ISBN  0-8218-1649-7.