Stroj Atwood - Atwood machine

Ilustrace stroje Atwood, 1905.

The Stroj Atwood (nebo Atwoodův stroj) byl vynalezen v roce 1784 Angličany matematik George Atwood jako laboratorní experiment k ověření mechanické zákony pohybu s konstantou akcelerace. Atwoodův stroj je běžnou ukázkou ve třídě používanou k ilustraci principů klasická mechanika.

Ideální stroj Atwood se skládá ze dvou hmotných předmětů m₁ a m₂, propojený pomocí neroztažitelné bezhmotná struna přes ideální bezhmotnou kladka.^[1]

Obě hmoty zažívají rovnoměrné zrychlení. Když m₁ = m₂, stroj je uvnitř neutrální rovnováha bez ohledu na polohu závaží.

Rovnice pro konstantní zrychlení

The diagramy těla zdarma ze dvou závěsných hmot stroje Atwood. Náš podepsat konvenci, zobrazený akcelerace vektory je to m₁ zrychluje dolů a to m₂ zrychluje nahoru, jak by tomu bylo v případě, kdyby m₁ > m₂

Rovnici pro zrychlení lze odvodit analýzou sil. Za předpokladu bezhmotné, neroztažitelné struny a ideální bezhmotné kladky jsou jediné síly, které je třeba vzít v úvahu: tahová síla (T) a hmotnost obou hmot (Ž₁ a Ž₂). Chcete-li najít zrychlení, zvažte síly působící na každou jednotlivou hmotu. Použitím Newtonův druhý zákon (s podepsat konvenci z ${ displaystyle m_ {1}> m_ {2}}$) odvodit a soustava rovnic pro zrychlení (A).

Jako znakovou konvenci to předpokládejme A je pozitivní, když je dolů pro ${ displaystyle m_ {1}}$ a nahoru pro ${ displaystyle m_ {2}}$. Hmotnost ${ displaystyle m_ {1}}$ a ${ displaystyle m_ {2}}$ je prostě ${ displaystyle W_ {1} = m_ {1} g}$ a ${ displaystyle W_ {2} = m_ {2} g}$ resp.

Síly ovlivňující m₁:

${ displaystyle ; m_ {1} g-T = m_ {1} a}$

Síly ovlivňující m₂:

${ displaystyle ; T-m_ {2} g = m_ {2} a}$

a sečtením výtěžku dvou předchozích rovnic

${ displaystyle ; m_ {1} g-m_ {2} g = m_ {1} a + m_ {2} a}$,

a závěrečný vzorec pro zrychlení

${ displaystyle a = g {m_ {1} -m_ {2} nad m_ {1} + m_ {2}}}$

Atwoodův stroj se někdy používá k ilustraci Lagrangeova metoda odvození pohybových rovnic.^[2]

Rovnice napětí

Může být užitečné znát rovnici pro napětí v řetězci. Pro vyhodnocení napětí nahraďte rovnici zrychlením v kterékoli ze 2 silových rovnic.

${ displaystyle a = g {m_ {1} -m_ {2} nad m_ {1} + m_ {2}}}$

Například nahrazení do ${ displaystyle m_ {1} a = m_ {1} g-T}$, výsledky v

${ displaystyle T = {2gm_ {1} m_ {2} nad m_ {1} + m_ {2}} = {2g nad 1 / m_ {1} + 1 / m_ {2}}}$

Rovnice pro kladku se setrvačností a třením

Pro velmi malé hromadné rozdíly mezi m₁ a m₂, rotační setrvačnost Já kladky o poloměru r nelze zanedbávat. Úhlové zrychlení řemenice je dáno podmínkou prokluzu:

${ displaystyle alpha = {a nad r},}$

kde ${ displaystyle alpha}$ je úhlové zrychlení. Síť točivý moment je pak:

${ displaystyle tau _ { mathrm {net}} = doleva (T_ {1} -T_ {2} doprava) r- tau _ { mathrm {tření}} = já alfa}$

V kombinaci s Newtonovým druhým zákonem pro oběhové masy a řešením pro T₁, T₂, a A, dostaneme:

Akcelerace:

${ displaystyle a = {{g (m_ {1} -m_ {2}) - { tau _ { mathrm {tření}} nad r}} nad {m_ {1} + m_ {2} + { {I} nad {r ^ {2}}}}}}$

Napětí v nejbližším segmentu řetězce m₁:

${ displaystyle T_ {1} = {{m_ {1} g (2 m_ {2} + {{I} nad {r ^ {2}}} + {{ tau _ { mathrm {tření}}} přes {rg}})} přes {m_ {1} + m_ {2} + {{I} přes {r ^ {2}}}}}}$

Napětí v nejbližším segmentu řetězce m₂:

${ displaystyle T_ {2} = {{m_ {2} g (2 m_ {1} + {{I} nad {r ^ {2}}} + {{ tau _ { mathrm {tření}}} přes {rg}})} přes {m_ {1} + m_ {2} + {{I} přes {r ^ {2}}}}}}$

Pokud je tření ložiska zanedbatelné (ale ne setrvačnost řemenice a ne tah struny na ráfku řemenice), tyto rovnice se zjednoduší, protože budou mít následující výsledky:

Akcelerace:

${ displaystyle a = {{g (m_ {1} -m_ {2})} nad {m_ {1} + m_ {2} + {{I} nad {r ^ {2}}}}}}$

Napětí v nejbližším segmentu řetězce m₁:

${ displaystyle T_ {1} = {{m_ {1} g (2 m_ {2} + {{I} nad {r ^ {2}}})} nad {m_ {1} + m_ {2} + {{I} nad {r ^ {2}}}}}}$

Napětí v nejbližším segmentu řetězce m₂:

${ displaystyle T_ {2} = {{m_ {2} g (2 m_ {1} + {{I} nad {r ^ {2}}})} nad {m_ {1} + m_ {2} + {{I} nad {r ^ {2}}}}}}$

Praktické implementace

Originální ilustrace Atwoodu ukazují nápravu hlavní kladky spočívající na ráfcích dalších čtyř kol, aby se minimalizovaly třecí síly z ložiska. Mnoho historických implementací stroje se řídí tímto designem.

Výtah s protizávažím se přibližuje ideálnímu stroji Atwood, a tím odlehčuje hnací motor od zatížení přidržování kabiny výtahu - musí překonat pouze hmotnostní rozdíl a setrvačnost obou hmot. Stejný princip se používá pro lanovka železnice se dvěma propojenými železničními vozy na nakloněných kolejích a pro výtahy na Eiffelově věži, které se navzájem vyvažují. Dalším příkladem jsou lyžařské vleky, kdy se gondoly pohybují po uzavřeném (nepřetržitém) kladkovém systému nahoru a dolů po hoře. Lyžařský vlek je podobný protizávažímu výtahu, ale s omezující silou poskytovanou lanem ve svislém rozměru, čímž je dosaženo práce v horizontálním i vertikálním rozměru. Lodní výtahy jsou dalším typem protizávaží výtahového systému přibližujícího stroj Atwood.

Viz také

• Rovina bez tření
• Katerovo kyvadlo
• Sférická kráva
• Kyvný Atwoodův stroj

Poznámky

externí odkazy

• Účet profesora Greenslade na stroji Atwood
• Atwoodův stroj Enrique Zeleny, Demonstrační projekt Wolfram.