Polarizace fotonů - Photon polarization

Polarizace fotonů je kvantově mechanické popis klasický polarizovaný sinusový letadlo elektromagnetická vlna. Jednotlivec foton lze popsat jako pravou nebo levou kruhová polarizace nebo superpozice ze dvou. Ekvivalentně lze foton popsat jako horizontální nebo vertikální lineární polarizace nebo superpozice těchto dvou.

Popis fotonové polarizace obsahuje mnoho fyzikálních konceptů a mnoho matematického aparátu více zapojených kvantových popisů, jako je kvantová mechanika elektronu v potenciální studni. Polarizace je příkladem a qubit stupeň svobody, který tvoří základní základ pro pochopení složitějších kvantových jevů. Hodně z matematického aparátu kvantové mechaniky, jako např stavové vektory, amplitudy pravděpodobnosti, nečleněné operátory, a Hermitovské operátory, vycházejí přirozeně z klasiky Maxwellovy rovnice v popisu. Například vektor stavu kvantové polarizace fotonu je totožný s vektorem Jones vektor, obvykle se používá k popisu polarizace klasiky mávat. Jednotní operátoři vycházejí z klasického požadavku uchování energie klasické vlny šířící se bezztrátovým médiem, které mění stav polarizace vlny. Hermitovské operátory poté sledují nekonečně malé transformace klasického polarizačního stavu.

Mnoho důsledků matematického aparátu je snadno experimentálně ověřeno. Ve skutečnosti lze mnoho experimentů provést pomocí Polaroid sluneční brýle.

Spojení s kvantovou mechanikou se uskutečňuje prostřednictvím identifikace minimální velikosti paketu, která se nazývá a foton, pro energii v elektromagnetickém poli. Identifikace je založena na teoriích Planck a interpretace těchto teorií Einstein. The zásada korespondence pak umožňuje identifikaci hybnosti a momentu hybnosti (tzv roztočit ), stejně jako energie, s fotonem.

Polarizace klasických elektromagnetických vln

Tato sekce duplikáty rozsah dalších oddílůkonkrétně Řešení sinusových rovinných vln rovnice elektromagnetických vln. Prosím diskutovat tento problém na diskusní stránce a upravte jej tak, aby vyhovoval Manuál stylu Wikipedie nahrazením sekce odkazem a souhrn opakovaného textu nebo oddělováním opakovaného textu do samostatného článku. (Červenec 2014)

Stavy polarizace

Lineární polarizace

Vliv polarizátoru na odraz od bláta. Na prvním obrázku se polarizátor otáčí, aby se minimalizoval účinek; ve druhé se otočí o 90 °, aby se maximalizovala: téměř veškeré odražené sluneční světlo je eliminováno.

Vlna je lineárně polarizovaná (nebo rovinně polarizovaná), když jsou fázové úhly${displaystyle alpha _ {x} ^ {}, alpha _ {y}}$ jsou rovnat se,

${displaystyle alpha _ {x} = alpha _ {y} {stackrel {mathrm {def}} {=}} alfa.}$

To představuje vlnu s fáze ${displaystyle alpha}$ polarizovaný pod úhlem ${displaystyle heta}$ vzhledem k ose x. V tomto případě Jonesův vektor

${displaystyle | psi angle = {egin {pmatrix} cos heta exp left (ialpha _ {x} ight) sin heta exp left (ialpha _ {y} ight) end {pmatrix}}}$

lze psát s jednou fází:

${displaystyle | psi angle = {egin {pmatrix} cos heta sin heta end {pmatrix}} exp vlevo (ialpha ight).}$

Stavové vektory pro lineární polarizaci v x nebo y jsou speciální případy tohoto stavového vektoru.

Pokud jsou jednotkové vektory definovány tak, že

${displaystyle | xangle {stackrel {mathrm {def}} {=}} {egin {pmatrix} 1 0end {pmatrix}}}$

a

${displaystyle | yangle {stackrel {mathrm {def}} {=}} {egin {pmatrix} 0 1end {pmatrix}}}$

potom lze lineárně polarizovaný polarizační stav zapsat jako „x-y základ“ jako

${displaystyle | psi angle = cos heta exp left (ialpha ight) | xangle + sin heta exp left (ialpha ight) | yangle = psi _ {x} | xangle + psi _ {y} | yangle.}$

Kruhová polarizace

Pokud fázové úhly ${displaystyle alpha _ {x}}$ a ${displaystyle alpha _ {y}}$ se přesně liší ${displaystyle pi / 2}$ a amplituda x se rovná amplitudě y vlny kruhově polarizovaný. Jonesův vektor se pak stává

${displaystyle | psi angle = {frac {1} {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 1 pm iend {pmatrix}} exp left (ialpha _ {x} ight)}$

kde znaménko plus označuje pravou kruhovou polarizaci a znaménko mínus označuje levou kruhovou polarizaci. V případě kruhové polarizace se vektor elektrického pole konstantní velikosti otáčí v rovině x-y.

Pokud jsou jednotkové vektory definovány tak, že

${displaystyle | Rangle {stackrel {mathrm {def}} {=}} {1 over {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 1 iend {pmatrix}}}$

a

${displaystyle | Langle {stackrel {mathrm {def}} {=}} {1 přes {sqrt {2}}} {egin {pmatrix} 1 -iend {pmatrix}}}$

pak může být libovolný polarizační stav zapsán do "R-L základny" jako

${displaystyle | psi angle = psi _ {R} | Rangle + psi _ {L} | Langle}$

kde

${displaystyle psi _ {R} = langle R | psi angle = {frac {1} {sqrt {2}}} (cos heta exp (ialpha _ {x}) - isin heta exp (ialpha _ {y}))}$

a

${displaystyle psi _ {L} = jazyk L | psi úhel = {frac {1} {sqrt {2}}} (cos heta exp (ialpha _ {x}) + isin heta exp (ialpha _ {y})). }$

To vidíme

${displaystyle 1 = | psi _ {R} | ^ {2} + | psi _ {L} | ^ {2}.}$

Eliptická polarizace

Obecný případ, ve kterém se elektrické pole otáčí v rovině x-y a má proměnnou velikost, se nazývá eliptická polarizace. Stavový vektor je dán vztahem

${displaystyle | psi angle {stackrel {mathrm {def}} {=}} {egin {pmatrix} psi _ {x} psi _ {y} end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} cos heta exp left (ialpha _ {x} ight) sin heta exp left (ialpha _ {y} ight) end {pmatrix}}.}$

Geometrická vizualizace stavu libovolné polarizace

Abychom porozuměli tomu, jak polarizační stav vypadá, lze pozorovat oběžnou dráhu, která je vytvořena, pokud je polarizační stav vynásoben fázovým faktorem ${displaystyle e ^ {iomega t}}$ a poté nechat interpretovat skutečné části jeho komponent jako souřadnice x a y. To je:

${displaystyle {egin {pmatrix} x (t) y (t) end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} Re (e ^ {iomega t} psi _ {x}) Re (e ^ {iomega t} psi _ {y}) end {pmatrix}} = Re vlevo [e ^ {iomega t} {egin {pmatrix} psi _ {x} psi _ {y} end {pmatrix}} ight] = Re vlevo (e ^ {iomega t} | psi úhel ight).}$

Kdyby jen vysledovaný tvar a směr otáčení (X(t), y(t)) se uvažuje při interpretaci polarizačního stavu, tj. pouze

${displaystyle M (| psi angle) = left.left {{Big (} x (t) ,, y (t) {Big)}, ight |, forall, tight}}$

(kde X(t) a y(t) jsou definovány jak je uvedeno výše) a zda je celkově správnější kruhově nebo nalevo kruhově polarizované (tj. zda |ψ_R| > |ψ_L| nebo naopak), je vidět, že fyzikální interpretace bude stejná, i když je stav vynásoben libovolným fázovým faktorem, protože

${displaystyle M (e ^ {ialpha} | psi úhel) = M (| psi úhel), alfa v mathbb {R}}$

a směr otáčení zůstane stejný. Jinými slovy, neexistuje žádný fyzický rozdíl mezi dvěma stavy polarizace ${displaystyle | psi úhel}$ a ${displaystyle e ^ {ialpha} | psi úhel}$, mezi nimiž se liší pouze fázový faktor.

Je vidět, že pro lineárně polarizovaný stav M bude úsečka v rovině xy s délkou 2 a jejím středem v počátku, jejíž sklon se rovná opálení(θ). Pro kruhově polarizovaný stav, M bude kruh s poloměrem 1/√2 a se středem v původu.

Energie, hybnost a moment hybnosti klasické elektromagnetické vlny

Hustota energie klasických elektromagnetických vln

Energie v rovinné vlně

The energie na jednotku objemu v klasických elektromagnetických polích je (cgs jednotky) a také Planckova jednotka

${displaystyle {mathcal {E}} _ {c} = {frac {1} {8pi}} vlevo [mathbf {E} ^ {2} (mathbf {r}, t) + mathbf {B} ^ {2} ( mathbf {r}, t) ight].}$

U rovinné vlny se to stává

${displaystyle {mathcal {E}} _ {c} = {frac {mid mathbf {E} mid ^ {2}} {8pi}}}$

kde byla energie zprůměrována na vlnové délce vlny.

Frakce energie v každé složce

Frakce energie ve složce x rovinné vlny je

${displaystyle f_ {x} = {frac {mid mathbf {E} mid ^ {2} cos ^ {2} heta} {mid mathbf {E} mid ^ {2}}} = psi _ {x} ^ {*} psi _ {x} = cos ^ {2} heta}$

s podobným výrazem pro komponentu y, což má za následek ${displaystyle f_ {y} = sin ^ {2} heta}$.

Frakce v obou složkách je

${displaystyle psi _ {x} ^ {*} psi _ {x} + psi _ {y} ^ {*} psi _ {y} = jazyk psi | psi úhel = 1.}$

Hustota hybnosti klasických elektromagnetických vln

Hustota hybnosti je dána vztahem Poyntingův vektor

${displaystyle {oldsymbol {mathcal {P}}} = {1 nad 4pi c} mathbf {E} (mathbf {r}, t) imes mathbf {B} (mathbf {r}, t).}$

Pro sinusovou rovinnou vlnu pohybující se ve směru z je hybnost ve směru z a souvisí s hustotou energie:

${displaystyle {mathcal {P}} _ {z} c = {mathcal {E}} _ {c}.}$

Hustota hybnosti byla zprůměrována na vlnové délce.

Hustota momentu hybnosti klasických elektromagnetických vln

Elektromagnetické vlny mohou mít obojí orbitální a roztočit moment hybnosti.^[1] Celková hustota momentu hybnosti je^{[pochybný – diskutovat]}

${displaystyle {oldsymbol {mathcal {L}}} = mathbf {r} obrázky {oldsymbol {mathcal {P}}} = {1 přes 4pi c} mathbf {r} zbývá [mathbf {E} (mathbf {r}, t) imes mathbf {B} (mathbf {r}, t) ight].}$

Pro sinusovou rovinnou vlnu šířící se podél ${displaystyle z}$ osa mizí hustota orbitálního momentu hybnosti. Hustota momentu hybnosti rotace je v ${displaystyle z}$ směr a je dán

${displaystyle {mathcal {L}} = {{mid mathbf {E} mid ^ {2}} nad {8pi omega}} vlevo (střední langle R | psi úhel mid ^ {2} -mid langle L | psi úhel mid ^ {2} ight) = {1 over omega} {mathcal {E}} _ {c} vlevo (mid psi _ {R} mid ^ {2} -mid psi _ {L} mid ^ {2} ight)}$

kde opět je průměrná hustota na vlnové délce.

Optické filtry a krystaly

Průchod klasické vlny polaroidovým filtrem

Lineární polarizace

A lineární filtr vysílá jednu složku rovinné vlny a absorbuje kolmou složku. V takovém případě, pokud je filtr polarizován ve směru x, je podíl energie procházející filtrem

${displaystyle f_ {x} = psi _ {x} ^ {*} psi _ {x} = cos ^ {2} heta.,}$

Příklad úspory energie: Průchod klasické vlny dvojlomným krystalem

Ideál dvojlomný krystal transformuje stav polarizace elektromagnetické vlny bez ztráty vlnové energie. Dvojlomné krystaly proto poskytují ideální testovací lože pro zkoumání konzervativní transformace polarizačních stavů. I když je tato léčba stále čistě klasická, přirozeně se objevují standardní kvantové nástroje, jako jsou unitární a hermitovské operátory, které vyvíjejí stav v čase.

Počáteční a konečný stav

Dvojlomný krystal je materiál, který má optická osa s vlastností, že světlo má jiné index lomu pro světlo polarizované rovnoběžně s osou než pro světlo polarizované kolmo k ose. Světlo polarizované rovnoběžně s osou se nazývá „mimořádné paprsky„nebo“mimořádné fotony", zatímco světlo polarizované kolmo k ose se nazývá"obyčejné paprsky„nebo“obyčejné fotony". Pokud lineárně polarizovaná vlna narazí na krystal, vyjde mimořádná složka vlny z krystalu s jinou fází než běžná složka. V matematickém jazyce, pokud je dopadající vlna lineárně polarizována pod úhlem ${displaystyle heta}$ vzhledem k optické ose lze zapsat vektor incidentního stavu

${displaystyle | psi angle = {egin {pmatrix} cos heta sin heta end {pmatrix}}}$

a lze psát stavový vektor pro vznikající vlnu

${displaystyle | psi 'angle = {egin {pmatrix} cos heta exp left (ialpha _ {x} ight) sin heta exp left (ialpha _ {y} ight) end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} exp left (ialpha _ {x} ight) & 0 0 & exp left (ialpha _ {y} ight) end {pmatrix}} {egin {pmatrix} cos heta sin heta end {pmatrix}} {stackrel {mathrm {def}} {= }} {klobouk {U}} | psi úhel.}$

Zatímco počáteční stav byl lineárně polarizovaný, konečný stav je elipticky polarizovaný. Dvojlomný krystal mění charakter polarizace.

Dual konečného stavu

Kalcitový krystal položený na papíře s několika písmeny ukazujícími dvojí lom světla

Počáteční stav polarizace se transformuje do konečného stavu pomocí operátor U. Duál konečného stavu je dán vztahem

${displaystyle langle psi '| = langle psi | {hat {U}} ^ {dagger}}$

kde ${displaystyle U ^ {dagger}}$ je adjoint U, komplexní konjugovaná transpozice matice.

Jednotní operátoři a úspora energie

Zlomek energie, který se vynoří z krystalu, je

${displaystyle langle psi '| psi' angle = langle psi | {hat {U}} ^ {dagger} {hat {U}} | psi angle = langle psi | psi angle = 1.}$

V tomto ideálním případě veškerá energie dopadající na krystal vychází z krystalu. Operátor U s touto vlastností

${displaystyle {hat {U}} ^ {dagger} {hat {U}} = já,}$

kde jsem operátor identity a U se nazývá a nečleněný operátor. Je třeba zajistit jednotnou vlastnost úspora energie ve státních transformacích.

Hermitovské operátory a úspora energie

Dvojnásobně lámající kalcit z tvrzení Iceberg, Dixon, Nové Mexiko. Tento krystal o hmotnosti 35 liber (16 kg), vystavený na Národní muzeum přírodní historie, je jedním z největších monokrystalů ve Spojených státech.

Pokud je krystal velmi tenký, konečný stav se bude od počátečního stavu lišit jen mírně. Unitární operátor bude poblíž operátora identity. Můžeme definovat operátor H podle

${displaystyle {hat {U}} přibližně I + i {hat {H}}}$

a sousedí s

${displaystyle {hat {U}} ^ {dagger} cca I-i {hat {H}} ^ {dagger}.}$

Úspora energie pak vyžaduje

${displaystyle I = {hat {U}} ^ {dagger} {hat {U}} cca vlevo (Ii {hat {H}} ^ {dagger} ight) vlevo (I + i {hat {H}} ight) cca Ii {hat {H}} ^ {dagger} + i {hat {H}}.}$

To vyžaduje

${displaystyle {hat {H}} = {hat {H}} ^ {dagger}.}$

Takoví operátoři, kteří se rovnají jejich sousedním, se nazývají Hermitian nebo samo-adjunkt.

Infinitezimální přechod polarizačního stavu je

${displaystyle | psi 'angle - | psi angle = i {hat {H}} | psi angle.}$

Úspora energie tedy vyžaduje, aby k nekonečně malým transformacím polarizačního stavu došlo působením hermitovského operátora.

Fotony: Spojení s kvantovou mechanikou

Energie, hybnost a moment hybnosti fotonů

Energie

Léčba do tohoto bodu byla klasický. Je to svědectví o obecnosti Maxwellovy rovnice pro elektrodynamiku, kterou lze provést kvantově mechanické pouze s reinterpretací klasických veličin. Reinterpretace je založena na teoriích Max Planck a výklad Albert Einstein těchto teorií a dalších experimentů.^{[Citace je zapotřebí ]}

Einsteinův závěr z raných experimentů na fotoelektrický efekt je to, že elektromagnetické záření je složeno z neredukovatelných paketů energie, známých jako fotony. Energie každého paketu souvisí s úhlovou frekvencí vlny vztahem

${displaystyle epsilon = hbar omega}$

kde ${displaystyle hbar}$ je experimentálně určené množství známé jako Planckova konstanta. Pokud existují ${displaystyle N}$ fotony v krabici objemu ${displaystyle V}$, energie v elektromagnetickém poli je

${displaystyle Nhbar omega}$

a hustota energie je

${displaystyle {Nhbar omega přes V}}$

The fotonová energie může souviset s klasickými poli prostřednictvím zásada korespondence který uvádí, že u velkého počtu fotonů se musí kvantová a klasická léčba shodovat. Tedy pro velmi velké ${displaystyle N}$, hustota kvantové energie musí být stejná jako hustota klasické energie

${displaystyle {Nhbar omega over V} = {mathcal {E}} _ {c} = {frac {mid mathbf {E} mid ^ {2}} {8pi}}.}$

Počet fotonů v krabici je pak

${displaystyle N = {frac {V} {8pi hbar omega}} střední mathbf {E} střední ^ {2}.}$

Hybnost

Princip korespondence také určuje hybnost a moment hybnosti fotonu. Pro hybnost

${displaystyle {mathcal {P}} _ {z} = {Nhbar omega over cV} = {Nhbar k_ {z} over V}}$

kde ${displaystyle k_ {z}}$ je číslo vlny. To znamená, že hybnost fotonu je

${displaystyle p_ {z} = hbar k_ {z}.,}$

Moment hybnosti a rotace

Podobně pro moment hybnosti rotace

${displaystyle {mathcal {L}} = {1 nad omega} {mathcal {E}} _ {c} vlevo (střední psi _ {R} střední ^ {2} -mid psi _ {L} střední ^ {2} večer ) = {Nhbar nad V} vlevo (střední psi _ {R} střední ^ {2} - střední psi _ {L} střední ^ {2} ight)}$

kde Ec je intenzita pole. To znamená, že rotační moment hybnosti fotonu je

${displaystyle l_ {z} = hbar left (mid psi _ {R} mid ^ {2} -mid psi _ {L} mid ^ {2} ight).}$

kvantová interpretace tohoto výrazu je, že foton má pravděpodobnost ${displaystyle mid psi _ {R} střední ^ {2}}$ mít točivý moment hybnosti ${displaystyle hbar}$ a pravděpodobnost ${displaystyle mid psi _ {L} střední ^ {2}}$ mít točivý moment hybnosti ${displaystyle -hbar}$. Můžeme tedy uvažovat o točném momentu spinu fotonu, který je kvantován, a také o energii. Moment hybnosti klasického světla byl ověřen.^[2] Foton, který je lineárně polarizovaný (rovinně polarizovaný), je v superpozici se stejným množstvím stavů pro leváky a praváky.

Provozovatel odstřeďování

The roztočit fotonu je definován jako koeficient ${displaystyle hbar}$ při výpočtu momentu hybnosti rotace. Foton má spin 1, pokud je v ${displaystyle | Rangle}$ stav a -1, pokud je v ${displaystyle | Langle}$ Stát. Operátor odstřeďování je definován jako vnější produkt

${displaystyle {hat {S}} {stackrel {mathrm {def}} {=}} | Rangle langle R | - | Langle langle L | = {egin {pmatrix} 0 & -i i & 0end {pmatrix}}.}$

The vlastní vektory operátora odstřeďování jsou ${displaystyle | Rangle}$ a ${displaystyle | Langle}$ s vlastní čísla 1, respektive -1.

Očekávaná hodnota měření rotace na fotonu je pak

${displaystyle langle psi | {hat {S}} | psi angle = mid psi _ {R} mid ^ {2} -mid psi _ {L} mid ^ {2}.}$

Operátor S byl spojen s pozorovatelnou veličinou, točivým momentem hybnosti. Vlastní čísla operátoru jsou povolené pozorovatelné hodnoty. To bylo prokázáno pro moment hybnosti rotace, ale obecně to platí pro jakoukoli pozorovatelnou veličinu.

Stavy otáčení

Můžeme psát kruhově polarizované stavy jako

${displaystyle | sangle}$

kde s = 1 pro ${displaystyle | Rangle}$ a s = -1 pro ${displaystyle | Langle}$. Lze zapsat libovolný stav

${displaystyle | psi angle = sum _ {s = -1,1} a_ {s} exp left (ialpha _ {x} -is heta ight) | sangle}$

kde ${displaystyle alpha _ {1}}$ a ${displaystyle alpha _ {- 1}}$ jsou fázové úhly, θ je úhel, o který se referenční rámec otáčí, a

${displaystyle sum _ {s = -1,1} mid a_ {s} mid ^ {2} = 1.}$

Operátory točení a momentu hybnosti v diferenciální formě

Když je stav zapsán v notaci rotace, lze napsat operátor rotace

${displaystyle {hat {S}} _ {d} ightarrow i {částečné přes částečné heta}}$

${displaystyle {hat {S}} _ {d} ^ {dagger} ightarrow -i {částečné přes částečné heta}.}$

Vlastní vektory operátoru diferenciálního otáčení jsou

${displaystyle exp left (ialpha _ {x} -is heta ight) | sangle.}$

Tuto poznámku vidět

${displaystyle {hat {S}} _ {d} exp left (ialpha _ {x} -is heta ight) | sangle ightarrow i {částečné přes parciální heta} exp left (ialpha _ {x} -is heta ight) | sangle = sleft [exp left (ialpha _ {x} -is heta ight) | sangle ight].}$

Operátor momentu hybnosti rotace je

${displaystyle {hat {l}} _ {z} = hbar {hat {S}} _ {d}.}$

Povaha pravděpodobnosti v kvantové mechanice

Pravděpodobnost pro jeden foton

Existují dva způsoby, jakými lze pravděpodobnost aplikovat na chování fotonů; pravděpodobnost lze použít k výpočtu pravděpodobného počtu fotonů v konkrétním stavu, nebo pravděpodobnost lze použít k výpočtu pravděpodobnosti, že jeden foton bude v určitém stavu. První výklad porušuje zachování energie^{[Citace je zapotřebí ]}. Druhá interpretace je životaschopnou, i když neintuitivní možností. Dirac to vysvětluje v kontextu experiment s dvojitou štěrbinou:

Nějaký čas před objevem kvantové mechaniky si lidé uvědomili, že spojení mezi světelnými vlnami a fotony musí mít statistický charakter. Co si však jasně neuvědomili, bylo, že vlnová funkce poskytuje informace o pravděpodobnosti jeden foton na konkrétním místě a nikoli pravděpodobný počet fotonů na tomto místě^{[pochybný – diskutovat]}. Důležitost rozlišení lze vyjasnit následujícím způsobem. Předpokládejme, že máme paprsek světla skládající se z velkého počtu fotonů rozdělených do dvou složek stejné intenzity. Za předpokladu, že paprsek je spojen s pravděpodobným počtem fotonů v něm, měli bychom mít polovinu celkového počtu vstupujícího do každé složky. Pokud jsou nyní tyto dvě složky vytvořeny tak, aby interferovaly, měli bychom vyžadovat foton v jedné komponentě, abychom mohli interferovat s jednou v druhé. Někdy by tyto dva fotony musely jeden druhého zničit a jindy by musely vyprodukovat čtyři fotony. To by odporovalo zachování energie. Nová teorie, která spojuje vlnovou funkci s pravděpodobnostmi pro jeden foton, překonává obtíž tím, že každý foton přechází částečně do každé ze dvou složek. Každý foton poté ruší pouze sám sebe. K rušení mezi dvěma různými fotony nikdy nedochází^{[pochybný – diskutovat]}.
—Paul Dirac, Principy kvantové mechaniky, Čtvrté vydání, kapitola 1

Amplitudy pravděpodobnosti

Pravděpodobnost, že foton bude v určitém polarizačním stavu, závisí na polích vypočítaných klasickými Maxwellovými rovnicemi. Stav polarizace fotonu je úměrný poli. Samotná pravděpodobnost je v polích kvadratická a následně je také kvadratická v kvantovém stavu polarizace. V kvantové mechanice tedy stav resp amplituda pravděpodobnosti obsahuje základní informace o pravděpodobnosti. Obecně platí, že pravidla pro kombinování pravděpodobnostních amplitud vypadají velmi podobně jako klasická pravidla pro složení pravděpodobností: [Následující citát je z Baymu, kapitola 1]^{[je zapotřebí objasnění ]}

1. Amplituda pravděpodobnosti pro dvě po sobě jdoucí pravděpodobnosti je součinem amplitud pro jednotlivé možnosti. Například amplituda pro x polarizovaný foton má být kruhově polarizovaná vpravo a aby pravý kruhově polarizovaný foton prošel y-polaroidem ${displaystyle langle R | xangle langle y | Rangle,}$ součin jednotlivých amplitud.
2. Amplituda procesu, který může probíhat v jednom z několika nerozeznatelný způsoby je součet amplitud pro každý z jednotlivých způsobů. Například celková amplituda pro x polarizovaný foton procházející y-polaroidem je součtem amplitud, aby mohl projít jako pravý kruhově polarizovaný foton, ${displaystyle langle y | Rangle langle R | xangle,}$ plus amplituda, aby mohla projít jako levý kruhově polarizovaný foton, ${displaystyle langle y | Langle langle L | xangle dots}$
3. Celková pravděpodobnost, že dojde k procesu, je absolutní hodnota druhé mocniny celkové amplitudy vypočtené pomocí 1 a 2.

Princip nejistoty

Cauchy – Schwarzova nerovnost v euklidovském prostoru. ${displaystyle mathbf {V} cdot mathbf {W} = | mathbf {V} || mathbf {W} | cos a.}$ Z toho vyplývá ${displaystyle mathbf {V} cdot mathbf {W} leq | mathbf {V} || mathbf {W} |.}$

Matematická příprava

Pro všechny legální^{[je zapotřebí objasnění ]} operátoři následující nerovnost, důsledek Cauchy – Schwarzova nerovnost, je pravda.

${displaystyle {frac {1} {4}} | langle ({hat {A}} {hat {B}} - {hat {B}} {hat {A}}) x | xangle | ^ {2} leq | {hat {A}} x | ^ {2} | {hat {B}} x | ^ {2}.}$

Li B A ψ a A B defined jsou definovány, poté odečtením průměrů a opětovným vložením do výše uvedeného vzorce odvodíme

${displaystyle Delta _ {psi} {hat {A}}, Delta _ {psi} {hat {B}} geq {frac {1} {2}} left | leftlangle left [{hat {A}}, {hat { B}} ight] ightangle _ {psi} ight |}$

kde

${displaystyle leftlangle {hat {X}} ightangle _ {psi} = leftlangle psi | {hat {X}} | psi ightangle}$

je provozovatel znamenat pozorovatelného X ve stavu systému ψ a

${displaystyle Delta _ {psi} {hat {X}} = {sqrt {langle {hat {X}} ^ {2} angle _ {psi} -langle {hat {X}} angle _ {psi} ^ {2} }}.}$

Tady

${displaystyle left [{hat {A}}, {hat {B}} ight] {stackrel {mathrm {def}} {=}} {hat {A}} {hat {B}} - {hat {B}} {hat {A}}}$

se nazývá komutátor A a B.

Toto je čistě matematický výsledek. Nebyl učiněn žádný odkaz na žádné fyzické množství nebo princip. Jednoduše uvádí, že nejistota jednoho operátora krát neurčitost jiného operátora má dolní mez.

Aplikace na moment hybnosti

Spojení s fyzikou lze provést, pokud identifikujeme operátory s fyzickými operátory, jako je moment hybnosti a úhel polarizace. Máme tedy

${displaystyle Delta _ {psi} {hat {l}} _ {z}, Delta _ {psi} {heta} geq {frac {hbar} {2}},}$

což znamená, že moment hybnosti a úhel polarizace nelze měřit současně s nekonečnou přesností. (Polarizační úhel lze měřit kontrolou, zda foton může projít polarizačním filtrem orientovaným pod určitým úhlem, nebo rozdělovač polarizačního paprsku. To má za následek odpověď ano / ne, která, pokud byl foton rovinně polarizovaný v nějakém jiném úhlu, závisí na rozdílu mezi těmito dvěma úhly.)

Stavy, amplitudy pravděpodobnosti, jednotkové a hermitovské operátory a vlastní vektory

Hodně z matematického aparátu kvantové mechaniky se objevuje v klasickém popisu polarizované sinusové elektromagnetické vlny. Jonesův vektor pro klasickou vlnu je například totožný s vektorem stavu kvantové polarizace fotonu. Pravou a levou kruhovou složku Jonesova vektoru lze interpretovat jako amplitudy pravděpodobnosti stavů otáčení fotonu. Úspora energie vyžaduje, aby státy byly transformovány pomocí jednotné operace. To znamená, že nekonečně malé transformace jsou transformovány pomocí hermitovského operátoru. Tyto závěry jsou přirozeným důsledkem struktury Maxwellových rovnic pro klasické vlny.

Kvantová mechanika vstupuje do obrazu, když jsou měřené veličiny měřeny a shledány spíše diskrétními než spojitými. Povolené pozorovatelné hodnoty jsou určeny vlastními čísly operátorů spojených s pozorovatelnými. Například v případě momentu hybnosti jsou povolenými pozorovatelnými hodnotami vlastní čísla operátoru odstřeďování.

Tyto koncepty vznikly přirozeně z Maxwellovy rovnice a Planckovy a Einsteinovy ​​teorie. Bylo zjištěno, že platí pro mnoho dalších fyzických systémů. Typickým programem je ve skutečnosti převzetí konceptů této části a následné odvození neznámé dynamiky fyzického systému. To se dělo například s dynamikou elektronů. V takovém případě byla odvozena z principů v této části kvantová dynamika částic, což vedlo k Schrödingerova rovnice, odklon od Newtonovská mechanika. Řešení této rovnice pro atomy vedlo k vysvětlení Série Balmer pro atomová spektra a následně vytvořil základ pro veškerou atomovou fyziku a chemii.

Není to jediná příležitost^{[pochybný – diskutovat]} ve kterém Maxwellovy rovnice vynutily restrukturalizaci newtonovské mechaniky. Maxwellovy rovnice jsou relativisticky konzistentní. Speciální relativita je výsledkem pokusů uvést klasickou mechaniku do souladu s Maxwellovými rovnicemi (viz například Problém s pohyblivým magnetem a vodičem ).

Viz také

• Moment hybnosti světla
  • Točte moment hybnosti světla
  • Okružní moment hybnosti světla
• Kvantová dekoherence
• Stern – Gerlachův experiment
• Dualita vln-částic
• Pokus s dvojitou štěrbinou
• Teoretické a experimentální zdůvodnění Schrödingerovy rovnice
• Spin polarizace

Reference

Další čtení

• Jackson, John D. (1998). Klasická elektrodynamika (3. vyd.). Wiley. ISBN  0-471-30932-X.
• Baym, Gordon (1969). Přednášky o kvantové mechanice. W. A. ​​Benjamin. ISBN  0-8053-0667-6.
• Dirac, P. A. M. (1958). Principy kvantové mechaniky (Čtvrté vydání). Oxford. ISBN  0-19-851208-2.