Objednaný topologický vektorový prostor - Ordered topological vector space

V matematice, konkrétně v funkční analýza a teorie objednávek, an uspořádaný topologický vektorový prostor, nazývané také objednal TVS, je topologický vektorový prostor (TVS) X který má částečná objednávka ≤ dělat to do uspořádaný vektorový prostor jehož pozitivní kužel ${ displaystyle C: = vlevo {x v X: x geq 0 vpravo }}$ je uzavřená podmnožina X.^[1] Objednané TVS mají důležité aplikace v spektrální teorie.

Normální kužel

Li C je kužel v TVS X pak C je normální -li ${ displaystyle { mathcal {U}} = doleva [{ mathcal {U}} doprava] _ {C}}$, kde ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ je filtr sousedství na počátku, ${ displaystyle left [{ mathcal {U}} right] _ {C} = left { left [U right]: U in { mathcal {U}} right }}$, a ${ displaystyle [U] _ {C}: = doleva (U + C doprava) čepice doleva (U-C doprava)}$ je C-nasycený trup podmnožiny U z X.^[2]

Li C je kužel v TVS X (přes reálná nebo komplexní čísla), pak následující jsou ekvivalentní:^[2]

1. C je normální kužel.
2. Pro každý filtr ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ v X, pokud ${ displaystyle lim { mathcal {F}} = 0}$ pak ${ displaystyle lim left [{ mathcal {F}} right] _ {C} = 0}$.
3. Existuje sousedská základna ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ v X takhle ${ displaystyle B v { mathcal {B}}}$ naznačuje ${ displaystyle left [B cap C right] _ {C} subseteq B}$.

a pokud X je vektorový prostor nad reálemi, pak také:^[2]

1. Na počátku existuje sousedská základna skládající se z konvexních, vyrovnaný, C-nasycený sady.
2. Existuje generující rodina ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ polo-norem na X takhle ${ Displaystyle p (x) leq p (x + y)}$ pro všechny ${ displaystyle x, y v C}$ a ${ displaystyle p in { mathcal {P}}}$.

Pokud je topologie zapnutá X je lokálně konvexní, pak je uzavření normálního kuželu normálním kuželem.^[2]

Vlastnosti

Li C je normální kužel X a B je omezená podmnožina X pak ${ displaystyle left [B right] _ {C}}$ je ohraničený; zejména každý interval ${ displaystyle [a, b]}$ je omezený.^[2] Li X je Hausdorff, pak každý normální kužel X je správný kužel.^[2]

Vlastnosti

• Nechat X být uspořádaný vektorový prostor nad realitami, které jsou konečně trojrozměrné. Pak pořadí X je Archimedean právě tehdy, když je pozitivní kužel z X je uzavřen pro jedinečnou topologii, pod kterou X je Hausdorff TVS.^[1]
• Nechat X být uspořádaný vektorový prostor nad reálemi s pozitivním kuželem C. Pak jsou ekvivalentní následující:^[1]

1. pořadí X je pravidelný.
2. C je postupně uzavřeno pro nějakou lokálně konvexní topologii TVD Hausdorff X a ${ displaystyle X ^ {+}}$ rozlišuje body v X
3. pořadí X je Archimedean a C je normální pro nějakou lokálně konvexní topologii TVD Hausdorff X.

Viz také

• Topologie objednávky (funkční analýza)
• Objednaný vektorový prostor
• Rieszův prostor

Reference

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.