Normální kužel (funkční analýza) - Normal cone (functional analysis)

V matematice, konkrétně v teorie objednávek a funkční analýza, pokud C je kužel na 0 v a topologický vektorový prostor X takové, že 0 ∈ C a pokud ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ je sousedský filtr tedy na počátku C je nazýván normální -li ${ displaystyle { mathcal {U}} = doleva [{ mathcal {U}} doprava] _ {C}}$ , kde ${ displaystyle left [{ mathcal {U}} right] _ {C}: = left {[U] _ {C}: U in { mathcal {U}} right }}$ a kde pro jakoukoli podmnožinu S z X, [S]_C : = (S + C) ∩ (S - C) je C- nasycení z S.^[1]

Normální kužele hrají důležitou roli v teorii uspořádané topologické vektorové prostory a topologické vektorové mřížky.

Charakterizace

Li C je kužel v TVS X pak pro jakoukoli podmnožinu S z X nechat ${ displaystyle [S] _ {C}: = doleva (S + C doprava) čepice doleva (S-C doprava)}$ být C-nasycený trup z S z X a pro jakoukoli sbírku ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ podskupin X nechat ${ displaystyle left [{ mathcal {S}} right] _ {C}: = left { left [S right] _ {C}: S in { mathcal {S}} right }}$ . Li C je kužel v TVS X pak C je normální -li ${ displaystyle { mathcal {U}} = doleva [{ mathcal {U}} doprava] _ {C}}$ , kde ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ je filtr sousedství na počátku.^[1]

Li ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ je sbírka podskupin X a pokud ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je podmnožinou ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ pak ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je základní podčeleď z ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ pokud každý ${ displaystyle T v { mathcal {T}}}$ je obsažen jako podmnožina nějakého prvku ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ . Li ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ je rodina podmnožin TVS X pak kužel C v X se nazývá a ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ -kužel -li ${ displaystyle left {{ overline { left [G right] _ {C}}}: G in { mathcal {G}} right }}$ je základní podčeleď ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ a C je přísný ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ -kužel -li ${ displaystyle left { left [G right] _ {C}: G in { mathcal {G}} right }}$ je základní podčeleď ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ .^[1] Nechat ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ označují rodinu všech ohraničených podmnožin X.

Li C je kužel v TVS X (přes reálná nebo komplexní čísla), pak následující jsou ekvivalentní:^[1]

C je normální kužel.
Pro každý filtr ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ v X, pokud ${ displaystyle lim { mathcal {F}} = 0}$ pak ${ displaystyle lim left [{ mathcal {F}} right] _ {C} = 0}$ .
Existuje sousedská základna ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ v X takhle ${ displaystyle B v { mathcal {G}}}$ naznačuje ${ displaystyle left [B cap C right] _ {C} subseteq B}$ .

a pokud X je vektorový prostor nad reálemi, pak můžeme přidat do tohoto seznamu:^[1]

Na počátku existuje sousedská základna skládající se z konvexních, vyrovnaný, C-nasycený sady.
Existuje generující rodina ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ polo-norem na X takhle ${ Displaystyle p (x) leq p (x + y)}$ pro všechny ${ displaystyle x, y v C}$ a ${ displaystyle p in { mathcal {P}}}$ .

a pokud X je lokálně konvexní prostor a pokud je duální kužel z C je označen ${ displaystyle X ^ { prime}}$ pak můžeme přidat do tohoto seznamu:^[1]

Pro jakoukoli rovnocennou podmnožinu ${ displaystyle S subseteq X ^ { prime}}$ , existuje ekvivalentní ${ displaystyle B subseteq C ^ { prime}}$ takhle ${ displaystyle S subseteq B-B}$ .
Topologie X je topologie uniformní konvergence na ekvikontinuálních podmnožinách ${ displaystyle C ^ { prime}}$ .

a pokud X je infrastruktura lokálně konvexní prostor a pokud ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ je rodina všech silně omezených podmnožin ${ displaystyle X ^ { prime}}$ pak můžeme přidat do tohoto seznamu:^[1]

Topologie X je topologie jednotné konvergence na silně omezených podmnožinách ${ displaystyle C ^ { prime}}$ .
${ displaystyle C ^ { prime}}$ ${ displaystyle C ^ { prime}}$ je ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ - kužel dovnitř ${ displaystyle X ^ { prime}}$ ${ displaystyle X ^ { prime}}$ .
- to znamená, že rodina ${ displaystyle left {{ overline { left [B ^ { prime} right] _ {C}}}: B ^ { prime} in { mathcal {B}} ^ { prime} že jo}}$ je základní podčeleď ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ .
${ displaystyle C ^ { prime}}$ ${ displaystyle C ^ { prime}}$ je přísný ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ - kužel dovnitř ${ displaystyle X ^ { prime}}$ ${ displaystyle X ^ { prime}}$ .
- to znamená, že rodina ${ displaystyle left { left [B ^ { prime} right] _ {C}: B ^ { prime} in { mathcal {B}} ^ { prime} right }}$ je základní podčeleď ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ .

a pokud X je uspořádaný lokálně konvexní TVS nad reálemi, jejichž pozitivní kužel je C, pak můžeme přidat do tohoto seznamu:

existuje Hausdorff místně kompaktní topologický prostor S takhle X je izomorfní (jako objednaný TVS) s podprostorem R(S), kde R(S) je prostor všech spojitých funkcí se skutečnou hodnotou X podle topologie kompaktní konvergence.^[2]

Li X je lokálně konvexní TVS, C je kužel v X s dvojitý kužel ${ displaystyle C ^ { prime} subseteq X ^ { prime}}$ , a ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ je nasycená rodina slabě ohraničených podmnožin ${ displaystyle X ^ { prime}}$ , pak^[1]

-li ${ displaystyle C ^ { prime}}$ je ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ - tedy kužel C je normální kužel pro ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ -tologie na X;
-li C je normální kužel pro a ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ -tologie na X v souladu s ${ displaystyle left langle X, X ^ { prime} right rangle}$ pak ${ displaystyle C ^ { prime}}$ je přísný ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ - kužel dovnitř ${ displaystyle X ^ { prime}}$ .

Li X je Banachův prostor, C je uzavřený kužel X,, a ${ displaystyle { mathcal {B}} ^ { prime}}$ je rodina všech ohraničených podmnožin ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$ pak dvojitý kužel ${ displaystyle C ^ { prime}}$ je normální v ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$ kdyby a jen kdyby C je přísný ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ -kužel.^[1]

Li X je Banachův prostor a C je kužel v X pak následující jsou ekvivalentní:^[1]

C je ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ - kužel dovnitř X;
${ displaystyle X = { overline {C}} - { overline {C}}}$ ;
${ displaystyle { overline {C}}}$ je přísný ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ - kužel dovnitř X.

Vlastnosti

Li X je Hausdorff TVS pak každý normální kužel dovnitř X je správný kužel.^[1]
Li X je normovatelný prostor a pokud C je normální kužel X pak ${ displaystyle X ^ { prime} = C ^ { prime} -C ^ { prime}}$ .^[1]
Předpokládejme, že kladný kužel objednaného lokálně konvexního TVS X je v systému slabě normální X a to Y je objednaný lokálně konvexní TVS s pozitivním kuželem D. Li Y = D - D pak H - H je hustá v ${ displaystyle L_ {s} left (X; Y right)}$ ${ displaystyle L_ {s} left (X; Y right)}$ kde H je kanonický pozitivní kužel ${ displaystyle L left (X; Y right)}$ ${ displaystyle L left (X; Y right)}$ a ${ displaystyle L_ {s} left (X; Y right)}$ ${ displaystyle L_ {s} left (X; Y right)}$ je prostor ${ displaystyle L left (X; Y right)}$ ${ displaystyle L left (X; Y right)}$ s topologií jednoduché konvergence.^[3]
- Li ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ je rodina omezených podmnožin X, pak zjevně neexistují jednoduché podmínky, které by to zaručovaly H je ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ - kužel dovnitř ${ displaystyle L _ { mathcal {G}} vlevo (X; Y vpravo)}$ , a to i pro nejběžnější typy rodin ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ omezených podmnožin ${ displaystyle L _ { mathcal {G}} vlevo (X; Y vpravo)}$ (s výjimkou velmi zvláštních případů).^[3]

Dostatečné podmínky

Pokud je topologie zapnutá X je lokálně konvexní, pak je uzavření normálního kuželu normálním kuželem.^[1]

Předpokládejme to ${ displaystyle left {X _ { alpha}: alpha in A right }}$ je rodina lokálně konvexních TVS a podobně ${ displaystyle C _ { alpha}}$ je kužel v ${ displaystyle X _ { alpha}}$ .Li ${ displaystyle X: = bigoplus _ { alpha} X _ { alpha}}$ je lokálně konvexní přímý součet pak kužel ${ displaystyle C: = bigoplus _ { alpha} C _ { alpha}}$ je normální kužel X jen a jen pokud každý ${ displaystyle X _ { alpha}}$ je normální v ${ displaystyle X _ { alpha}}$ .^[1]

Li X je lokálně konvexní prostor, pak je uzavření normálního kuželu normálním kuželem.^[1]

Li C je kužel v místně konvexní TVS X a pokud ${ displaystyle C ^ { prime}}$ je dvojitý kužel C, pak ${ displaystyle X ^ { prime} = C ^ { prime} -C ^ { prime}}$ kdyby a jen kdyby C je slabě normální.^[1] Každý normální kužel v lokálně konvexním TVS je slabě normální.^[1] V normovaném prostoru je kužel normální právě tehdy, když je slabě normální.^[1]

Li X a Y jsou objednány lokálně konvexní TVS a pokud ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ je rodina omezených podmnožin X, pak pokud je pozitivní kužel z X je ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ - kužel dovnitř X a pokud je pozitivní kužel z Y je normální kužel Y pak pozitivní kužel ${ displaystyle L _ { mathcal {G}} vlevo (X; Y vpravo)}$ je normální kužel pro ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ -tologie na ${ displaystyle L left (X; Y right)}$ .^[4]

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^str ^q ^r Schaefer & Wolff 1999, str. 215–222.
^ Schaefer & Wolff 1999, str. 222-225.
^ ^A ^b Schaefer & Wolff 1999, str. 225–229.
^ Schaefer & Wolff 1999, str. 225-229.

Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 3. New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[FOOTNOTESchaeferWolff1999215–222-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^str ^q ^r Schaefer & Wolff 1999, str. 215–222.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999222-225-2] Schaefer & Wolff 1999, str. 222-225.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999225–229-3] A ^b Schaefer & Wolff 1999, str. 225–229.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999225-229-4] Schaefer & Wolff 1999, str. 225-229.

[1]

[2]

[3]

[4]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki

Seřazené topologické vektorové prostory
Základní pojmy	Objednaný topologický vektorový prostor Objednaný vektorový prostor Částečně objednaný prostor Rieszův prostor Objednávejte topologii Objednejte jednotku Topologická vektorová mříž Vektorové mříž
Druhy objednávek / mezer	AL-prostor AM-prostor Archimedean Banachova mříž Fréchetova mříž Lokálně konvexní vektorová mříž Normovaná mříž Objednávejte vázané duální Objednávka dual Objednávka Kompletní Pravidelně objednáváno
Typy prvků / podmnožin	Kapela Kužel nasycený Mříž disjunktní Duální / polární kužel Normální kužel Objednávka Kompletní Objednávka sumarizovatelná Objednejte jednotku Kvazi-vnitřní bod Pevná sada Slabá objednávková jednotka
Topologie / konvergence	Objednejte konvergenci Objednávejte topologii
Operátoři	Pozitivní
Hlavní výsledky	Freudenthal spektrální