Topologická vektorová mříž - Topological vector lattice - Wikipedia

V matematice, konkrétně v funkční analýza a teorie objednávek, a topologická vektorová mříž je Hausdorff topologický vektorový prostor (TVS) X který má částečná objednávka ≤ dělat to vektorové mřížky to je má základnu sousedství na počátku skládající se z pevné sady.^[1] Uspořádané vektorové mřížky mají důležité aplikace v spektrální teorie.

Definice

Li X je vektorová mřížka poté vektorové mřížkové operace máme na mysli následující mapy:

tři mapy X sama o sobě definována ${ displaystyle x mapsto | x |}$ , ${ displaystyle x mapsto x ^ {+}}$ , ${ displaystyle x mapsto x ^ {-}}$ , a
dvě mapy z ${ displaystyle X krát X}$ do X definován ${ displaystyle (x, y) mapsto sup left {x, y right }}$ a ${ displaystyle (x, y) mapsto inf left {x, y right }}$ .

Li X je TVS nad reálemi a vektorová mřížka X je lokálně pevný právě tehdy, když (1) jeho kladný kužel je a normální kužel a (2) operace vektorové mřížky jsou spojité.^[1]

Li X je vektorová mřížka a uspořádaný topologický vektorový prostor to je Fréchetový prostor ve kterém je pozitivní kužel a normální kužel, pak jsou mřížové operace spojité.^[1]

Li X je topologický vektorový prostor (TVS) a an uspořádaný vektorový prostor pak X je nazýván místně pevné -li X má základnu sousedství na počátku skládající se z pevné sady.^[1] A topologická vektorová mříž je Hausdorff TVS X který má částečná objednávka ≤ dělat to vektorové mřížky to je místně pevné.^[1]

Vlastnosti

Každá topologická vektorová mřížka má uzavřený pozitivní kužel a je tedy uspořádaný topologický vektorový prostor.^[1] Nechat ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ označuje množinu všech ohraničených podmnožin topologické vektorové mřížky s kladným kuželem C a pro jakoukoli podmnožinu S, nechť ${ displaystyle [S] _ {C}: = doleva (S + C doprava) čepice doleva (S-C doprava)}$ být C-nasycený trup z S. Pak je kladný kužel topologické vektorové mřížky C je přísný ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ -kužel,^[1] kde C je přísný ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ -kužel znamená, že ${ displaystyle left { left [B right] _ {C}: B in { mathcal {B}} right }}$ je základní podčeleď ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ (tj. každý ${ displaystyle B v { mathcal {B}}}$ je obsažen jako podmnožina nějakého prvku ${ displaystyle left { left [B right] _ {C}: B in { mathcal {B}} right }}$ ).^[2]

Pokud je topologická vektorová mříž X je Objednávka Kompletní pak je každá skupina uzavřena X.^[1]

Příklady

Banachovy prostory ${ displaystyle L ^ {p} left ( mu right)}$ ( ${ displaystyle 1 leq p leq infty}$ ) jsou Banachovy mříže pod jejich kanonickým usnesením. Pro tyto prostory je objednávka kompletní ${ displaystyle p < infty}$ .

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h Schaefer & Wolff 1999, str. 234–242.
^ Schaefer & Wolff 1999, str. 215–222.

Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999234–242-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h Schaefer & Wolff 1999, str. 234–242.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999215–222-2] Schaefer & Wolff 1999, str. 215–222.

[1]

[2]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki

Seřazené topologické vektorové prostory
Základní pojmy	Objednaný topologický vektorový prostor Objednaný vektorový prostor Částečně objednaný prostor Rieszův prostor Objednávejte topologii Objednejte jednotku Topologická vektorová mříž Vektorové mříž
Druhy objednávek / mezer	AL-prostor AM-prostor Archimedean Banachova mříž Fréchetova mříž Lokálně konvexní vektorová mříž Normovaná mříž Objednejte vázaný duální Objednávka dual Objednávka Kompletní Pravidelně objednáváno
Typy prvků / podmnožin	Kapela Kužel nasycený Mříž disjunktní Duální / polární kužel Normální kužel Objednávka Kompletní Objednávka sumarizovatelná Objednejte jednotku Kvazi-vnitřní bod Pevná sada Slabá objednávková jednotka
Topologie / konvergence	Objednejte konvergenci Objednávejte topologii
Operátoři	Pozitivní
Hlavní výsledky	Freudenthal spektrální