Mříž disjunktní - Lattice disjoint - Wikipedia

V matematice, konkrétně v teorie objednávek a funkční analýza, dva prvky X a y a vektorové mřížky X jsou mříž disjunktní nebo jednoduše disjunktní -li ${ displaystyle inf left {| x |, | y | right } = 0}$, v takovém případě píšeme ${ displaystyle x perp y}$, Kde absolutní hodnota z X je definován jako ${ displaystyle | x |: = sup left {x, -x right }}$.^[1] Říkáme, že dvě sady A a B jsou mříž disjunktní nebo disjunktní -li A a b jsou disjunktní pro všechny A v A a všechno b v B, v takovém případě píšeme ${ displaystyle A perp B}$.^[2] Li A je singletonová sada ${ displaystyle {a }}$ pak napíšeme ${ displaystyle a perp B}$ namísto ${ displaystyle {a } perp B}$. Pro jakoukoli sadu A, definujeme disjunktní doplněk být set ${ displaystyle A ^ { perp}: = left {x v X: x perp A right }}$.^[2]

Charakterizace

Dva prvky X a y jsou disjunktní právě tehdy ${ displaystyle sup {| x |, | y | } = | x | + | y ​​|}$. Li X a y jsou tedy disjunktní ${ displaystyle | x + y | = | x | + | y ​​|}$ a ${ displaystyle left (x + y right) ^ {+} = x ^ {+} + y ^ {+}}$, kde pro jakýkoli prvek z, ${ displaystyle z ^ {+}: = sup left {z, 0 right }}$ a ${ displaystyle z ^ {-}: = sup left {- z, 0 right }}$.

Vlastnosti

Nesouvislé doplňky jsou vždy kapel, ale konverzace není obecně platná. Li A je podmnožinou X takhle ${ displaystyle x = sup A}$ existuje, a pokud B je podmnožina mřížky v X to je disjunktní od A, pak B je mřížka disjunktní z ${ displaystyle {x }}$.^[2]

Reprezentace jako disjunktní součet pozitivních prvků

Pro všechny X v X, nechť ${ displaystyle x ^ {+}: = sup left {x, 0 right }}$ a ${ displaystyle x ^ {-}: = sup left {- x, 0 right }}$, přičemž si všimněte, že oba tyto prvky jsou ${ displaystyle geq 0}$ a ${ displaystyle x = x ^ {+} - x ^ {-}}$ s ${ displaystyle | x | = x ^ {+} + x ^ {-}}$. Pak ${ displaystyle x ^ {+}}$ a ${ displaystyle x ^ {-}}$ jsou disjunktní a ${ displaystyle x = x ^ {+} - x ^ {-}}$ je jedinečné zastoupení X jako rozdíl disjunktních prvků, které jsou ${ displaystyle geq 0}$.^[2] Pro všechny X a y v X, ${ displaystyle left | x ^ {+} - y ^ {+} right | leq | x-y |}$ a ${ displaystyle x + y = sup {x, y } + inf {x, y }}$.^[3] Li y ≥ 0 a X ≤ y pak X⁺ ≤ y. Navíc, ${ displaystyle x leq y}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle x ^ {+} leq y ^ {+}}$ a ${ displaystyle x ^ {-} leq x ^ {- 1}}$.^[2]

Viz také

• Pevná sada
• Lokálně konvexní vektorová mříž
• Vektorové mříž

Reference

Zdroje

• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 3. New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.CS1 maint: ref = harv (odkaz)