Příklad sférické čepice v modré barvě (a další v červené barvě).
3D model kulové čepice.
v geometrie, a kulová čepice nebo kulová kopule je část a koule nebo a míč odříznut a letadlo. Je to také a sférický segment jedné základny, tj. ohraničené jedinou rovinou. Pokud rovina prochází středem koule, takže výška víčka se rovná poloměr koule se sférická čepička nazývá a polokoule.
Všimněte si, že kromě argumentu založeného na počtu níže může být oblast sférické čepice odvozena od objemu z sférický sektor, intuitivním argumentem,[2] tak jako
Intuitivní argument je založen na součtu celkového objemu sektoru od objemu nekonečně malého trojúhelníkové pyramidy. Využití objem pyramidy (nebo kužele) vzorec , kde je nekonečně malá plocha každé pyramidové základny (umístěné na povrchu koule) a je výška každé pyramidy od její základny po vrchol (ve středu koule). Protože každý , v limitu, je konstantní a odpovídá poloměru koule, součet nekonečně malých pyramidových bází by se rovnal ploše sférického sektoru a:
Odvození objemu a povrchové plochy pomocí kalkulu
Otočením zelené plochy vytvoříte sférickou čepici s výškou a poloměr koule .
Objemové a plošné vzorce lze odvodit zkoumáním rotace funkce
Svazky sjednocení a průniku dvou protínajících se sfér
Objem svaz dvou protínajících se koulí poloměrů a je[3]
kde
je součet objemů dvou izolovaných sfér a
součet objemů dvou sférických čepic tvořících jejich průnik. Li je vzdálenost mezi dvěma středy koulí, eliminace proměnných a vede k[4][5]
Objem kulového uzávěru se zakřiveným dnem
Objem sférického víčka se zakřiveným dnem lze vypočítat zvážením dvou koulí s poloměry a , oddělené určitou vzdáleností , a pro které se jejich povrchy protínají . To znamená, že zakřivení základny pochází z koule 2. Objem je tedy rozdílem mezi čepicí koule 2 (s výškou ) a čepice koule 1 (s výškou ),
Tento vzorec je platný pouze pro konfigurace, které splňují a . Pokud je koule 2 velmi velká, taková , proto a , což je případ sférického uzávěru se základnou, která má zanedbatelné zakřivení, se výše uvedená rovnice podle očekávání rovná objemu sférického uzávěru s plochou základnou.
Oblasti protínajících se koulí
Zvažte dvě protínající se sféry poloměrů a s jejich středy oddělenými vzdáleností . Protínají se, pokud
Ze zákona kosinů je polární úhel kulového uzávěru na kouli o poloměru je
Pomocí toho povrch kulové čepičky na kouli o poloměru je
Plocha ohraničená paralelními disky
Zakřivená plocha povrchu sférický segment ohraničený dvěma paralelními disky je rozdíl povrchových ploch jejich příslušných sférických čepiček. Pro kouli o poloměru a čepice s výškami a , oblast je
nebo pomocí zeměpisných souřadnic se zeměpisnými šířkami a ,[6]
Například za předpokladu, že Země je koule o poloměru 6371 km, je povrch arktické oblasti (severně od polárního kruhu, v srpnu 2016 na 66,56 ° zeměpisné šířky)[7]) je 2π·63712| hřích 90 ° - hřích 66,56 ° | = 21,04 milionu km2nebo 0,5 · | hřích 90 ° - hřích 66,56 ° | = 4,125% z celkového povrchu Země.
Tento vzorec lze také použít k prokázání, že polovina povrchu Země leží mezi zeměpisnými šířkami 30 ° jižní a 30 ° severní šířky ve sférické zóně, která zahrnuje všechny oblasti Tropy.
Obecně platí, že -rozměrný objem hypersférického víčka výšky a poloměr v -dimenzionální euklidovský prostor je dán vztahem:[Citace je zapotřebí ]kde (dále jen funkce gama ) darováno .
^Anja Becker, Léo Ducas, Nicolas Gama a Thijs Laarhoven. 2016. Nové směry v hledání nejbližších sousedů s aplikacemi pro mřížkové prosévání. Ve sborníku z 27. ročníku sympozia ACM-SIAM o diskrétních algoritmech (SODA '16), Robert Kraughgamer (vyd.). Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku, Philadelphia, PA, USA, 10-24.
Další čtení
Richmond, Timothy J. (1984). "Rozpouštědlem přístupný povrch a vyloučený objem v proteinech: Analytická rovnice pro překrývající se sféry a důsledky pro hydrofobní účinek". Journal of Molecular Biology. 178 (1): 63–89. doi:10.1016/0022-2836(84)90231-6. PMID6548264.
Gibson, K. D .; Scheraga, Harold A. (1987). "Objem průniku tří koulí nestejné velikosti: zjednodušený vzorec". The Journal of Physical Chemistry. 91 (15): 4121–4122. doi:10.1021 / j100299a035.
Gibson, K. D .; Scheraga, Harold A. (1987). "Přesný výpočet objemu a povrchové plochy kondenzovaných molekul tvrdé koule s nerovnými poloměry atomů". Molekulární fyzika. 62 (5): 1247–1265. Bibcode:1987MolPh..62,1247G. doi:10.1080/00268978700102951.
Petitjean, Michel (1994). "K analytickému výpočtu van der Waalsových povrchů a objemů: některé numerické aspekty". Journal of Computational Chemistry. 15 (5): 507–523. doi:10.1002 / jcc.540150504.
Grant, J. A .; Pickup, B. T. (1995). "Gaussovský popis molekulárního tvaru". The Journal of Physical Chemistry. 99 (11): 3503–3510. doi:10.1021 / j100011a016.
Busa, Jan; Dzurina, Jozef; Hayryan, Edik; Hayryan, Shura (2005). „ARVO: Balíček Fortran pro výpočet povrchové plochy přístupné rozpouštědlům a vyloučeného objemu překrývajících se sfér pomocí analytických rovnic“. Komunikace počítačové fyziky. 165 (1): 59–96. Bibcode:2005CoPhC.165 ... 59B. doi:10.1016 / j.cpc.2004.08.002.