Kruhový svazek - Circle bundle
v matematika, a kruhový svazek je svazek vláken kde je vlákno kruh .
Svazky orientovaného kruhu jsou také známé jako ředitel školy U(1) svazky. v fyzika, kruhové svazky jsou přirozeným geometrickým nastavením pro elektromagnetismus. Kruhový svazek je speciální případ a koule svazek.
Jako 3 potrubí
Zakroužkujte svazky povrchy jsou důležitým příkladem 3 rozdělovače. Obecnější třída 3-potrubí je Seifert vláknové prostory, který lze chápat jako druh „singulárního“ kruhového svazku nebo jako kruhový svazek přes dvourozměrný orbifold.
Vztah k elektrodynamice
The Maxwellovy rovnice odpovídají elektromagnetické pole zastoupená a 2-forma F, s bytost cohomologous na nulu. Zejména vždy existuje a 1-forma A, elektromagnetický čtyř potenciál, (ekvivalentně afinní spojení ) takové, že
Dostal svazek kruhů P přes M a jeho projekce
jeden má homomorfismus
kde je zarazit. Každý homomorfismus odpovídá a Dirac monopol; celé číslo kohomologické skupiny odpovídají kvantizaci elektrický náboj. The Bohm-Aharonovův efekt lze chápat jako holonomy spojení na sdruženém liniovém svazku popisujícím funkci elektronových vln. V podstatě Bohm-Aharonovův efekt není kvantově-mechanickým účinkem (na rozdíl od všeobecného přesvědčení), protože při konstrukci svazků nebo spojení vláken není zahrnuta ani vyžadována žádná kvantizace.
Příklady
- The Hopfova fibrace je příkladem netriviálního kruhového svazku.
- Jednotkový normální svazek povrchu je dalším příkladem kruhového svazku.
- Jednotkovým normálním svazkem neorientovatelného povrchu je kruhový svazek, který není jistinou svazek. Pouze orientovatelné povrchy mají tečny svazky hlavní jednotky.
- Další metodou konstrukce kruhových svazků je použití komplexního svazku čar a převzetí svazku přidružené sféry (v tomto případě kruhu). Protože tento svazek má orientaci vyvolanou z máme, že je to jistina - svazek.[1] Navíc charakteristické třídy z Chern-Weilovy teorie -bundle souhlasí s charakteristickými třídami .
- Zvažte například analýzu složitá rovinná křivka
Od té doby a charakteristické třídy se netriviálně stahují zpět, máme ten svazek linií spojený s svazkem má třídu Chern .
Klasifikace
The třídy izomorfismu jistiny - svazky přes potrubí M jsou v osobní korespondenci s třídy homotopy map , kde se nazývá klasifikační prostor pro U (1). Všimněte si, že je nekonečně-dimenzionální složitý projektivní prostor, a že je příkladem Eilenberg – Maclaneův prostor Takové svazky jsou klasifikovány podle prvku druhého integrální kohomologická skupina z M, od té doby
- .
Tento izomorfismus je realizován Eulerova třída; ekvivalentně je to první Třída Chern hladkého komplexu svazek řádků (v podstatě proto, že kruh je homotopicky ekvivalentní k , komplexní rovina s odstraněným počátkem; a tak je složitý svazek čar s odstraněnou nulovou částí homotopicky ekvivalentní svazku kruhů.)
Kruhový svazek je jistina svazek tehdy a jen tehdy, pokud je přidružená mapa je null-homotopický, což je pravda právě tehdy, pokud je svazek orientovatelný fibrewise. Tedy pro obecnější případ, kdy se kruh svazuje M nemusí být orientovatelné, třídy izomorfismu jsou v osobní korespondenci s třídy homotopy map . To vyplývá z rozšíření skupin, , kde .
Deligneovy komplexy
Výše uvedená klasifikace platí pouze pro kruhové svazky obecně; odpovídající klasifikace pro svazky hladkých kruhů nebo, řekněme, svazky kruhů s afinní spojení vyžaduje složitější teorii cohomologie. Výsledky zahrnují, že svazky hladkých kruhů jsou klasifikovány druhou Deligneovou kohomologií ; kruhové svazky s afinním připojením jsou klasifikovány podle zatímco klasifikuje svazek řádků gerbes.
Viz také
Reference
- ^ https://mathoverflow.net/q/144092. Chybějící nebo prázdný
| název =
(Pomoc)
- Chern, Shiing-shen (1977), „Circle bundles“, Přednášky z matematiky, 597/1977, Springer Berlín / Heidelberg, str. 114–131, doi:10.1007 / BFb0085351, ISBN 978-3-540-08345-0.