Bol smyčka - Bol loop

v matematika a abstraktní algebra, a Bol smyčka je algebraická struktura zobecňující pojem skupina. Bolovy smyčky jsou pojmenovány pro nizozemského matematika Gerrit Bol kdo je představil (Bol 1937 ).

A smyčka, L, se říká, že je levá Bol smyčka pokud vyhovuje identita

${displaystyle a (b (ac)) = (a (ba)) c}$, pro každého A,b,C v L,

zatímco L se říká, že je pravá Bol smyčka pokud to vyhovuje

${displaystyle ((ca) b) a = c ((ab) a)}$, pro každého A,b,C v L.

Tyto identity lze považovat za oslabené formy asociativita.

Smyčka je jak levý Bol, tak pravý Bol, pokud a pouze pokud je a Mufang smyčka. Různí autoři používají termín „Bolova smyčka“ k označení levé Bolovy smyčky nebo pravé Bolovy smyčky.

Bruckovy smyčky

Bol smyčka splňující automatická inverzní vlastnost, (ab)⁻¹ = A⁻¹ b⁻¹ pro všechny a, b v L, je známé jako (vlevo nebo vpravo) Bruckova smyčka nebo K-smyčka (pojmenováno pro amerického matematika Richard Bruck ). Příkladem v následující části je Bruckova smyčka.

Smyčky Bruck mají aplikace v speciální relativita; viz Ungar (2002). Smyčky Left Bruck jsou ekvivalentní Ungarovým (2002) gyrocommutative gyroskupiny, i když jsou tyto dvě struktury definovány odlišně.

Příklad

Nechat L označit množinu n x n pozitivní určitý, Hermitian matice přes komplexní čísla. Obecně není pravda, že maticový produkt AB matic A, B v L je Hermitian, natož pozitivní určitý. Existuje však jedinečný P v L a jedinečný unitární matice U takhle AB = PU; to je polární rozklad z AB. Definujte binární operaci * zapnuto L podle A * B = P. Pak (L, *) je levá Bruckova smyčka. Explicitní vzorec pro * je dán vztahem A * B = (A B² A)^1/2, kde horní index 1/2 označuje jedinečný pozitivní určitý Hermitian odmocnina.

Bol algebra

(Vlevo) Bol algebra je vektorový prostor vybavený binární operací ${displaystyle [a, b] + [b, a] = 0}$ a ternární operace ${displaystyle {a, b, c}}$ který splňuje následující identity:^[1]

${displaystyle {a, b, c} + {b, a, c} = 0}$

a

${displaystyle {a, b, c} + {b, c, a} + {c, a, b} = 0}$

a

${displaystyle [{a, b, c}, d] - [{a, b, d}, c] + {c, d, [a, b]} - {a, b, [c, d]} + [[a, b], [c, d]] = 0}$

a

${displaystyle {a, b, {c, d, e}} - {{a, b, c}, d, e} - {c, {a, b, d}, e} - {c, d, { a, b, e}} = 0}$

Li A je vlevo nebo vpravo alternativní algebra pak má přidruženou Bol algebru A^b, kde ${displaystyle [a, b] = ab-ba}$ je komutátor a ${displaystyle {a, b, c} = langle b, c, aangle}$ je Jordan spolupracovník.

Reference

• Bol, G. (1937), „Gewebe und gruppen“, Mathematische Annalen, 114 (1): 414–431, doi:10.1007 / BF01594185, ISSN  0025-5831, JFM  63.1157.04, PAN  1513147, Zbl  0016.22603
• Kiechle, H. (2002). Teorie K-smyček. Springer. ISBN  978-3-540-43262-3.
• Pflugfelder, H.O. (1990). Kvazigroup a smyčky: Úvod. Heldermann. ISBN  978-3-88538-007-8. Kapitola VI je o bolských smyčkách.
• Robinson, D.A. (1966). "Bol smyčky". Trans. Amer. Matematika. Soc. 123 (2): 341–354. doi:10.1090 / s0002-9947-1966-0194545-4. JSTOR  1994661.
• Ungar, A.A. (2002). Beyond the Einstein Add Law and its Gyroscopic Thomas Precession: Theory of Gyrogroups and Gyrovector Spaces. Kluwer. ISBN  978-0-7923-6909-7.