Nakloněná rovina - Inclined plane - Wikipedia

„Rampa“ přeadresuje tady. Pro další použití viz Rampa (disambiguation).
Tento článek je o fyzické struktuře. Pro další použití viz Nakloněná rovina (disambiguation).
Rampa pro invalidní vozík, Hotel Montescot, Chartres, Francie
Demonstrace nakloněná rovina používaná ve vzdělávání, Museo Galileo, Florencie.

An nakloněná rovina, také známý jako a rampa, je plochá podpěrná plocha nakloněná pod úhlem, s jedním koncem výše než druhým, používaná jako pomůcka ke zvedání nebo spouštění břemene.[1][2][3] Nakloněná rovina je jednou ze šesti klasických jednoduché stroje definováno renesančními vědci. Nakloněná letadla jsou široce používána k pohybu těžkých břemen přes vertikální překážky; příklady se liší od rampy používané k naložení zboží do kamionu, osoby kráčící po rampě pro chodce, automobilu nebo vlaku šplhajícího po schodech.[3]

Pohyb objektu nahoru po nakloněné rovině vyžaduje méně platnost než jej zvednout rovně nahoru, za cenu zvýšení ujeté vzdálenosti.[4] The mechanická výhoda nakloněné roviny, činitel, kterým se síla sníží, se rovná poměru délky svažitého povrchu k jeho výšce. Kvůli uchování energie stejné množství mechanická energie (práce ) je povinen zvednout daný objekt o danou svislou vzdálenost, bez ohledu na ztráty z tření, ale nakloněná rovina umožňuje stejnou práci s menší silou vyvíjenou na větší vzdálenost.[5][6]

The úhel tření,[7] někdy také nazývaný úhel odpočinku,[8] je maximální úhel, pod kterým může náklad ležet nehybně na nakloněné rovině kvůli tření, aniž by sklouzla dolů. Tento úhel se rovná arkustangens z koeficient statického tření μs mezi povrchy.[8]

Dva další jednoduché stroje jsou často považovány za odvozené od nakloněné roviny.[9] The klín lze považovat za pohybující se nakloněnou rovinu nebo dvě nakloněné roviny spojené na základně.[5] The šroub sestává z úzké nakloněné roviny omotané kolem a válec.[5]

Termín může také odkazovat na konkrétní implementaci; rovná rampa rozřezaná na strmý svah pro přepravu zboží nahoru a dolů z kopce. Může zahrnovat vozy na kolejích nebo vytažené kabelovým systémem; A lanovka nebo lanovka, tak jako Johnstown nakloněná rovina.

Použití

Šikmé roviny jsou široce používány ve formě nakládací rampy nakládat a vykládat zboží na nákladní automobily, lodě a letadla.[3] Rampy pro invalidní vozíky jsou používány k povolení lidem v invalidní vozíky překonat svislé překážky bez překročení jejich síly. Eskalátory a šikmo dopravní pásy jsou také formy nakloněné roviny.[6] V lanovka nebo lanovka železniční vůz je pomocí kabelů vytažen do strmé šikmé roviny. Nakloněná letadla také umožňují bezpečně snížit těžké křehké předměty, včetně lidí, pomocí svislé vzdálenosti dolů normální síla letadla snížit gravitační síla. Letadlo evakuační diapozitivy umožnit lidem rychle a bezpečně dosáhnout na zem z výšky cestujícího dopravní letadlo.

Pomocí ramp naložit auto na nákladní auto
Naložení kamionu na loď pomocí rampy
Letadlo nouzové evakuační skluzavka
Rampa pro invalidní vozík v japonském autobuse
Nakládací rampa na kamionu

Další nakloněná letadla jsou zabudována do stálých struktur. Silnice pro vozidla a železnice mají nakloněné roviny v podobě postupných svahů, ramp a hrází umožnit vozidlům překonat svislé překážky, jako jsou kopce, aniž by došlo ke ztrátě trakce na povrchu vozovky.[3] Podobně, stezky pro chodce a chodníky mají jemné rampy, které omezují jejich sklon, aby chodci udrželi trakci.[1][4] Nakloněná rovina se také používá jako zábava pro lidi, aby kontrolovaně sklouzávali dolů dětské hřiště skluzavky, tobogány, sjezdovky a skateboardové parky.

Země rampa (že jo) postavený Římany v roce 72 nl k invazi Masada, Izrael
Rampa pro chodce, Palacio do Planalto, Brasilia
Johnstown Inclined Plane, a lanovka železnice.
Burma Road, Assam, Indie, přes Barmu do Číny 1945
Nakloněná letadla ve skateboardovém parku

Dějiny

Stevinův důkaz
StevinEquilibrium.svg
V roce 1586 vlámský inženýr Simon Stevin (Stevinus) odvodil mechanickou výhodu nakloněné roviny argumentem, který používal řetězec korálků.[10] Představoval si dvě nakloněné roviny stejné výšky, ale různých sklonů, umístěné zády k sobě (nahoře) jako v hranolu. Smyčka provázku s korálky ve stejných intervalech je přehozena přes nakloněné roviny, přičemž část visí dole. Korálky spočívající na rovinách fungují jako zatížení na rovinách, které drží tahová síla v provázku v bodě T. Stevinův argument zní takto:[10][11][12]
  • Řetězec musí být stacionární, v statická rovnováha. Pokud by to bylo těžší na jedné straně než na druhé, a začalo by klouzat doprava nebo doleva pod svou vlastní hmotností, když by se každý korálek posunul do polohy předchozího korálku, šňůrka by byla nerozeznatelná od své původní polohy, a proto by byla i nadále nevyvážený a klouzat. Tento argument mohl být opakován donekonečna, což mělo za následek oběžník věčný pohyb, což je absurdní. Proto je stacionární, se silami na obou stranách v bodě T (výše) rovnat se.
  • Část řetězu visící pod nakloněnými rovinami je symetrická a se stejným počtem korálků na každé straně. Vyvíjí stejnou sílu na každou stranu struny. Proto může být tato část řetězce oříznuta na okrajích rovin (body S a V), přičemž pouze korálky spočívají na nakloněných rovinách a tato zbývající část bude stále ve statické rovnováze.
  • Vzhledem k tomu, že korálky jsou na provázku ve stejných intervalech, je celkový počet korálků podporovaných každou rovinou, celkové zatížení, úměrný délce roviny. Protože vstupní podpůrná síla, napětí v provázku, je u obou stejné, mechanická výhoda každé roviny je úměrná její šikmé délce

Jak zdůraznil Dijksterhuis,[13] Stevinova argumentace není úplně těsná. Síly vyvíjené závěsnou částí řetězu nemusí být symetrické, protože závěsná část nemusí zachovat svůj tvar když pusť. I když je řetězec uvolněn s nulovým momentem hybnosti, je možný pohyb včetně oscilací, pokud není řetěz zpočátku ve své rovnovážné konfiguraci, což je předpoklad, který by způsobil, že argument bude kruhový.

Nakloněná rovina byla používána lidmi od pravěku k pohybu těžkých předmětů.[14][15] Šikmé silnice a hrází postavené starověkými civilizacemi, jako jsou Římané, jsou příklady časně nakloněných letadel, která přežila, a ukazují, že pochopili hodnotu tohoto zařízení pro pohyb věcí do kopce. Těžké kameny používané ve starověkých kamenných strukturách, jako jsou Stonehenge[16] se předpokládá, že byly přesunuty a umístěny na místě pomocí nakloněných rovin vyrobených ze Země,[17] i když je těžké najít důkazy o takových dočasných stavebních rampách. The Egyptské pyramidy byly konstruovány pomocí nakloněných rovin,[18][19][20] Obležení rampy umožnily starým armádám překonat zdi pevnosti. Starověcí Řekové postavili zpevněnou rampu dlouhou 6 km (3,7 míle) Diolkos, přetáhnout lodě po souši přes Korintská šíje.[4]

Nakloněné letadlo však bylo poslední ze šesti klasických jednoduché stroje být rozpoznán jako stroj. Je to pravděpodobně proto, že se jedná o pasivní, nehybné zařízení (zátěž je pohyblivá část),[21] a také proto, že se v přírodě vyskytuje ve formě svahů a kopců. Ačkoli pochopili jeho použití při zvedání těžkých předmětů, starořečtina filozofové, kteří definovali dalších pět jednoduchých strojů, nezahrnuli nakloněnou rovinu jako stroj.[22] Tento názor přetrval mezi několika pozdějšími vědci; až v roce 1826 Karl von Langsdorf napsal, že nakloněné letadlo "... není nic víc než stroj jako svah hory.[21] Problém výpočtu síly potřebné k tlačení závaží na nakloněnou rovinu (jeho mechanická výhoda) se pokusili řečtí filozofové Volavka Alexandrijská (asi 10 - 60 n. l.) a Pappus Alexandrijský (c. 290 - 350 nl), ale pomýlili si to.[23][24][25]

To nebylo až do renesance že nakloněná rovina byla vyřešena matematicky a klasifikována s ostatními jednoduchými stroji. První správná analýza nakloněné roviny se objevila v díle záhadného autora 13. století Jordanus de Nemore,[26][27] jeho řešení však zjevně nebylo sděleno jiným tehdejším filozofům.[24] Girolamo Cardano (1570) navrhli nesprávné řešení, že vstupní síla je úměrná úhlu roviny.[10] Na konci 16. století byly do deseti let zveřejněny tři správné řešení, Michael Varro (1584), Simon Stevin (1586) a Galileo Galilee (1592).[24] Ačkoli to nebylo první, odvození vlámského inženýra Simon Stevin[25] je nejznámější díky své originalitě a použití šňůrky korálků (viz rámeček).[12][26] V roce 1600 italský vědec Galileo Galilei zahrnul nakloněnou rovinu do své analýzy jednoduchých strojů v Le Meccaniche („On Mechanics“), ukazující jeho základní podobnost s ostatními stroji jako zesilovač síly.[28]

První základní pravidla klouzání tření na nakloněném letadle byly objeveny Leonardo da Vinci (1452-1519), ale ve svých zápisnících zůstal nepublikovaný.[29] Byli znovuobjeveni Guillaume Amontons (1699) a byly dále vyvinuty Charles-Augustin de Coulomb (1785).[29] Leonhard Euler (1750) ukázal, že tečna z úhel odpočinku na nakloněné rovině se rovná koeficient tření.[30]

Terminologie

Sklon

The mechanická výhoda nakloněné roviny závisí na jejím sklon, což znamená jeho spád nebo strmost. Čím menší je sklon, tím větší je mechanická výhoda a menší síla potřebná ke zvýšení dané hmotnosti. Sklon letadla s se rovná výškovému rozdílu mezi jeho dvěma konci, nebo "stoupat", děleno vodorovnou délkou, nebo"běh".[31] Může to být také vyjádřeno úhlem, který rovina svírá s vodorovnou, θ.

Geometrie nakloněné roviny je založena na a pravoúhlý trojuhelník.[31] Horizontální délka se někdy nazývá Běh, vertikální změna výšky Stoupat.

Mechanická výhoda

The mechanická výhoda MA jednoduchého stroje je definován jako poměr výstupní síly působící na zatížení k aplikované vstupní síle. Pro nakloněnou rovinu je výstupní zátěžová síla pouze gravitační silou zátěžového objektu v rovině, jeho hmotností Fw. Vstupní silou je síla Fi působící na objekt, rovnoběžně s rovinou, aby se posunul nahoru v rovině. Mechanickou výhodou je ...

MA ideální nakloněné roviny bez tření se někdy nazývá ideální mechanická výhoda (IMA), zatímco MA, když je zahrnuto tření, se nazývá skutečná mechanická výhoda (AMA).[32]

Šikmá rovina bez tření

Přístrojová nakloněná rovina používaná pro výuku fyziky kolem roku 1900. Levá váha zajišťuje sílu zátěže Fw. Pravá váha poskytuje vstupní sílu Fi vytažení válce nahoru do roviny.

Pokud není tření mezi pohybovaným objektem a rovinou se zařízení nazývá an ideální nakloněná rovina. K této podmínce lze přistupovat, pokud se objekt pohybuje, jako a hlaveň nebo podepřená na kolech nebo kolečka. Kvůli uchování energie, pro nakloněnou rovinu bez tření práce provedeno na zvedání břemene, Žven, se rovná práci provedené vstupní silou, Žv[33][34][35]

Práce je definována jako síla vynásobená posunem, kterým se objekt pohybuje. Práce vykonaná na břemenu se rovná jeho hmotnosti vynásobené svislým posunutím, které zvyšuje, což je „vzestup“ nakloněné roviny

Vstupní práce se rovná síle Fi na objektu krát úhlopříčná délka nakloněné roviny.

Dosazením těchto hodnot do zachování energetické rovnice výše a přeskupením

Vyjádřit mechanickou výhodu úhlem θ letadla,[34] je to vidět z diagramu (výše) že

Tak

Takže mechanická výhoda nakloněné roviny bez tření se rovná převrácené hodnotě sinusu úhlu sklonu. Vstupní síla Fi z této rovnice je síla potřebná k udržení zátěže nehybně na nakloněné rovině nebo k jejímu stlačení konstantní rychlostí. Pokud je vstupní síla větší než tato, zatížení se zrychlí po rovině; je-li síla menší, zrychlí dolů po rovině.

Nakloněná rovina s třením

Kde je tření mezi rovinou a břemenem, jako například když je těžká skříň vysunuta po rampě, část práce aplikované vstupní silou se rozptýlí jako teplo třením, Žfric, takže se na zátěži pracuje méně. Kvůli uchování energie, součet výstupní práce a ztrát třením se rovná vstupní práci

Proto je vyžadována větší vstupní síla a mechanická výhoda je nižší, než kdyby nebylo přítomno tření. Při tření se zátěž pohne, pouze pokud je čistá síla rovnoběžná s povrchem větší než třecí síla FF postavit se proti tomu.[8][36][37] Maximální třecí síla je dána vztahem

kde Fn je normální síla - mezi nákladem a rovinou směřující kolmo k povrchu a - μ je koeficient statického tření mezi dvěma povrchy, které se liší podle materiálu. Pokud není aplikována žádná vstupní síla, pokud je úhel sklonu θ roviny je menší než nějaká maximální hodnota φ složka gravitační síly rovnoběžné s rovinou bude příliš malá na to, aby překonala tření, a zatížení zůstane nehybné. Tento úhel se nazývá úhel odpočinku a závisí na složení povrchů, ale je nezávislá na hmotnosti nákladu. Níže je uvedeno, že tečna úhlu odpočinku φ je rovný μ

Při tření vždy existuje určitý rozsah vstupní síly Fi u nichž je zatížení stacionární, ani klouzání po rovině nahoru nebo dolů, zatímco u roviny nakloněné bez tření existuje pouze jedna konkrétní hodnota vstupní síly, pro kterou je zatížení nepohyblivé.

Analýza

Klíč: Fn = N = Normální síla to je kolmé na rovinu, Fi = F = vstupní síla, Fw = mg = hmotnost nákladu, kde m = Hmotnost, g = gravitace

Náklad spočívající na nakloněné rovině, je-li považován za svobodné tělo působí na něj tři síly:[8][36][37]

  • Použitá síla, Fi působící na břemeno, které jej pohybuje, které působí rovnoběžně se nakloněnou rovinou.
  • Hmotnost nákladu, Fw, který působí svisle dolů
  • Síla letadla na zatížení. To lze vyřešit na dvě složky:
    • Normální síla Fn nakloněné roviny na břemeno a podpírá ji. To je směrováno kolmo (normální ) na povrch.
    • Třecí síla, FF roviny na zatížení působí rovnoběžně s povrchem a je vždy ve směru opačném k pohybu objektu. Rovná se normální síle vynásobené koeficient statického tření μ mezi dvěma povrchy.

Použitím Newtonův druhý zákon pohybu zatížení bude stacionární nebo v ustáleném pohybu, pokud je součet sil na něm nulový. Vzhledem k tomu, že směr třecí síly je u pohybu do kopce a z kopce opačný, je třeba tyto dva případy posuzovat samostatně:

  • Pohyb do kopce: Celková síla na břemeno směřuje ke straně do kopce, takže třecí síla směřuje dolů po rovině a působí proti vstupní síle.
Odvození mechanické výhody pro pohyb do kopce

Rovnovážné rovnice pro síly rovnoběžné a kolmé k rovině jsou

Střídání do první rovnice
Řešení druhé rovnice dostat a dosazením do výše uvedené rovnice
Definování
Pomocí součtu úhlů trigonometrická identita na jmenovatele,
Mechanická výhoda je
kde . To je podmínka pro blížící se pohyb do nakloněné roviny. Pokud je aplikovaná síla Fi je větší, než je dáno touto rovnicí, zátěž se posune nahoru po rovině.
  • Pohyb z kopce: Celková síla na břemeno směřuje ke straně sjezdové, takže třecí síla směřuje nahoru do roviny.
Odvození mechanické výhody pro pohyb z kopce

Rovnovážné rovnice jsou

Střídání do první rovnice
Řešení druhé rovnice dostat a dosazením do výše uvedené rovnice
Nahrazení v a zjednodušení, jak je uvedeno výše
Pomocí jiného trigonometrická identita na jmenovatele,
Mechanická výhoda je
To je podmínka pro blížící se pohyb po rovině; pokud aplikovaná síla Fi je menší, než je uvedeno v této rovnici, zatížení sklouzne dolů po rovině. Existují tři případy:
  1. : Mechanická výhoda je negativní. Při absenci aplikované síly zůstane zatížení nehybné a vyžaduje určitou negativní (z kopce) aplikovanou sílu, aby se sklouzlo dolů.
  2. :úhel odpočinku '. Mechanická výhoda je nekonečná. Bez aplikované síly nebude zatížení klouzat, ale sebemenší záporná (z kopce) síla způsobí, že se sklouzne.
  3. : Mechanická výhoda je pozitivní. Při nepřítomnosti aplikované síly zátěž sklouzne dolů po rovině a vyžaduje určitou pozitivní (do kopce) sílu, aby ji udržel nehybnou

Mechanická výhoda při napájení

Klíč: N = Normální síla to je kolmé k rovině, W = mg, kde m = Hmotnost, g = gravitace a θ (theta ) = Úhel sklonu roviny

The mechanická výhoda nakloněné roviny je poměr hmotnosti nákladu na rampě k síle potřebné k jejímu vytažení po rampě. Pokud energie není rozptýlena nebo uložena v pohybu zátěže, lze tuto mechanickou výhodu vypočítat z rozměrů rampy.

Chcete-li to ukázat, nechte pozici r železničního vozu podél rampy s úhlem, θ, nad horizontálou bude dáno

kde R je vzdálenost podél rampy. Rychlost vozu po rampě je nyní

Protože nedochází ke ztrátám, je síla používána silou F k posunutí zátěže nahoru se rampa rovná výkonu ven, což je vertikální zdvih závaží Ž nákladu.

Příkon tažený automobilem po rampě je dán vztahem

a napájení je

Porovnejte výkon s výkonem pro získání mechanické výhody jako

Mechanickou výhodu sklonu lze také vypočítat z poměru délky rampy L do jeho výšky H, protože sinus úhlu rampy je dán vztahem

proto,

Uspořádání systému kabelového pohonu pro nakloněnou rovinu Liverpool Minard.

Příklad: Pokud je výška rampy H = 1 metr a její délka je L = 5 metrů, pak je mechanická výhoda

což znamená, že síla 20 lb zvedne zátěž 100 lb.

Šikmé letadlo Liverpool Minard má rozměry 1804 metrů krát 37,50 metrů, což poskytuje mechanickou výhodu

takže tahová síla 100 lb na kabel zvedne zatížení 4810 lb. Sklon tohoto sklonu je 2%, což znamená, že úhel θ je dostatečně malý, aby sinθ = tanθ.

Viz také

Reference

  1. ^ A b Cole, Matthew (2005). Prozkoumejte vědu, 2. vyd. Pearson Education. str. 178. ISBN  978-981-06-2002-8.
  2. ^ Kolegiátní slovník Merriam-Webster, 11. vydání. Merriam-Webster. 2003. str.629. ISBN  978-0-87779-809-5. slovník definice nakloněné roviny.
  3. ^ A b C d „Nakloněná rovina“. Matematické a vědecké centrum činnosti. Edinformatika. 1999. Citováno 11. března 2012.
  4. ^ A b C Silverman, Buffy (2009). Simple Machines: Forces in Action, 4. vydání. USA: Heinemann-Raintree Classroom. str. 7. ISBN  978-1-4329-2317-4.
  5. ^ A b C Ortleb, Edward P .; Richard Cadice (1993). Stroje a práce. Lorenz Educational Press. str. iv. ISBN  978-1-55863-060-4.
  6. ^ A b Reilly, Travis (24. listopadu 2011). „Lekce 04: Posuňte se doprava pomocí nakloněné roviny“. Teach Engineering. College of Engineering, Univ. Colorada v Boulderu. Archivovány od originál 8. května 2012. Citováno 8. září 2012.
  7. ^ Scott, John S. (1993). Slovník stavebního inženýrství. Chapman & Hill. str. 14. ISBN  978-0-412-98421-1. úhel tření [mech.] při studiu těles klouzajících po rovných plochách úhel mezi kolmicí na povrch a výslednou silou (mezi tělem a povrchem), když tělo začne klouzat. úhel odpočinku [s.m.] pro jakýkoli daný zrnitý materiál nejstrmější úhel k horizontále, ve kterém bude za stanovených podmínek stát vrchovatý povrch.
  8. ^ A b C d Ambekar, A. G. (2007). Mechanismus a teorie strojů. Učení PHI. str. 446. ISBN  978-81-203-3134-1. Úhel odpočinku je mezní úhel sklonu roviny, když těleso umístěné na nakloněné rovině právě začíná klouzat dolů rovinou.
  9. ^ Rosen, Joe; Lisa Quinn Gothard (2009). Encyclopedia of Physical Science, svazek 1. Publikování na Infobase. str. 375. ISBN  978-0-8160-7011-4.
  10. ^ A b C Koetsier, Teun (2010). „Simon Stevin a vzestup archimédovské mechaniky v renesanci“. Génius Archimedův - 23 století vlivu na matematiku, vědu a techniku: sborník z mezinárodní konference konané v italských Syrakusách, 8. – 10. Června 2010. Springer. str. 94–99. ISBN  978-90-481-9090-4.
  11. ^ Devreese, Jozef T .; Guido Vanden Berghe (2008). „Magic is no magic“: Báječný svět Simona Stevina. WIT Stiskněte. 136–139. ISBN  978-1-84564-391-1.
  12. ^ A b Feynman, Richard P .; Robert B. Leighton; Matthew Sands (1963). Feynmanovy přednášky z fyziky, sv. Já. USA: California Inst. technologie. 4,4–4,5. ISBN  978-0-465-02493-3.
  13. ^ EJ Dijksterhuis: Simon Stevin 1943
  14. ^ Therese McGuire, Světlo na posvátných kamenech, v Conn, Marie A .; Therese Benedict McGuire (2007). Není vyrytý do kamene: eseje o rituální paměti, duši a společnosti. University Press of America. str. 23. ISBN  978-0-7618-3702-2.
  15. ^ Dutch, Steven (1999). „Předřecká úspěchy“. Dědictví starověkého světa. Stránka prof. Steva Dutch, Univ. Wisconsinu v Green Bay. Citováno 13. března 2012.
  16. ^ Moffett, Marian; Michael W. Fazio; Lawrence Wodehouse (2003). Světová historie architektury. Laurence King Publishing. str. 9. ISBN  978-1-85669-371-4.
  17. ^ Peet, T. Eric (2006). Drsné kamenné pomníky a jejich stavitelé. Echo Library. str. 11–12. ISBN  978-1-4068-2203-8.
  18. ^ Thomas, Burke (2005). "Transport a nakloněná rovina". Stavba pyramid v Gíze. world-mysteries.com. Citováno 10. března 2012.
  19. ^ Isler, Martin (2001). Hole, kameny a stíny: budování egyptských pyramid. USA: University of Oklahoma Press. str.211 –216. ISBN  978-0-8061-3342-3.
  20. ^ Sprague de Camp, L. (1990). Starověcí inženýři. USA: Barnes & Noble. str. 43. ISBN  978-0-88029-456-0.
  21. ^ A b Karl von Langsdorf (1826) Machinenkunde, citováno v Reuleaux, Franz (1876). Kinematika strojů: Nástin teorie strojů. MacMillan. str.604.
  22. ^ například seznamy jednoduchých strojů, které zanechal římský architekt Vitruvius (asi 80 - 15 př. n. l.) a řecký filozof Volavka Alexandrijská (c. 10 - 70 nl) se skládá z pěti klasických jednoduchých strojů, s výjimkou nakloněné roviny. - Smith, William (1848). Slovník řeckých a římských starožitností. Londýn: Walton a Maberly; John Murray. str. 722., Usher, Abbott Payson (1988). Historie mechanických vynálezů. USA: Publikace Courier Dover. 98, 120. ISBN  978-0-486-25593-4.
  23. ^ Heath, Thomas Malý (1921). Dějiny řecké matematiky, sv. 2. UK: The Clarendon Press. str.349, 433–434.
  24. ^ A b C Egidio Festa a Sophie Roux, Záhada nakloněné roviny v Laird, Walter Roy; Sophie Roux (2008). Mechanika a přírodní filozofie před vědeckou revolucí. USA: Springer. str. 195–221. ISBN  978-1-4020-5966-7.
  25. ^ A b Meli, Domenico Bertoloni (2006). Myšlení s objekty: Transformace mechaniky v sedmnáctém století. JHU Stiskněte. str. 35–39. ISBN  978-0-8018-8426-9.
  26. ^ A b Boyer, Carl B .; Uta C. Merzbach (2010). Dějiny matematiky, 3. vyd. John Wiley and Sons. ISBN  978-0-470-63056-3.
  27. ^ Usher, Abbott Payson (1988). Historie mechanických vynálezů. Publikace Courier Dover. str. 106. ISBN  978-0-486-25593-4.
  28. ^ Machamer, Peter K. (1998). Cambridge společník Galileo. London: Cambridge University Press. 47–48. ISBN  978-0-521-58841-6.
  29. ^ A b Armstrong-Hélouvry, Brian (1991). Řízení strojů s třením. USA: Springer. str. 10. ISBN  978-0-7923-9133-3.
  30. ^ Meyer, Ernst (2002). Nanověda: tření a reologie v měřítku nanometrů. World Scientific. str. 7. ISBN  978-981-238-062-3.
  31. ^ A b Handley, Brett; David M. Marshall; Craig Coon (2011). Principy inženýrství. Cengage Learning. 71–73. ISBN  978-1-4354-2836-2.
  32. ^ Dennis, Johnnie T. (2003). The Complete Idiot's Guide to Physics. Tučňák. str. 116–117. ISBN  978-1-59257-081-2.
  33. ^ Nave, Carl R. (2010). „Sklon“. Hyperfyzika. Ústav fyziky a astronomie, Georgia State Univ. Citováno 8. září 2012.
  34. ^ A b Martin, Lori (2010). „Lab Mech14: The Inclined Plane - A Simple Machine“ (PDF). Věda v pohybu. Westminster College. Citováno 8. září 2012.
  35. ^ Pearson (2009). Fyzikální třída 10 - IIT Foundation Series. Nové Dillí: Pearson Education India. str. 69. ISBN  978-81-317-2843-7.
  36. ^ A b Bansal, R. K. (2005). Inženýrská mechanika a pevnost materiálů. Publikace Laxmi. str. 165–167. ISBN  978-81-7008-094-7.
  37. ^ A b Z toho se odvozují o něco obecnější rovnice, které pokrývají sílu působící v libovolném úhlu: Gujral, I.S. (2008). Inženýrská mechanika. Brána firewall. str. 275–277. ISBN  978-81-318-0295-3.

externí odkazy