Aktivní a pasivní transformace - Active and passive transformation

V aktivní transformaci (vlevo) se bod pohybuje z polohy P do P 'otáčením ve směru hodinových ručiček o úhel θ kolem počátku souřadného systému. V pasivní transformaci (vpravo) se bod P nepohybuje, zatímco souřadný systém se otáčí proti směru hodinových ručiček o úhel θ kolem svého počátku. Souřadnice P 'v aktivním případě (tj. Vzhledem k původnímu souřadnicovému systému) jsou stejné jako souřadnice P vzhledem k otočenému souřadnicovému systému.

v analytická geometrie, prostorové transformace v trojrozměrném euklidovském prostoru ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ jsou rozlišeny do aktivní nebo alibistické transformace, a pasivní nebo aliasové transformace. An aktivní transformace^[1] je proměna která ve skutečnosti mění fyzickou polohu (alibi, jinde) bodu, nebo tuhé tělo, které lze definovat při absenci a souřadnicový systém; zatímco a pasivní transformace^[2] je pouze změna v souřadnicovém systému, ve kterém je objekt popsán (alias, jiné jméno) (změna mapy souřadnic, nebo změna základny ). Podle proměna, matematici obvykle odkazují na aktivní transformace, zatímco fyzici a inženýři může znamenat buď. Oba typy transformace lze reprezentovat kombinací a překlad a a lineární transformace.

Jinak řečeno, a pasivní transformace odkazuje na popis stejný objekt ve dvou různých souřadnicových systémech.^[3]Na druhou stranu, aktivní transformace je transformace jednoho nebo více objektů s ohledem na stejný souřadný systém. Například aktivní transformace jsou užitečné k popisu postupných poloh tuhého těla. Na druhou stranu mohou být pasivní transformace užitečné v analýze pohybu člověka ke sledování pohybu holenní kost ve vztahu k stehenní kost, tj. jeho pohyb vzhledem k (místní) souřadnicový systém, který se pohybuje společně se stehenní kostí, nikoli a (globální) souřadnicový systém, který je připevněn k podlaze.^[3]

Příklad

Rotace považována za pasivní (alias) nebo aktivní (alibi) proměna

Překlad a rotace jako pasivní (alias) nebo aktivní (alibi) transformace

Jako příklad nechte vektor ${ displaystyle mathbf {v} = (v_ {1}, v_ {2}) in mathbb {R} ^ {2}}$ , být vektorem v rovině. Rotace vektoru o úhel θ proti směru hodinových ručiček je dána vztahem rotační matice:

{ displaystyle R = { begin {pmatrix} cos theta & - sin theta sin theta & cos theta end {pmatrix}},}

které lze zobrazit buď jako aktivní transformace nebo a pasivní transformace (kde bude výše uvedená matice obrácena), jak je popsáno níže.

Prostorové transformace v euklidovském prostoru ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$

Obecně platí, že prostorová transformace ${ displaystyle T colon mathbb {R} ^ {3} to mathbb {R} ^ {3}}$ může sestávat z překladu a lineární transformace. V následujícím textu bude překlad vynechán a lineární transformace bude představována maticí 3 × 3 ${ displaystyle T}$ .

Aktivní transformace

Jako aktivní transformace ${ displaystyle T}$ transformuje počáteční vektor ${ displaystyle mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}$ do nového vektoru ${ displaystyle mathbf {v} '= (v' _ {x}, v '_ {y}, v' _ {z}) = T mathbf {v} = T (v_ {x}, v_ {y }, v_ {z})}$ .

Pokud jeden pohledy ${ displaystyle { mathbf {e} '_ {x} = T (1,0,0), mathbf {e}' _ {y} = T (0,1,0), mathbf { e} '_ {z} = T (0,0,1) }}$ jako nový základ pak souřadnice nového vektoru ${ displaystyle mathbf {v} '= v_ {x} mathbf {e}' _ {x} + v_ {y} mathbf {e} '_ {y} + v_ {z} mathbf {e}' _ {z}}$ v novém základě jsou stejné jako u ${ displaystyle mathbf {v} = v_ {x} mathbf {e} _ {x} + v_ {y} mathbf {e} _ {y} + v_ {z} mathbf {e} _ {z} }$ v původním základě. Upozorňujeme, že aktivní transformace mají smysl i jako lineární transformace do jiného vektorového prostoru. Má smysl psát nový vektor v základním nátěru (jak je uvedeno výše), pouze když je transformace z prostoru do sebe.

Pasivní transformace

Na druhou stranu, když jeden vidí ${ displaystyle T}$ jako pasivní transformace počáteční vektor ${ displaystyle mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}$ je ponecháno beze změny, zatímco souřadný systém a jeho základní vektory jsou transformovány v opačném směru, tj. s inverzní transformací ${ displaystyle T ^ {- 1}}$ .^[4] To dává nový souřadný systém XYZ se základními vektory:

{ displaystyle mathbf {e} _ {X} = T ^ {- 1} (1,0,0), mathbf {e} _ {Y} = T ^ {- 1} (0,1,0 ), mathbf {e} _ {Z} = T ^ {- 1} (0,0,1)}

Nové souřadnice ${ displaystyle (v_ {X}, v_ {Y}, v_ {Z})}$ z ${ displaystyle mathbf {v}}$ s ohledem na nový souřadnicový systém XYZ jsou dány:

{ displaystyle mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) = v_ {X} e_ {X} + v_ {Y} e_ {Y} + v_ {Z} e_ { Z} = T ^ {- 1} (v_ {X}, v_ {Y}, v_ {Z})}

.

Z této rovnice je vidět, že nové souřadnice jsou dány

{ displaystyle (v_ {X}, v_ {Y}, v_ {Z}) = T (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}

.

Jako pasivní transformace ${ displaystyle T}$ transformuje staré souřadnice na nové.

Všimněte si ekvivalence mezi dvěma druhy transformací: souřadnice nového bodu v aktivní transformaci a nové souřadnice bodu v pasivní transformaci jsou stejné, jmenovitě

{ displaystyle (v_ {X}, v_ {Y}, v_ {Z}) = (v '_ {x}, v' _ {y}, v '_ {z})}

.

Viz také

Reference

^ Weisstein, Eric W. "Transformace Alibi." From MathWorld - A Wolfram Web Resource.
^ Weisstein, Eric W. "Alias Transformation." From MathWorld - A Wolfram Web Resource.
^ ^A ^b Joseph K.Davidson, Kenneth Henderson Hunt (2004). „§4.4.1 Aktivní interpretace a aktivní transformace“. Teorie robotů a šroubů: aplikace kinematiky a statiky v robotice. Oxford University Press. str. 74 ff. ISBN 0-19-856245-4.
^ Amidror, Isaac (2007). „Dodatek D: Poznámka D.12“. Teorie fenoménu Moiré: Aperiodické vrstvy. Springer. str. 346. ISBN 978-1-4020-5457-0.

Dirk Struik (1953) Přednášky o analytické a projektivní geometrii, strana 84, Addison-Wesley.

externí odkazy

Nejednoznačnost uživatelského rozhraní

[1] Weisstein, Eric W. "Transformace Alibi." From MathWorld - A Wolfram Web Resource.

[2] Weisstein, Eric W. "Alias Transformation." From MathWorld - A Wolfram Web Resource.

[Davidson-3] A ^b Joseph K.Davidson, Kenneth Henderson Hunt (2004). „§4.4.1 Aktivní interpretace a aktivní transformace“. Teorie robotů a šroubů: aplikace kinematiky a statiky v robotice. Oxford University Press. str. 74 ff. ISBN 0-19-856245-4.

[Amidror-4] Amidror, Isaac (2007). „Dodatek D: Poznámka D.12“. Teorie fenoménu Moiré: Aperiodické vrstvy. Springer. str. 346. ISBN 978-1-4020-5457-0.

[1]

[2]

[3]

[4]