Řešení rovnic - Equation solving

{ displaystyle { overset {} { underset {} {x = { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}}}}

The kvadratický vzorec, symbolické řešení kvadratická rovnice

sekera 2 + bx + C =0

Příklad použití Newton – Raphsonova metoda numericky vyřešit rovnici

F (X) = 0

v matematika, do vyřešit rovnici je najít jeho řešení, což jsou hodnoty (čísla, funkce, sady atd.), které splňují podmínku uvedenou v rovnice, skládající se obecně ze dvou výrazy související s znaménko rovná se. Při hledání řešení jeden nebo více proměnné jsou označeny jako neznámé. Řešením je přiřazení hodnot neznámým proměnným, díky nimž je rovnost v rovnici pravdivá. Jinými slovy, řešením je hodnota nebo kolekce hodnot (jedna pro každou neznámou) taková, že když nahrazeno pro neznámé se rovnice změní na rovnost Řešení rovnice se často nazývá a vykořenit rovnice, zejména ale nejen pro polynomiální rovnice. Soubor všech řešení rovnice je jeho sada řešení.

Rovnici lze vyřešit buď numericky nebo symbolicky. Řešení rovnice numericky znamená, že jako řešení jsou přijímána pouze čísla. Řešení rovnice symbolicky znamená, že pro vyjádření řešení lze použít výrazy.

Například rovnice $X + y = 2 X - 1$ je řešen pro neznámé $X$ výrazem $X = y + 1$ , protože střídání $y + 1$ pro $X$ v rovnici vyústí v $(y + 1) + y = 2(y + 1) - 1$ , pravdivé tvrzení. Je také možné vzít proměnnou $y$ být neznámý, a pak je rovnice vyřešena $y = X - 1$ . Nebo $X$ a $y$ lze s nimi zacházet jako s neznámými, a pak existuje mnoho řešení rovnice; symbolické řešení je $(X, y) = (A + 1, A)$ , kde proměnná $A$ může mít jakoukoli hodnotu. Vytvoření instance symbolického řešení s konkrétními čísly vždy poskytuje numerické řešení; například, $A = 0$ dává $(X, y) = (1, 0)$ (to znamená, $X = 1, y = 0$ ), a $A = 1$ dává $(X, y) = (2, 1)$ .

Rozdíl mezi známými proměnnými a neznámými proměnnými se obecně provádí ve výroku o problému pomocí frází jako „rovnice v $X$ a $y$ „nebo“ vyřešit pro $X$ a $y$ ", které označují neznámé, zde $X$ a $y$ Je však běžné si je rezervovat $X$ , $y$ , $z$ , ... označit neznámé a použít $A$ , $b$ , $C$ , ... k označení známých proměnných, které se často nazývají parametry. To je obvykle případ při zvažování polynomiální rovnice, jako kvadratické rovnice. U některých problémů však všechny proměnné mohou převzít jakoukoli roli.

V závislosti na kontextu může řešení rovnice spočívat v nalezení jakéhokoli řešení (stačí najít jediné řešení), všech řešení nebo řešení, které splňuje další vlastnosti, jako je příslušnost k danému interval. Když je úkolem najít řešení, které je nejlepší podle nějakého kritéria je to optimalizační problém. Řešení problému s optimalizací se obecně neuvádí jako „řešení rovnice“, protože metody řešení obecně vycházejí z konkrétního řešení pro nalezení lepšího řešení a opakování procesu až do nalezení nakonec nejlepšího řešení.

Přehled

Jedna obecná forma rovnice je

{ displaystyle f left (x_ {1}, dots, x_ {n} right) = c,}

kde $F$ je funkce, $X 1, ..., X n$ jsou neznámí a $C$ je konstanta. Jeho řešení jsou prvky inverzní obraz

{ displaystyle f ^ {- 1} (c) = { bigl {} (a_ {1}, dots, a_ {n}) in D mid f left (a_ {1}, dots, a_ {n} vpravo) = c { bigr }},}

kde $D$ je doména funkce $F$ . Soubor řešení může být prázdná sada (neexistují žádná řešení), a jedináček (existuje právě jedno řešení), konečné nebo nekonečné (řešení je nekonečně mnoho).

Například rovnice jako

{ displaystyle 3x + 2y = 21z,}

s neznámými $X, y$ a $z$ , lze vložit do výše uvedené formy odečtením $21 z$ z obou stran rovnice získat

{ displaystyle 3x + 2y-21z = 0}

V tomto konkrétním případě to není jen jeden řešení, ale nekonečná sada řešení, která lze zapsat pomocí nastavit stavitelskou notaci,

{ displaystyle { bigl {} (x, y, z) mid 3x + 2y-21z = 0 { bigr }}.}

Jedno konkrétní řešení je $X = 0, y = 0, z = 0$ . Dvě další řešení jsou $X = 3, y = 6, z = 1$ , a $X = 8, y = 9, z = 2$ . Existuje jedinečný letadlo v trojrozměrný prostor, který s nimi prochází třemi body souřadnice, a tato rovina je množina všech bodů, jejichž souřadnice jsou řešením rovnice.

Sady řešení

Sada řešení rovnice

X 2 / 4 + y 2 = 1

tvoří elipsa když je interpretován jako sada Kartézská souřadnice páry.

The sada řešení dané sady rovnic nebo nerovností je soubor ze všech jejích řešení, přičemž řešení je a n-tice hodnot, pro každou jednu neznámý, který splňuje všechny rovnice nebo nerovnosti sada řešení je prázdné, pak neexistují žádné hodnoty neznámých, které by uspokojily současně všechny rovnice a nerovnosti.

Pro jednoduchý příklad zvažte rovnici

{ displaystyle x ^ {2} = 2.}

Tuto rovnici lze chápat jako a Diophantine rovnice, tj. rovnice, pro kterou pouze celé číslo hledají se řešení. V tomto případě je sada řešení prázdná sada, protože 2 není čtverec celého čísla. Pokud však někdo hledá nemovitý řešení, existují dvě řešení, $\sqrt 2$ a $- \sqrt 2$ ; jinými slovy, sada řešení je ${\sqrt 2, - \sqrt 2}$ .

Když rovnice obsahuje několik neznámých a když má několik rovnic s více neznámými než rovnic, je množina řešení často nekonečná. V takovém případě nelze uvést řešení. Za jejich zastupování parametrizace je často užitečné, což spočívá ve vyjádření řešení z hlediska neznámých nebo pomocných proměnných. To je vždy možné, když jsou všechny rovnice lineární.

Takové nekonečné sady řešení lze přirozeně interpretovat jako geometrický tvary jako řádky, křivky (viz obrázek), letadla a obecněji algebraické odrůdy nebo rozdělovače. Zejména, algebraická geometrie lze chápat jako studium sad řešení algebraické rovnice.

Metody řešení

Metody řešení rovnic obecně závisí na typu rovnice, jak na druhu výrazů v rovnici, tak na druhu hodnot, které mohou předpokládat neznámé. Rozmanitost typů rovnic je velká a stejně tak i odpovídající metody. Níže je uvedeno pouze několik konkrétních typů.

Obecně platí, že vzhledem k třídě rovnic nemusí existovat žádná známá systematická metoda (algoritmus ), který je zaručeně funkční. Může to být způsobeno nedostatkem matematických znalostí; některé problémy byly vyřešeny až po staletí úsilí. To ale také odráží, že obecně žádná taková metoda nemůže existovat: je známo, že existují některé problémy neřešitelný algoritmem, jako je Hilbertův desátý problém, který se v roce 1970 ukázal jako neřešitelný.

Pro několik tříd rovnic byly nalezeny algoritmy pro jejich řešení, z nichž některé byly implementovány a začleněny do systémy počítačové algebry, ale často nevyžadují sofistikovanější technologii než tužka a papír. V některých dalších případech heuristický jsou známy metody, které jsou často úspěšné, ale není zaručeno, že povedou k úspěchu.

Hrubá síla, pokus a omyl, inspirovaný odhad

Pokud je množina řešení rovnice omezena na konečnou množinu (jako je tomu u rovnic v modulární aritmetika, například), nebo mohou být omezeny na konečný počet možností (jako je tomu u některých Diophantine rovnice ), sadu řešení najdete na hrubou silou, tj. Testováním každé z možných hodnot (kandidátní řešení ). Může se však stát, že počet možností, které je třeba zvážit, i když jsou konečné, je tak obrovský, že vyčerpávající vyhledávání není prakticky proveditelné; to je ve skutečnosti požadavek na silný šifrování metody.

Stejně jako u všech druhů řešení problému, pokus omyl může někdy přinést řešení, zejména tam, kde forma rovnice nebo její podobnost s jinou rovnicí se známým řešením může vést k „inspirovanému odhadu“ řešení. Pokud odhad, když bude testován, nebude řešením, zvážení způsobu, jakým selže, může vést k pozměněnému odhadu.

Elementární algebra

Rovnice zahrnující lineární nebo jednoduché racionální funkce jedné neznámé reálné hodnoty, řekněme $X$ , jako

{ displaystyle 8x + 7 = 4x + 35 quad { text {nebo}} quad { frac {4x + 9} {3x + 4}} = 2 ,,}

lze vyřešit pomocí metod elementární algebra.

Soustavy lineárních rovnic

Menší soustavy lineárních rovnic lze také vyřešit metodami elementární algebry. Pro řešení větších systémů se používají algoritmy založené na lineární algebra.

Polynomiální rovnice

Polynomiální rovnice stupně až čtyři lze přesně vyřešit pomocí algebraických metod, z nichž kvadratický vzorec je nejjednodušší příklad. Polynomiální rovnice se stupněm pěti nebo vyšším vyžadují obecné numerické metody (viz níže) nebo speciální funkce jako např Přineste radikály, i když některé konkrétní případy mohou být řešitelné například algebraicky

{ displaystyle 4x ^ {5} -x ^ {3} -3 = 0}

(pomocí racionální kořenová věta ), a

{ displaystyle x ^ {6} -5x ^ {3} + 6 = 0 ,,}

(pomocí substituce $X = z 1 ⁄ 3$ , což zjednodušuje toto na a kvadratická rovnice v $z$ ).

Diophantine rovnice

v Diophantine rovnice řešení musí být celá čísla. V některých případech lze použít přístup hrubou silou, jak je uvedeno výše. V některých dalších případech, zejména pokud je rovnice v jedné neznámé, je možné rovnici vyřešit pro Racionální -hodnocené neznámé (viz Racionální kořenová věta ), a poté najděte řešení diofantické rovnice omezením množiny řešení na celočíselná řešení. Například polynomiální rovnice

{ displaystyle 2x ^ {5} -5x ^ {4} -x ^ {3} -7x ^ {2} + 2x + 3 = 0 ,}

má jako racionální řešení $X = - 1 / 2$ a $X = 3$ , a proto, pohlíženo jako na diofantickou rovnici, má jedinečné řešení $X = 3$ .

Obecně však diofantické rovnice patří k nejobtížněji řešitelným rovnicím.

Inverzní funkce

V jednoduchém případě funkce jedné proměnné řekněme $h (X)$ můžeme vyřešit rovnici tvaru $h (X) = C$ pro nějakou konstantu $C$ zvážením toho, co je známé jako inverzní funkce z $h$ .

Vzhledem k funkci $h : A \to B$ , inverzní funkce, označená $h -1$ a definováno jako $h -1 : B \to A$ , je funkce taková, že

{ displaystyle h ^ {- 1} { bigl (} h (x) { bigr)} = h { bigl (} h ^ {- 1} (x) { bigr)} = x ,.}

Nyní, použijeme-li inverzní funkci na obě strany $h (X) = C$ , kde $C$ je konstantní hodnota v $B$ , získáváme

{ displaystyle { begin {zarovnané} h ^ {- 1} { bigl (} h (x) { bigr)} & = h ^ {- 1} (c) x & = h ^ {- 1} (c) end {zarovnáno}}}

a našli jsme řešení rovnice. V závislosti na funkci však může být obtížné definovat inverzní funkci nebo nemusí být funkcí na celé množině $B$ (pouze u některé podmnožiny) a v určitém okamžiku mají mnoho hodnot.

Pokud to udělá jen jedno řešení, místo úplné sady řešení stačí, když bude funkční identita

{ displaystyle h left (h ^ {- 1} (x) right) = x}

drží. Například projekce $π 1 : R 2 \to R$ definován $π 1 (X, y) = X$ nemá post-inverzi, ale má pre-inverzi $π -1 1$ definován $π -1 1 (X) = (X, 0)$ . Opravdu, rovnice $π 1 (X, y) = C$ řeší

{ displaystyle (x, y) = pi _ {1} ^ {- 1} (c) = (c, 0).}

Mezi příklady inverzních funkcí patří $n$ th kořen (inverzní k $X n$ ); the logaritmus (inverzní k $A X$ ); the inverzní trigonometrické funkce; a Lambertova $Ž$ funkce (inverzní k $xe X$ ).

Faktorizace

Pokud je výraz na levé straně rovnice $P = 0$ může být faktorizovaný tak jako $P = QR$ , množina řešení původního řešení sestává ze sjednocení množin řešení dvou rovnic $Q = 0$ a $R = 0$ Například rovnice

{ displaystyle tan x + postýlka x = 2}

lze přepsat pomocí identity $opálení X dětská postýlka X = 1$ tak jako

{ displaystyle { frac { tan ^ {2} x-2 tan x + 1} { tan x}} = 0,}

na které lze faktorizovat

{ displaystyle { frac { left ( tan x-1 right) ^ {2}} { tan x}} = 0.}

Řešení jsou tedy řešením rovnice $opálení X = 1$ , a jsou tedy množinou

{ displaystyle x = { tfrac { pi} {4}} + k pi, quad k = 0, pm 1, pm 2, ldots.}

Numerické metody

S komplikovanějšími rovnicemi v reálném nebo komplexní čísla, jednoduché metody řešení rovnic mohou selhat. Často, algoritmy hledání kořenů jako Newton – Raphsonova metoda lze použít k nalezení numerického řešení rovnice, které pro některé aplikace může zcela postačovat k vyřešení nějakého problému.

Maticové rovnice

Rovnice zahrnující matice a vektory z reálná čísla lze často vyřešit pomocí metod z lineární algebra.

Diferenciální rovnice

Existuje obrovské množství metod pro řešení různých druhů diferenciální rovnice, oba numericky a analyticky. Zvláštní třídou problému, kterou lze považovat za součást tohoto problému, je integrace a analytické metody pro řešení tohoto druhu problémů jsou nyní nazývány symbolická integrace.^{[Citace je zapotřebí ]} Řešení diferenciálních rovnic může být implicitní nebo explicitní.^[1]

Viz také

Vnější a chybějící řešení
Simultánní rovnice
Rovnací koeficienty
Řešení geodetických rovnic
Sjednocení (informatika) - řešení rovnic zahrnujících symbolické výrazy

Reference

^ Dennis G. Zill (15. března 2012). První kurz diferenciálních rovnic s modelováním aplikací. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.

[Zill2012-1] Dennis G. Zill (15. března 2012). První kurz diferenciálních rovnic s modelováním aplikací. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.

[1]