Čtyři rychlosti - Four-velocity

v fyzika, zejména v speciální relativita a obecná relativita, a čtyřrychlostní je čtyři-vektor ve čtyřrozměrném vesmírný čas^{[pozn. 1]} což představuje relativistický protějšek rychlost, což je trojrozměrný vektor ve vesmíru.

Fyzický Události odpovídají matematickým bodům v čase a prostoru, soubor všech dohromady tvoří matematický model fyzického čtyřrozměrného časoprostoru. Historie objektu sleduje křivku v časoprostoru, která se nazývá jeho světová linie. Pokud objekt má Hmotnost, takže jeho rychlost je nutně nižší než rychlost světla, světová hranice může být parametrizováno podle správný čas objektu. Čtyřrychlost je rychlost změny čtyři pozice s ohledem na správný čas podél křivky. Rychlost, na rozdíl od toho, je rychlost změny polohy v (trojrozměrném) prostoru objektu, jak je vidět pozorovatelem, s ohledem na čas pozorovatele.

Hodnota velikost čtyřrychlosti objektu, tj. množství získané aplikací metrický tenzor G na čtyřrychlost U, to je ||U||² = U ⋅ U = G_μνU^νU^μ, se vždy rovná ±C², kde C je rychlost světla. Zda se použije znaménko plus nebo minus závisí na výběru metrický podpis. U klidového objektu je jeho čtyřrychlost rovnoběžná se směrem časové souřadnice s U⁰ = C. Čtyřrychlost je tedy normalizovaný na budoucnost zaměřený časově podobný tečný vektor k světové linii a je a kontravariantní vektor. Ačkoli se jedná o vektor, přidání dvou čtyř rychlostí nepřináší rychlost čtyř: prostor čtyř rychlostí není sám o sobě vektorový prostor.^{[pozn. 2]}

Rychlost

Dráhu objektu v trojrozměrném prostoru (v setrvačném rámci) lze vyjádřit pomocí tří prostorových souřadnicových funkcí Xⁱ(t) času t, kde i je index který nabývá hodnot 1, 2, 3.

Tři souřadnice tvoří 3d vektor polohy, psáno jako vektor sloupce

${ displaystyle { vec {x}} (t) = { begin {bmatrix} x ^ {1} (t) x ^ {2} (t) x ^ {3} (t) end {bmatrix}} ,.}$

Složky rychlosti ${ displaystyle { vec {u}}}$ (tangens to the curve) at any point on the world line are

${ displaystyle { vec {u}} = { begin {bmatrix} u ^ {1} u ^ {2} u ^ {3} end {bmatrix}} = {d { vec {x }} over dt} = { begin {bmatrix} { tfrac {dx ^ {1}} {dt}} { tfrac {dx ^ {2}} {dt}} { tfrac {dx ^ {3}} {dt}} end {bmatrix}}.}$

Každá složka je jednoduše napsána

${ displaystyle u ^ {i} = {dx ^ {i} přes dt}}$

Teorie relativity

U Einsteina teorie relativity, je cesta objektu pohybujícího se vzhledem ke konkrétnímu referenčnímu rámci definována čtyřmi souřadnicovými funkcemi X^μ(τ), kde μ je index časoprostoru, který má hodnotu 0 pro časově podobnou složku, a 1, 2, 3 pro vesmírné souřadnice. Nultá složka je definována jako časová souřadnice vynásobená C,

${ displaystyle x ^ {0} = ct ,,}$

Každá funkce závisí na jednom parametru τ volal jeho správný čas. Jako vektor sloupce

${ displaystyle mathbf {x} = { begin {bmatrix} x ^ {0} ( tau) x ^ {1} ( tau) x ^ {2} ( tau) x ^ {3} ( tau) end {bmatrix}} ,.}$

Dilatace času

Z dilatace času, diferenciály v souřadnicový čas t a správný čas τ jsou ve vztahu

${ displaystyle dt = gamma (u) d tau}$

Kde Lorentzův faktor,

${ displaystyle gamma (u) = { frac {1} { sqrt {1 - { frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} ,,}$

je funkcí Euklidovská norma u 3d vektoru rychlosti ${ displaystyle { vec {u}}}$:

${ displaystyle u = || { vec {u}} || = { sqrt {(u ^ {1}) ^ {2} + (u ^ {2}) ^ {2} + (u ^ {3}) ^ {2}}} ,.}$

Definice čtyřrychlosti

Čtyřrychlost je tečný čtyři vektor vektoru a podobný světová linie Čtyři rychlosti ${ displaystyle mathbf {U}}$ v kterémkoli bodě světové linie ${ displaystyle mathbf {X} ( tau)}$ je definován jako:

${ displaystyle mathbf {U} = { frac {d mathbf {X}} {d tau}}}$

kde ${ displaystyle mathbf {X}}$ je čtyři pozice a ${ displaystyle tau}$ je správný čas.^[1]

Čtyřrychlost zde definovaná pomocí správného času objektu neexistuje pro světové linie pro nehmotné objekty, jako jsou fotony pohybující se rychlostí světla; ani není definován pro tachyonic světové čáry, kde je tečný vektor vesmírný.

Složky čtyřrychlosti

Vztah mezi časem t a čas souřadnic X⁰ je definováno

${ displaystyle x ^ {0} = ct.}$

Vezmeme-li z toho derivát s ohledem na správný čas τ, najdeme U^μ složka rychlosti pro μ = 0:

${ displaystyle U ^ {0} = { frac {dx ^ {0}} {d tau}} = { frac {d (ct)} {d tau}} = c { frac {dt} { d tau}} = c gamma (u)}$

a pro další 3 komponenty ve správný čas dostaneme U^μ složka rychlosti pro μ = 1, 2, 3:

${ displaystyle U ^ {i} = { frac {dx ^ {i}} {d tau}} = { frac {dx ^ {i}} {dt}} { frac {dt} {d tau }} = { frac {dx ^ {i}} {dt}} gamma (u) = gamma (u) u ^ {i}}$

kde jsme použili řetězové pravidlo a vztahy

${ displaystyle u ^ {i} = {dx ^ {i} over dt} ,, quad { frac {dt} {d tau}} = gamma (u)}$

Takže najdeme pro čtyřrychlost ${ displaystyle mathbf {U}}$:

${ displaystyle mathbf {U} = gamma { begin {bmatrix} c { vec {u}} konec {bmatrix}}.}$

Napsáno standardní notací se čtyřmi vektory je toto:

${ displaystyle mathbf {U} = gamma (c, { vec {u}}) = ( gamma c, gamma { vec {u}})}$

kde ${ displaystyle gamma c}$ je časová složka a ${ displaystyle gamma { vec {u}}}$ je prostorová složka.

Pokud jde o synchronizované hodiny a pravítka spojená s konkrétním řezem plochého časoprostoru, definují tři vesmírné složky čtyř rychlostí pohybující se objekt správná rychlost ${ displaystyle gamma { vec {u}} = d { vec {x}} / d tau}$ tj. rychlost, kterou je vzdálenost překonána v rámci referenční mapy na jednotku správný čas uplynulo na hodinách cestování s objektem.

Na rozdíl od většiny ostatních čtyř vektorů má čtyřrychlost pouze 3 nezávislé komponenty ${ displaystyle u_ {x}, u_ {y}, u_ {z}}$ místo 4. The ${ displaystyle gamma}$ faktor je funkcí trojrozměrné rychlosti ${ displaystyle { vec {u}}}$.

Když jsou určité Lorentzovy skaláry vynásobeny čtyřrychlostí, získá jeden nový fyzický čtyři vektory, které mají 4 nezávislé komponenty. Například:

Čtyři momenty: ${ displaystyle mathbf {P} = m_ {o} mathbf {U} = gamma m_ {o} (c, { vec {u}}) = m (c, { vec {u}}) = (mc, m { vec {u}}) = (mc, { vec {p}}) = doleva ({ frac {E} {c}}, { vec {p}} doprava)}$, kde ${ displaystyle m_ {o}}$ je hmota

Čtyřproudová hustota: ${ displaystyle mathbf {J} = rho _ {o} mathbf {U} = gamma rho _ {o} (c, { vec {u}}) = rho (c, { vec { u}}) = ( rho c, rho { vec {u}}) = ( rho c, { vec {j}})}$, kde ${ displaystyle rho _ {o}}$ je hustota náboje

Účinně ${ displaystyle gamma}$ faktor se spojí s Lorentzovým skalárním členem a vytvoří 4. nezávislou složku

${ displaystyle m = gamma m_ {o}}$ a ${ displaystyle rho = gama rho _ {o}}$

Velikost

Pomocí rozdílu čtyř poloh lze získat velikost čtyřrychlosti:

${ displaystyle | mathbf {U} | ^ {2} = g _ { mu nu} U ^ { mu} U ^ { nu} = g _ { mu nu} { frac {dX ^ { mu}} {d tau}} { frac {dX ^ { nu}} {d tau}} = { frac {g _ { mu nu} dX ^ { mu} dX ^ { nu}} {d tau ^ {2}}} = c ^ {2} ,,}$

zkrátka velikost čtyř rychlostí pro jakýkoli objekt je vždy pevná konstanta:

${ displaystyle | mathbf {U} | ^ {2} = c ^ {2} ,}$

Norma je také:

${ displaystyle | mathbf {U} | ^ {2} = { gamma (u)} ^ {2} left (c ^ {2} - { vec {u}} cdot { vec { máš pravdu),,}$

aby:

${ displaystyle c ^ {2} = { gamma (u)} ^ {2} vlevo (c ^ {2} - { vec {u}} cdot { vec {u}} vpravo) , ,}$

což se redukuje na definici Lorentzova faktoru.

Viz také

• Čtyři akcelerace
• Čtyři momenty
• Čtyři síly
• Čtyři přechody
• Algebra fyzického prostoru
• Shoda (obecná relativita)
• Hyperboloidní model
• Rychlost

Poznámky

Reference

• Einstein, Albert (1920). Relativita: Speciální a obecná teorie. Přeložil Robert W. Lawson. New York: Originál: Henry Holt, 1920; Přetištěno: Prometheus Books, 1995.
• Rindler, Wolfgang (1991). Úvod do speciální relativity (2.). Oxford: Oxford University Press. ISBN  0-19-853952-5.