Rotor (matematika) - Rotor (mathematics)

A rotor je objekt v geometrická algebra (nebo obecněji Cliffordova algebra ) že otáčí se žádný čepel nebo obecně multivektorový o původ.^[1] Normálně jsou motivováni uvažováním o sudém počtu odrazy, které generují rotace (viz také Cartan – Dieudonné věta ).

Termín pochází z William Kingdon Clifford,^[2] tím, že ukazuje, že čtveřice algebra je jen speciální případ Hermann Grassmann "Teorie prodloužení" (Ausdehnungslehre).^[3] Hestenes^[4] definoval rotor jako jakýkoli prvek ${displaystyle R}$ geometrické algebry, kterou lze zapsat jako produkt sudého počtu jednotkových vektorů a splňuje ${displaystyle {ilde {R}} R = 1}$, kde ${displaystyle {ilde {R}}}$ je "rub" z ${displaystyle R}$—To je produkt stejných vektorů, ale v opačném pořadí.

Generování pomocí odrazů

Obecná formulace

α > θ/2

α < θ/2

Rotace vektoru A skrz úhel θ, jako dvojitý odraz podél dva jednotkové vektory n a m, oddělené úhlem θ/ 2 (nejen θ). Každý připravuje A označuje odraz. Rovina diagramu je rovina otáčení.

Odrazy podél vektoru v geometrické algebře může být reprezentován jako (minus) sendvičování multivektoru M mezi a nenulový vektor proti kolmo na nadrovina odrazu a vektorů inverzní proti⁻¹:

${displaystyle -vMv ^ {- 1}}$

a jsou rovnoměrné. Pod rotací generovanou rotorem R, obecný multivektor M se bude oboustranně transformovat jako

${displaystyle RMR ^ {- 1}.}$

Omezená alternativní formulace

Pro Euklidovský prostor, může být vhodné uvažovat o alternativní formulaci a někteří autoři definují operaci reflexe jako (minus) sendvičování jednotka (tj. Normalizovaný) multivektor:

${displaystyle -vMv, quad v ^ {2} = 1,}$

tvářecí rotory, které se automaticky normalizují:

${displaystyle R {ilde {R}} = {ilde {R}} R = 1.}$

Odvozená akce rotoru je poté vyjádřena jako sendvičový produkt s obrácenou funkcí:

${displaystyle RM {ilde {R}}}$

Pro odraz, pro který je přidružený vektor druhou mocninou záporného skaláru, jak tomu může být v případě a pseudoeuklidovský prostor, takový vektor lze normalizovat pouze do znaménka jeho čtverce a je nutné další vedení účetnictví znaménka aplikace, kterou rotor dělá. Formulace sendvičového produktu s inverzní funkcí, jak je uvedeno výše, nemá žádný takový nedostatek.

Rotace multivektorů a spinorů

Ačkoli se však multivektorové rotory transformují také oboustranně, lze rotory kombinovat a tvořit a skupina, a tak jednostranně tvoří více rotorů. Výše uvedená alternativní formulace není samo-normalizační a motivuje k definici spinor v geometrické algebře jako objekt, který se transformuje jednostranně - tj. rotory lze považovat za nenormalizované rotory, ve kterých se v sendvičovém produktu používá spíše reverzní než inverzní.

Homogenní zastoupení algeber

V homogenním zastoupení algebry jako např konformní geometrická algebra, rotor v reprezentačním prostoru odpovídá a otáčení o svévoli směřovat, a překlad nebo možná další transformace v základním prostoru.

Viz také

• Dvojitá rotace
• Lež skupina
• Eulerův vzorec
• Generátor (matematika)

Reference