Trojčlenný strom - Trinomial tree

The trojčlenný strom je na mřížce výpočetní model použito v finanční matematika na cenu možnosti. Byl vyvinut společností Phelim Boyle v roce 1986. Jedná se o rozšíření binomický cenový model opcí, a je koncepčně podobný. Lze také ukázat, že přístup je rovnocenný přístupu explicitní metoda konečných rozdílů pro stanovení ceny opcí.^[1] Pro pevný příjem a úrokové deriváty vidět Příhradový model (finance) # Deriváty úrokových sazeb.

Vzorec

Podle trinomiální metody se základní cena akcií je modelována jako rekombinační strom, kde v každém uzlu má cena tři možné cesty: cestu nahoru, dolů a stabilní nebo střední cestu.^[2] Tyto hodnoty se zjistí vynásobením hodnoty v aktuálním uzlu příslušným faktorem ${displaystyle u,}$, ${displaystyle d,}$ nebo ${displaystyle m,}$ kde

${displaystyle u = e ^ {sigma {sqrt {2Delta t}}}}$

${displaystyle d = e ^ {- sigma {sqrt {2Delta t}}} = {frac {1} {u}},}$ (struktura se rekombinuje)

${displaystyle m = 1,}$

a odpovídající pravděpodobnosti jsou:

${displaystyle p_ {u} = left ({frac {e ^ {(rq) Delta t / 2} -e ^ {- sigma {sqrt {Delta t / 2}}}}} {e ^ {sigma {sqrt {Delta t / 2}}} - e ^ {- sigma {sqrt {Delta t / 2}}}}} ight) ^ {2},}$

${displaystyle p_ {d} = left ({frac {e ^ {sigma {sqrt {Delta t / 2}}} - e ^ {(rq) Delta t / 2}} {e ^ {sigma {sqrt {Delta t / 2}}} - e ^ {- sigma {sqrt {Delta t / 2}}}}} vpravo) ^ {2},}$

${displaystyle p_ {m} = 1- (p_ {u} + p_ {d}),}$.

Ve výše uvedených vzorcích: ${displaystyle Delta t,}$ je doba na krok ve stromu a je jednoduše čas do splatnosti dělený počtem časových kroků; ${displaystyle r,}$ je bezriziková úroková sazba přes tuto splatnost; ${displaystyle sigma,}$ je odpovídající volatilita podkladového aktiva; ${displaystyle q,}$ je jeho odpovídající dividendový výnos.^[3]

Stejně jako u binomického modelu jsou tyto faktory a pravděpodobnosti specifikovány tak, aby byla zajištěna cena základní se vyvíjí jako martingale, zatímco momenty - vzhledem k rozteči uzlů a pravděpodobnostem - se shodují s roztečí uzlů a pravděpodobnostmi zaznamenat normální rozdělení^[4] (a se zvyšující se přesností pro menší časové kroky). Všimněte si, že pro ${displaystyle p_ {u}}$, ${displaystyle p_ {d}}$, a ${displaystyle p_ {m}}$ být v intervalu ${displaystyle (0,1)}$ následující podmínka na ${displaystyle Delta t}$ musí být spokojen ${displaystyle Delta t <2 {frac {sigma ^ {2}} {(r-q) ^ {2}}}}$.

Po výpočtu stromu cen se cena opce nachází v každém uzlu jako pro binomický model tím, že pracujeme zpět od koncových uzlů k současnému uzlu (${displaystyle t_ {0}}$). Rozdíl spočívá v tom, že hodnota možnosti v každém ne-konečném uzlu je určena na základě tří - na rozdíl od dva - pozdější uzly a jejich odpovídající pravděpodobnosti. Model je nejlépe pochopit vizuálně - viz např Kalkulačka možností trinomiálního stromu (Peter Hoadley).

Pokud je délka časových kroků ${displaystyle Delta t}$ se bere jako exponenciálně distribuovaná náhodná proměnná a interpretuje se jako čekací doba mezi dvěma pohyby ceny akcií, pak je výsledný stochastický proces proces narození a smrti. Výsledný Modelka je rozpustný a existují analytické cenové a zajišťovací vzorce pro různé možnosti.

aplikace

Je uvažován trinomický model^[5] produkovat přesnější výsledky než binomický model, když se modeluje méně časových kroků, a proto se používá, když může být problém s výpočetní rychlostí nebo prostředky. Pro možnosti vanilky, jak se zvyšuje počet kroků, výsledky se rychle sbíhají a binomický model je poté preferován kvůli jeho jednodušší implementaci. Pro exotické možnosti trinomiální model (nebo úpravy) je někdy stabilnější a přesnější, bez ohledu na velikost kroku.

Viz také

• Cenový model binomických opcí
• Ocenění opcí
• Možnost: Implementace modelu
• Model Korn-Kreer-Lenssen
• Implikovaný trinomiální strom

Reference

externí odkazy

• Phelim Boyle, 1986. „Ocenění opcí pomocí procesu tří skoků“, International Options Journal 3, 7-12.
• Rubinstein, M. (2000). „O vztahu mezi binomickým a trinomálním cenovým modelem opcí“. Journal of Derivatives. 8 (2): 47–50. CiteSeerX  10.1.1.43.5394. doi:10.3905 / jod.2000.319149. Archivovány od originál dne 22. června 2007.
• Paul Clifford et. al 2010. Možnosti stanovení cen pomocí trojčlenných stromů, University of Warwick
• Tero Haahtela, 2010. "Rekombinace trinomiálního stromu pro skutečné ocenění opcí se změnou volatility", Aalto University, Working Paper Series.
• Ralf Korn, Markus Kreer a Mark Lenssen, 1998. „Ceny evropských opcí, když cena podkladových akcií sleduje lineární proces narození a smrti“, Stochastic Models Vol. 14 (3), s. 647 - 662
• Tariq Scherer, 2010. „Vytváření cenových stromů s trinomiálními opcemi pomocí excelových písem“