Černý model - Black model

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Březen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The Černý model (někdy známý jako Model Black-76) je variantou Black – Scholes model oceňování opcí. Jeho primární aplikace slouží k nastavení cen na budoucí smlouvy, opce na dluhopisy, strop úrokové sazby a minimální hodnoty, a výměny. Poprvé byl představen v příspěvku od autora Fischer Black v roce 1976.

Blackův model lze zobecnit na třídu modelů známých jako log-normal forward modely, označované také jako Tržní model LIBOR.

Černý vzorec

Černý vzorec je podobný Black – Scholesův vzorec pro oceňování možnosti skladu kromě toho, že spotová cena podkladu je nahrazen diskontovaným cena futures F.

Předpokládejme, že je konstantní bezriziková úroková sazba r a cena futures F (t) konkrétního podkladu je log-normální s konstantní volatilitou σ. Černý vzorec pak stanoví cenu za a Evropská možnost volání dospělosti T na futures kontrakt s realizační cenou K. a datum dodání T ' (s ${ displaystyle T ' geq T}$) je

${ displaystyle c = e ^ {- rT} [FN (d_ {1}) - KN (d_ {2})]}$

Odpovídající cena putu je

${ displaystyle p = e ^ {- rT} [KN (-d_ {2}) - FN (-d_ {1})]}$

kde

${ displaystyle d_ {1} = { frac { ln (F / K) + ( sigma ^ {2} / 2) T} { sigma { sqrt {T}}}}}$

${ displaystyle d_ {2} = { frac { ln (F / K) - ( sigma ^ {2} / 2) T} { sigma { sqrt {T}}}} = d_ {1} - sigma { sqrt {T}},}$

a N (.) je kumulativní funkce normálního rozdělení.

Všimněte si, že T ' se ve vzorcích neobjevuje, i když by to mohlo být větší než T. Je tomu tak proto, že futures kontrakty jsou označeny jako tržní, a tak se výplata realizuje při uplatnění opce. Pokud vezmeme v úvahu možnost na a forwardová smlouva čas vyprší T '> T, k výplatě dojde až T ' . Tedy faktor slevy ${ displaystyle e ^ {- rT}}$ je nahrazen ${ displaystyle e ^ {- rT '}}$ protože je třeba vzít v úvahu časová hodnota peněz. Rozdíl v obou případech je zřejmý z níže uvedeného odvození.

Odvození a předpoklady

Černý vzorec lze snadno odvodit z použití Margrabeho vzorec, což je zase jednoduchá, ale chytrá aplikace aplikace Black – Scholesův vzorec.

Výplata kupní opce na futures kontrakt je max (0, F (T) - K). Tuto možnost výměny (Margrabe) můžeme považovat tím, že budeme považovat první aktivum za ${ displaystyle e ^ {- r (T-t)} F (t)}$ a druhým aktivem je bezrizikový dluhopis, který splácí 1 $ najednou T. Poté se opce uplatní včas T když má první aktivum hodnotu vyšší než K. bezrizikové dluhopisy. Předpoklady Margrabeho vzorce jsou s těmito aktivy spokojeny.

Jedinou zbývající věcí, kterou je třeba zkontrolovat, je, že první aktivum je skutečně aktivem. To lze vidět na základě zvážení portfolia vytvořeného v čase 0 dlouhým a vpřed smlouva s datem dodání T a krátké F (0) bezrizikové dluhopisy (všimněte si, že za deterministické úrokové míry jsou ceny forwardu a futures stejné, takže zde není žádná nejednoznačnost). Pak kdykoli t svůj závazek ohledně forwardové smlouvy můžete uvolnit zkrácením dalšího forwardu se stejným datem dodání, abyste získali rozdíl v forwardových cenách, ale diskontovaný na současnou hodnotu: ${ displaystyle e ^ {- r (T-t)} [F (t) -F (0)]}$. Likvidace F (0) bezrizikové dluhopisy, z nichž každý má hodnotu ${ displaystyle e ^ {- r (T-t)}}$, má za následek čistou výplatu ve výši ${ displaystyle e ^ {- r (T-t)} F (t)}$.

Viz také

• Finanční matematika
• Black – Scholes
• Popis aplikací
  • Možnost dluhopisu # ocenění
  • Futures kontrakt #Možnosti futures
  • Limit úrokové sazby a minimální model # Black
  • Swaption #Valuation

Reference

• Black, Fischer (1976). Ceny komoditních kontraktů, Journal of Financial Economics, 3, 167-179.
• Garman, Mark B. a Steven W. Kohlhagen (1983). Hodnoty opcí v cizí měně, Journal of International Money and Finance, 2, 231-237.
• Miltersen, K., Sandmann, K. a Sondermann, D., (1997): „Uzavřená řešení pro deriváty termínových struktur s logaritmickými úrokovými sazbami“, Journal of Finance, 52 (1), 409-430.

externí odkazy

Diskuse

• Bond Bond, Caps a Black Model Dr. Milica Cudina, University of Texas v Austinu

Online nástroje

• Kalkulačka Caplet a Floorlet Dr. Shing Hing Man, Thomson-Reuters pro řízení rizik