Gaussova suma - Gauss sum

v algebraická teorie čísel, a Gaussova suma nebo Gaussova suma je zvláštní druh konečných součet z kořeny jednoty, typicky

{displaystyle G (chi): = G (chi, psi) = součet chi (r) cdot psi (r)}

kde součet přesahuje prvky $r$ některých konečný komutativní prsten $R$ , $ψ$ je skupinový homomorfismus z aditivní skupina $R +$ do jednotkový kruh, a $χ$ je skupinový homomorfismus skupina jednotek $R \times$ do kruhu jednotky, rozšířené na jiné než jednotkové $r$ , kde má hodnotu 0. Gaussovy součty jsou analogy pro konečná pole Funkce gama.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Takové částky jsou všudypřítomné teorie čísel. Vyskytují se například ve funkčních rovnicích Dirichlet $L$ -funkce, kde pro a Dirichletova postava $χ$ vztahující se rovnice $L (s, χ)$ a $L (1 - s, χ$ ) (kde $χ$ je komplexní konjugát z $χ$ ) zahrnuje faktor^{[je zapotřebí objasnění ]}

{displaystyle {frac {G (chi)} {| G (chi) |}}.}

Dějiny

Případ původně zvažoval Carl Friedrich Gauss byl kvadratická Gaussova suma, pro $R$ the pole reziduí modulo A prvočíslo $str$ , a $χ$ the Legendární symbol. V tomto případě to Gauss dokázal $G (χ) = str 1 ⁄ 2$ nebo $ip 1 ⁄ 2$ pro $str$ kongruentní s 1 nebo 3 modulo 4 (kvadratický Gaussův součet lze také vyhodnotit Fourierovou analýzou i integrace kontury ).

Alternativní forma pro tuto Gaussovu částku je:

{displaystyle sum e ^ {frac {2pi ir ^ {2}} {p}}}

Kvadratické Gaussovy sumy úzce souvisí s teorií theta funkce.

Obecná teorie Gaussových součtů byla vyvinuta na počátku 19. století s využitím Jacobi součty a jejich primární rozklad v cyklotomická pole. Gaussovy součty za zbytkový kruh celých čísel $mod N$ jsou lineární kombinace úzce souvisejících součtů Gaussovské období.

Absolutní hodnota Gaussových součtů se obvykle nachází jako aplikace Plancherelova věta na konečných skupinách. V případě, že $R$ je obor $str$ prvky a $χ$ je netriviální, absolutní hodnota je $str 1 ⁄ 2$ . Stanovení přesné hodnoty obecných Gaussových součtů, které následuje po Gaussově výsledku v kvadratickém případě, je dlouhodobým problémem. Pro některé případy viz Kummerova suma.

Vlastnosti Gaussových součtů Dirichletových znaků

Gaussova součet a Dirichletova postava modulo $N$ je

{displaystyle G (chi) = součet _ {a = 1} ^ {N} chi (a) e ^ {frac {2pi ia} {N}}.}

Li $χ$ je také primitivní, pak

{displaystyle | G (chi) | = {sqrt {N}},}

zejména je nenulová. Obecněji, pokud $N 0$ je dirigent z $χ$ a $χ 0$ je primitivní Dirichletova postava modulo $N 0$ který indukuje $χ$ , pak Gaussův součet $χ$ souvisí s tím z $χ 0$ podle

{displaystyle G (chi) = mu left ({frac {N} {N_ {0}}} ight) chi _ {0} left ({frac {N} {N_ {0}}} ight) Gleft (chi _ { 0} hned)}

kde $μ$ je Möbiova funkce. Tudíž, $G (χ)$ je nenulová přesně, když $N / N 0$ je bez čtverce a relativně prime na $N 0$ .

Další vztahy mezi $G (χ)$ a Gaussovy součty dalších znaků zahrnují

{displaystyle G ({overline {chi}}) = chi (-1) {overline {G (chi)}},}

kde $χ$ je komplexní konjugovaný Dirichletův charakter, a pokud $χ'$ je Dirichletův znakový modul $N'$ takhle $N$ a $N'$ jsou tedy relativně nejlepší

{displaystyle Gleft (chi chi ^ {prime} ight) = chi left (N ^ {prime} ight) chi ^ {prime} (N) G (chi) Gleft (chi ^ {prime} ight).}

Vztah mezi $G (χχ')$ , $G (χ)$ , a $G (χ')$ když $χ$ a $χ'$ jsou z stejný modul (a $χχ'$ je primitivní) se měří pomocí Jacobi součet $J (χ, χ')$ . Konkrétně

{displaystyle Gleft (chi chi ^ {prime} ight) = {frac {G (chi) Gleft (chi ^ {prime} ight)} {Jleft (chi chi ^ {prime} ight)}}}

Další vlastnosti

Gaussovy částky lze použít k prokázání kvadratická vzájemnost, kubická vzájemnost a kvartální vzájemnost
Gaussovy součty lze použít k výpočtu počtu řešení polynomiálních rovnic nad konečnými poli, a lze je tedy použít k výpočtu určitých funkcí zeta

Viz také

Reference

Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel, Vysokoškolské texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, PAN 0434929, Zbl 0335.10001
Berndt, B. C.; Evans, R. J .; Williams, K. S. (1998). Gauss a Jacobi Sums. Série monografií a pokročilých textů Kanadské matematické společnosti. Wiley. ISBN 0-471-12807-4. Zbl 0906.11001.
Irsko, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Klasický úvod do moderní teorie čísel. Postgraduální texty z matematiky. 84 (2. vyd.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97329-X. Zbl 0712.11001.
Oddíl 3.4 Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004), Teorie analytických číselPublikace kolokvia Americké matematické společnosti, 53, Providence, RI: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-3633-0, PAN 2061214, Zbl 1059.11001