Diskrétní reprezentace řady - Discrete series representation

v matematika, a diskrétní reprezentace řady je neredukovatelná jednotkové zastoupení místně kompaktní topologická skupina G to je subreprezentace levice pravidelné zastoupení z G na L² (G). V Plancherelův rozměr, tato vyjádření mají pozitivní měřítko. Název pochází ze skutečnosti, že se jedná přesně o reprezentace, které se diskrétně vyskytují při rozkladu regulární reprezentace.

Vlastnosti

Li G je unimodulární, neredukovatelné jednotkové vyjádření ρ G je v diskrétní řadě právě tehdy, když jeden (a tedy všechny) maticový koeficient

${displaystyle langle ho (g) cdot v, wangle,}$

s proti, w nenulové vektory jsou čtvercově integrovatelný na G, s ohledem na Haarovo opatření.

Když G je unimodulární, reprezentace diskrétní řady má formální rozměr ds majetkem, který

${displaystyle dint langle ho (g) cdot v, wangle {overline {langle ho (g) cdot x, yangle}} dg = langle v, xangle {overline {langle w, yangle}}}$

pro proti, w, X, y v reprezentaci. Když G je kompaktní, to se shoduje s dimenzí, když se měří Haar G je normalizován tak, že G má opatření 1.

Polojednoduché skupiny

Harish-Chandra  (1965, 1966 ) klasifikoval diskrétní řady reprezentací spojených polojednoduché skupiny G. Zejména má taková skupina diskrétní reprezentace řad právě tehdy, pokud má stejnou hodnost jako a maximální kompaktní podskupina K.. Jinými slovy, a maximální torus T v K. musí být Cartan podskupina v G. (Tento výsledek vyžadoval, aby centrum z G být konečný, vyloučit skupiny, jako je jednoduše připojený obal SL (2,R).) Platí zejména pro speciální lineární skupiny; pouze z těchto SL (2,R) má diskrétní řadu (k tomu viz teorie reprezentace SL (2,R) ).

Harish-Chandřina klasifikace reprezentací diskrétních řad polojednodušé propojené Lieovy skupiny je uvedena následovně. Li L je váhová mřížka maximálního torusu T, sublattice z to kde t je Lieova algebra T, pak existuje diskrétní řada reprezentace pro každý vektor proti z

L + ρ,

kde ρ je Weyl vektor z G, který není kolmý na žádný kořen G. Každá diskrétní reprezentace série se vyskytuje tímto způsobem. Dva takové vektory proti odpovídají stejné reprezentaci diskrétní řady právě tehdy, pokud jsou konjugovány pod Weylova skupina Ž_K. maximální kompaktní podskupiny K.. Pokud opravíme a základní komora pro skupinu Weyl z K., pak jsou diskrétní řady reprezentovány v 1: 1 korespondenci s vektory L + ρ v této Weylově komoře, které nejsou kolmé na žádný kořen G. Infinitezimální charakter nejvyšší váhové reprezentace je dán vztahem proti (mod Weyl skupina Ž_G z G) pod Korespondence Harish-Chandra identifikace nekonečně malých znaků G s body

t ⊗ C/Ž_G.

Takže pro každou reprezentaci diskrétní řady existují přesně

|Ž_G|/|Ž_K.|

diskrétní řady reprezentace se stejným nekonečně malým znakem.

Harish-Chandra pokračoval dokázat analogii pro tyto reprezentace Weylův vzorec znaků. V případě, že G není kompaktní, reprezentace mají nekonečný rozměr a pojem charakter je proto jemnější definovat, protože se jedná o a Schwartzova distribuce (reprezentovaný lokálně integrovatelnou funkcí), se singularitami.

Znak je uveden na maximálním torusu T podle

${displaystyle (-1) ^ {frac {dim (G) -dim (K)} {2}} {sum _ {win W_ {K}} det (w) e ^ {w (v)} nad prod _ { (v, alpha)> 0} vlevo (e ^ {frac {alpha} {2}} - e ^ {- {frac {alpha} {2}}} vpravo)}}$

Když G je kompaktní, toto redukuje na Weylův vzorec znaků, s proti = λ + ρ pro λ nejvyšší váha neredukovatelné reprezentace (kde je produkt nad kořeny α, který má pozitivní vnitřní produkt s vektorem proti).

Věta o pravidelnosti Harish-Chandry znamená, že charakter reprezentace diskrétní řady je lokálně integrovatelná funkce ve skupině.

Limit reprezentací diskrétních řad

Body proti v cosetu L + ρ kolmo ke kořenům G neodpovídají reprezentacím diskrétních řad, ale těm, které nejsou kolmé na kořeny K. se vztahují k určitým neredukovatelným reprezentacím nazývaným limit reprezentací diskrétních řad. Pro každý pár existuje takové zastoupení (proti,C) kde proti je vektor L + ρ kolmo k nějakému kořenu G ale žádný kolmý k žádnému kořenu K. odpovídající zdi C, a C je Weylova komora G obsahující proti. (V případě diskrétních řadových reprezentací obsahuje pouze jednu Weylovou komoru proti není tedy nutné je výslovně uvádět.) Dva páry (proti,C) uveďte stejný limit zastoupení diskrétních řad právě tehdy, pokud jsou konjugovány pod Weylovou skupinou K.. Stejně jako u diskrétních řadových reprezentací proti dává nekonečně malý charakter. Existuje maximálně |Ž_G|/|Ž_K.| limit reprezentací diskrétních řad s jakýmkoli daným nekonečně malým znakem.

Limit zastoupení diskrétních řad je temperované reprezentace, což znamená zhruba to, že pouze selžou být diskrétními řadovými reprezentacemi.

Konstrukce diskrétní řady

Původní konstrukce diskrétní řady Harish-Chandry nebyla příliš jasná. Několik autorů později našlo explicitnější realizace diskrétní řady.

• Narasimhan a Okamoto (1970) zkonstruoval většinu diskrétních řadových reprezentací v případě, že symetrický prostor G je poustevník.
• Parthasarathy (1972) zkonstruoval mnoho diskrétních řadových reprezentací pro libovolné G.
• Langlands (1966) domnělý a Schmid (1976) prokázáno, geometrický analog Borel – Bott – Weilova věta, pro diskrétní řadu pomocí L² kohomologie místo koherentní svazky cohomologie použité v kompaktním případě.
• Aplikace věta o indexu, Atiyah & Schmid (1977) zkonstruoval všechny diskrétní řady reprezentací v prostorech harmonické spinory. Na rozdíl od většiny předchozích konstrukcí reprezentací práce Atiyah a Schmida nepoužila výsledky existence Harish-Chandry ve svých důkazech.
• Diskrétní reprezentace řady lze také sestavit pomocí cohomologická parabolická indukce použitím Zuckerman funktory.

Viz také

• Blattnerova domněnka
• Holomorfní diskrétní reprezentace řady
• Kvartérní reprezentace diskrétních řad

Reference

• Atiyah, Michael; Schmid, Wilfried (1977), „Geometrická konstrukce diskrétní řady pro polojednoduché Lieovy skupiny“, Inventiones Mathematicae, 42: 1–62, doi:10.1007 / BF01389783, ISSN  0020-9910, PAN  0463358
• Bargmann, V (1947), „Neredukovatelné jednotné zastoupení skupiny Lorentz“, Annals of Mathematics, Druhá série, 48: 568–640, doi:10.2307/1969129, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969129, PAN  0021942
• Harish-Chandra (1965), „Diskrétní řada pro polojednoduché Lieovy skupiny. I. Konstrukce invariantních vlastních rozdělení“, Acta Mathematica, 113: 241–318, doi:10.1007 / BF02391779, ISSN  0001-5962, 0219665
• Harish-Chandra (1966), "Diskrétní řada pro polojednodušé Lieovy skupiny. II. Explicitní určení postav", Acta Mathematica, 116: 1–111, doi:10.1007 / BF02392813, ISSN  0001-5962, PAN  0219666
• Langlands, R. P. (1966), „Dimension of spaces of automorphic forms“, Algebraické skupiny a diskontinuální podskupiny (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) „Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 253–257, PAN  0212135
• Narasimhan, M. S .; Okamoto, Kiyosato (1970), „Analog Borel-Weil-Bottovy věty pro hermitovské symetrické páry nekompaktního typu“, Annals of Mathematics, Druhá série, 91: 486–511, doi:10.2307/1970635, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970635, PAN  0274657
• Parthasarathy, R. (1972), „Diracův operátor a diskrétní řada“, Annals of Mathematics, Druhá série, 96: 1–30, doi:10.2307/1970892, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970892, PAN  0318398
• Schmid, Wilfried (1976), „L²-cohomologie a diskrétní řada“, Annals of Mathematics, Druhá série, 103 (2): 375–394, doi:10.2307/1970944, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970944, PAN  0396856
• Schmid, Wilfried (1997), „Diskrétní řada“, Bailey, T. N .; Knapp, Anthony W. (eds.), Teorie reprezentace a automorfní formy (Edinburgh, 1996), Proc. Symposy. Čistá matematika., 61„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 83–113, doi:10.1090 / pspum / 061/1476494, ISBN  978-0-8218-0609-8, PAN  1476494
• A.I. Shtern (2001) [1994], "Diskrétní řada zobrazení", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

externí odkazy

• Garrett, Paul (2004), Některá fakta o diskrétních řadách (holomorfní, kvartérní) (PDF)