Princip maximálního modulu - Maximum modulus principle

Graf modulu cos (z) (červeně) pro z v jednotka disku vycentrovaný na počátek (zobrazen modře). Jak předpovídá věta, maximum modulu nemůže být uvnitř disku (takže nejvyšší hodnota na červeném povrchu je někde podél jeho okraje).

v matematika, princip maximálního modulu v komplexní analýza uvádí, že pokud F je holomorfní funkce, pak modul |F | nemůže vykazovat přísné místní maximum to je správně uvnitř doména z F.

Jinými slovy, buď F je konstantní funkce, nebo pro jakýkoli bod z₀ uvnitř domény F existují další body libovolně blízké z₀ při kterém |F | bere větší hodnoty.

Formální prohlášení

Nechat F být u některých holomorfní funkcí připojeno otevřeno podmnožina D z složité letadlo ℂ a převzetí komplexních hodnot. Li z₀ je bod v D takhle

${ displaystyle | f (z_ {0}) | geq | f (z) |}$

pro všechny z v sousedství z z₀, pak funkce F je trvale zapnuto D.

Přepnutím na reciproční, můžeme získat princip minimálního modulu. Uvádí se v něm, že pokud F je holomorfní v ohraničené doméně D, kontinuální až do hranice z D, a nenulové ve všech bodech, pak |F(z) | bere svou minimální hodnotu na hranici D.

Alternativně lze princip maximálního modulu považovat za speciální případ otevřená věta o mapování, který uvádí, že nekonstantní holomorfní funkce mapuje otevřené množiny na otevřené množiny. Pokud |F| dosáhne místního maxima v z, pak obraz dostatečně malého otevřeného sousedství z nelze otevřít. Proto, F je konstantní.

Náčrtky důkazů

Využití principu maxima pro harmonické funkce

Lze použít rovnost

${ Displaystyle log f (z) = ln | f (z) | + i arg f (z)}$

pro komplex přirozené logaritmy odvodit, že ln |F(z) | je harmonická funkce. Od té doby z₀ je lokálním maximem i pro tuto funkci, vyplývá to z maximální princip to |F(z) | je konstantní. Poté pomocí Cauchy – Riemannovy rovnice ukážeme to F′(z) = 0, a tedy i to F(z) je také konstantní. Podobné úvahy ukazují, že |F| může mít pouze lokální minimum (které má nutně hodnotu 0) při izolované nule f (z).

Použití Gaussovy věty o střední hodnotě

Další důkaz funguje tak, že Gaussova věta o střední hodnotě „donutí“ všechny body v překrývajících se otevřených discích převzít stejnou hodnotu. Disky jsou položeny tak, aby jejich středy tvořily polygonální cestu od hodnoty kde F(z) je maximalizován do jakéhokoli jiného bodu v doméně, přičemž je zcela obsažen v doméně. Existence maximální hodnoty tedy znamená, že všechny hodnoty v doméně jsou tedy stejné F(z) je konstantní.

Fyzická interpretace

Fyzická interpretace tohoto principu vychází z rovnice tepla. To je, protože log |F(z) | je harmonický, jedná se tedy o ustálený stav tepelného toku v oblasti D. Předpokládejme, že uvnitř interiéru bylo dosaženo přísného maxima D, teplo na tomto maximu by se rozptylovalo do bodů kolem něj, což by bylo v rozporu s předpokladem, že to představuje ustálený stav systému.

Aplikace

Princip maximálního modulu má při komplexní analýze mnoho využití a lze jej použít k prokázání následujících skutečností:

• The základní věta o algebře.
• Schwarzovo lemma Výsledek, který má zase mnoho zobecnění a aplikací v komplexní analýze.
• The Princip Phragmén – Lindelöf, rozšíření neomezených domén.
• The Borel – Carathéodoryova věta, který ohraničuje analytickou funkci z hlediska její skutečné části.
• The Hadamardova věta o třech řádcích, výsledek o chování omezených holomorfních funkcí na linii mezi dvěma dalšími paralelními liniemi v komplexní rovině.

Reference

• Titchmarsh, E. C. (1939). Teorie funkcí (2. vyd.). Oxford University Press. (Viz kapitola 5.)
• E. D. Solomentsev (2001) [1994], "Princip maximálního modulu", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Princip maximálního modulu“. MathWorld.