Operátor Toeplitz - Toeplitz operator

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie operátorů, a Operátor Toeplitz je komprese a operátor násobení na kruhu do Hardy prostor.

Detaily

Nechat S¹ být kruh se standardním Lebesgueovým měřítkem a L²(S¹) být Hilbertův prostor funkcí integrovatelných do čtverců. Omezená měřitelná funkce G na S¹ definuje a operátor násobení M_G na L²(S¹). Nechat P být projekcí z L²(S¹) na Hardy prostor H². The Operátor Toeplitz se symbolem g je definováno

${displaystyle T_ {g} = PM_ {g} vert _ {H ^ {2}},}$

kde „|“ znamená omezení.

Omezený operátor zapnutý H² je Toeplitz právě tehdy, když je jeho maticovou reprezentací v základ {zⁿ, n ≥ 0}, má konstantní úhlopříčky.

Věty

• Věta: Pokud ${displaystyle g}$ je kontinuální, pak ${displaystyle T_ {g} -lambda}$ je Fredholm kdyby a jen kdyby ${displaystyle lambda}$ není v sadě ${displaystyle g (S ^ {1})}$. Pokud je to Fredholm, jeho index je mínus počet vinutí křivky vysledovaný ${displaystyle g}$ s ohledem na původ.

Důkaz viz Douglas (1972, s. 185). Větu přisuzuje Mark Kerin, Harold Widom a Allen Devinatz. Lze to považovat za důležitý speciální případ Atiyah-Singerova věta o indexu.

• Axler - Chang - Sarason Věta: Operátor ${displaystyle T_ {f} T_ {g} -T_ {fg}}$ je kompaktní kdyby a jen kdyby ${displaystyle H ^ {infty} [{ar {f}}] čepice H ^ {infty} [g] subseteq H ^ {infty} + C}$.

Tady, ${displaystyle H ^ {infty}}$ označuje uzavřenou subalgebru ${displaystyle L ^ {infty} (S ^ {1})}$ analytických funkcí (funkce s mizejícími zápornými Fourierovými koeficienty), ${displaystyle H ^ {infty} [f]}$ je uzavřená subalgebra ${displaystyle L ^ {infty} (S ^ {1})}$ generováno uživatelem ${displaystyle f}$ a ${displaystyle H ^ {infty}}$, a ${displaystyle C}$ je spojitá funkce v kruhu. Viz S.Axler, S-Y. Chang, D. Sarason (1978)

Reference

• S.Axler, S-Y. Chang, D. Sarason (1978), „Výrobky operátorů Toeplitz“, Integrální rovnice a teorie operátora, 1: 285–309CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Böttcher, Albrecht; Grudsky, Sergei M. (2000), Toeplitzovy matice, asymptotická lineární algebra a funkční analýza, Birkhäuser, ISBN  978-3-0348-8395-5.
• Böttcher, A.; Silbermann, B. (2006), Analýza operátorů ToeplitzSpringerovy monografie z matematiky (2. vyd.), Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-32434-8.
• Douglas, Ronald (1972), Techniky Banachovy algebry v teorii operátorů, Academic Press.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1985), Hardyho třídy a teorie operátorů, Oxford University Press. Dotisk Dover Publications, 1997, ISBN  978-0-486-69536-5.

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.