Theta zastoupení - Theta representation
v matematika, theta zastoupení je konkrétní reprezentace Skupina Heisenberg z kvantová mechanika. Název získává podle skutečnosti, že Funkce Jacobi theta je invariantní působením diskrétní podskupiny skupiny Heisenberg. Reprezentaci popularizoval David Mumford.
Konstrukce
Reprezentace theta je reprezentací kontinuální skupiny Heisenberg přes pole reálných čísel. V této reprezentaci působí prvky skupiny na konkrétní Hilbertův prostor. Konstrukce níže pokračuje nejprve definováním operátory které odpovídají generátorům skupiny Heisenberg. Dále Hilbertův prostor, na kterém jsou tyto akty definovány, následovaný ukázkou izomorfismus k obvyklým reprezentacím.
Skupinové generátory
Nechat F(z) být a holomorfní funkce, nechť A a b být reálná čísla a nechte být opraveno, ale libovolné komplexní číslo v horní polorovina; to znamená, že imaginární část je pozitivní. Definujte operátory SA a Tb tak, že působí na holomorfní funkce jako
a
Je vidět, že každý operátor generuje podskupinu s jedním parametrem:
a
Nicméně, S a T nedojíždět:
Tak to vidíme S a T společně s a unitární fázová forma a nilpotentní Lež skupina, (nepřetržitý reálný) Skupina Heisenberg, parametrizovatelné jako kde U(1) je unitární skupina.
Obecný prvek skupiny pak působí na holomorfní funkci F(z) tak jako
kde je centrum z H, podskupina komutátoru . Parametr na slouží pouze k připomenutí, že každá jiná hodnota vede k odlišnému znázornění činnosti skupiny.
Hilbertův prostor
Působení skupinových prvků je jednotný a neredukovatelný v určitém Hilbertově prostoru funkcí. Pro pevnou hodnotu τ definujte normu na celé funkce z složité letadlo tak jako
Tady, je imaginární součástí a doménou integrace je celá komplexní rovina. Nechat být množinou celých funkcí F s konečnou normou. Dolní index se používá pouze k označení, že prostor závisí na volbě parametru . Tento tvoří a Hilbertův prostor. Akce výše uvedené je jednotné , to znamená, zachovává normu v tomto prostoru. A konečně akce na je neredukovatelné.
Tato norma úzce souvisí s normou použitou k definování Segal – Bargmannův prostor[Citace je zapotřebí ].
Izomorfismus
Výše theta zastoupení skupiny Heisenberg je izomorfní s kanonickým Weyl zastoupení skupiny Heisenberg. Z toho zejména vyplývá, že a jsou izomorfní tak jako H- moduly. Nechat