Hahnovy polynomy - Hahn polynomials

V matematice je Hahnovy polynomy jsou rodina ortogonální polynomy v Schéma Askey hypergeometrických ortogonálních polynomů zavedených Pafnuty Čebyšev v roce 1875 (Čebyšev 1907 ) a znovu objeven Wolfgang Hahn (Hahn 1949 ). The Hahnova třída je název pro speciální případy Hahnových polynomů, včetně Hahnových polynomů, Meixnerovy polynomy, Krawtchoukovy polynomy, a Charlierovy polynomy. Někdy je zahrnuta i třída Hahn omezující případy z těchto polynomů, v takovém případě zahrnuje také klasické ortogonální polynomy.

Hahnovy polynomy jsou definovány z hlediska zobecněné hypergeometrické funkce podle

${displaystyle Q_ {n} (x; alfa, eta, N) = {} _ {3} F_ {2} (- n, -x, n + alfa + eta +1; alfa + 1, -N + 1; 1). }$

Roelof Koekoek, Peter A. Lesky a René F. Swarttouw (2010, 14) poskytují podrobný seznam jejich vlastností.

Li ${displaystyle alpha = eta = 0}$, tyto polynomy jsou totožné s Diskrétní Čebyševovy polynomy kromě faktoru měřítka.

Blízce příbuzné polynomy zahrnují duální Hahnovy polynomy R_n(X; γ, δ,N), spojité Hahnovy polynomy p_n(X,A,b, A, b) a spojité duální Hahnovy polynomy S_n(X;A,b,C). Všechny tyto polynomy mají q-analogy s dalším parametrem q, tak jako q-Hahnovy polynomy Q_n(X; α, β, N;q), a tak dále.

Ortogonalita

${displaystyle sum _ {x = 0} ^ {N-1} Q_ {n} (x) Q_ {m} (x) ho (x) = {frac {1} {pi _ {n}}} delta _ { m, n},}$

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {N-1} Q_ {n} (x) Q_ {n} (y) pi _ {n} = {frac {1} {ho (x)}} delta _ { x, y}}$

kde δ_{x, y} je delta funkce Kronecker a váhové funkce jsou

${displaystyle ho (x) = ho (x; alpha; eta, N) = {jiné {alpha + x} {x}} {jiné {eta + N-1-x} {N-1-x}} / { v jiném {N + alfa + eta} {N-1}}}$

a

${displaystyle pi _ {n} = pi _ {n} (alpha, eta, N) = {jiné {N-1} {n}} {frac {2n + alpha + eta +1} {alpha + eta +1} } {frac {Gamma (eta + 1, n + alfa + 1, n + alfa + eta +1)} {gama (alfa + 1, alfa + eta + 1, n + eta + 1, n + 1)}} / {jin {N + alfa + eta + n} {n}}}$.

Opakovací a rozdílové vztahy

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Září 2011)

Rodriguesův vzorec

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Září 2011)

Generující funkce

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Září 2011)

Vztah k ostatním polynomům

• Racahovy polynomy jsou zobecněním Hahnových polynomů

Reference

• Chebyshev, P. (1907), „Sur l'interpolation des valeurs équidistantes“, Markoff, A .; Sonin, N. (eds.), Oeuvres de P. L. Tchebychef, 2, str. 219–242, přetištěno Chelsea
• Hahn, Wolfgang (1949), „Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen“, Mathematische Nachrichten, 2: 4–34, doi:10,1002 / many19490020103, ISSN  0025-584X, PAN  0030647
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A .; Swarttouw, René F. (2010), Hypergeometrické ortogonální polynomy a jejich q-analogySpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN  978-3-642-05013-8, PAN  2656096
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S. C .; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Hahn Class: Definitions“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248