Appellova sekvence - Appell sequence

v matematika, an Appellova sekvence, pojmenoval podle Paul Émile Appell, je jakýkoli polynomiální sekvence ${ displaystyle {p_ {n} (x) } _ {n = 0,1,2, ldots}}$ uspokojení identity

{ displaystyle { frac {d} {dx}} p_ {n} (x) = np_ {n-1} (x),}

a ve kterém ${ displaystyle p_ {0} (x)}$ je nenulová konstanta.

Mezi nejpozoruhodnější Appellovy sekvence kromě triviálního příkladu ${ displaystyle {x ^ {n} }}$ jsou Hermitovy polynomy, Bernoulliho polynomy a Eulerovy polynomy. Každá sekvence Appell je a Shefferova sekvence, ale většina Shefferových sekvencí nejsou Appellovy sekvence.

Ekvivalentní charakterizace Appellových sekvencí

Následující podmínky na polynomiálních sekvencích lze snadno považovat za ekvivalentní:

Pro ${ displaystyle n = 1,2,3, ldots}$ ,

{ displaystyle { frac {d} {dx}} p_ {n} (x) = np_ {n-1} (x)}

a

{ displaystyle p_ {0} (x)}

je nenulová konstanta;

Pro nějakou sekvenci ${ textstyle {c_ {n} } _ {n = 0} ^ { infty}}$ skalárů s ${ displaystyle c_ {0} neq 0}$ ,

{ displaystyle p_ {n} (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} c_ {k} x ^ {n-k};}

Pro stejnou posloupnost skalárů

{ displaystyle p_ {n} (x) = left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {k!}} D ^ {k} right) x ^ {n},}

kde

{ displaystyle D = { frac {d} {dx}};}

Pro ${ displaystyle n = 0,1,2, ldots}$ ,

{ displaystyle p_ {n} (x + y) = součet _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} p_ {k} (x) y ^ {n-k}.}

Rekurzní vzorec

Předpokládat

{ displaystyle p_ {n} (x) = left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} {c_ {k} over k!} D ^ {k} right) x ^ {n} = Sx ^ {n},}

kde se vezme poslední rovnost k definování lineárního operátoru ${ displaystyle S}$ na prostoru polynomů v ${ displaystyle x}$ . Nechat

{ displaystyle T = S ^ {- 1} = left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {k!}} D ^ {k} right) ^ {- 1} = součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {a_ {k}} {k!}} D ^ {k}}

být inverzní operátor, koeficienty ${ displaystyle a_ {k}}$ jsou to obvyklé převrácené hodnoty a formální mocenské řady, aby

{ displaystyle Tp_ {n} (x) = x ^ {n}. ,}

Podle konvencí pupeční kalkul, jeden často zachází s touto formální mocenskou řadou ${ displaystyle T}$ jako představující sekvenci Appell ${ displaystyle p_ {n}}$ . Lze definovat

{ displaystyle log T = log left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {a_ {k}} {k!}} D ^ {k} right)}

pomocí obvyklého rozšiřování výkonových řad ${ displaystyle log (x)}$ a obvyklá definice složení formálních mocenských řad. Pak máme

{ displaystyle p_ {n + 1} (x) = (x - ( log T) ') p_ {n} (x). ,}

(Toto formální rozlišení výkonové řady v diferenciálním operátoru ${ displaystyle D}$ je instancí Pincherleova diferenciace.)

V případě Hermitovy polynomy, to se redukuje na konvenční vzorec rekurze pro tuto sekvenci.

Podskupina Shefferových polynomů

Sada všech Appellových sekvencí je uzavřena pod operací umbrální kompozice polynomiálních sekvencí, která je definována následovně. Předpokládat ${ displaystyle {p_ {n} (x) dvojtečka n = 0,1,2, ldots }}$ a ${ displaystyle {q_ {n} (x) dvojtečka n = 0,1,2, ldots }}$ jsou polynomiální sekvence dané vztahem

{ displaystyle p_ {n} (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} a_ {n, k} x ^ {k} { text {a}} q_ {n} (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} b_ {n, k} x ^ {k}.}

Pak umbral složení ${ displaystyle p circ q}$ je polynomiální sekvence, jejíž ${ displaystyle n}$ th termín je

{ displaystyle (p_ {n} circ q) (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} a_ {n, k} q_ {k} (x) = součet _ {0 leq k leq ell leq n} a_ {n, k} b_ {k, ell} x ^ { ell}}

(dolní index ${ displaystyle n}$ se objeví v ${ displaystyle p_ {n}}$ , protože toto je ${ displaystyle n}$ th termín této sekvence, ale ne v ${ displaystyle q}$ , protože to odkazuje na sekvenci jako celek, spíše než na jeden z jejích termínů).

V rámci této operace je sada všech Shefferových sekvencí a neabelská skupina, ale sada všech Appellových sekvencí je abelian podskupina. Že je to abelian, lze vidět na základě skutečnosti, že každá Appellova sekvence má formu

{ displaystyle p_ {n} (x) = left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {k!}} D ^ {k} right) x ^ {n},}

a že umbral složení Appellových sekvencí odpovídá jejich násobení formální mocenské řady v operátoru ${ displaystyle D}$ .

Odlišná konvence

Další konvence následovaná některými autory (viz Chihara) definuje tento koncept jiným způsobem, což je v rozporu s původní definicí Appella, pomocí identity

{ displaystyle {d over dx} p_ {n} (x) = p_ {n-1} (x)}

namísto.

Viz také

Reference

Appell, Paul (1880). „Sur une classe de polynômes“. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 2e Série. 9: 119–144.
Roman, Steven; Rota, Gian-Carlo (1978). „Umbral Calculus“. Pokroky v matematice. 27 (2): 95–188. doi:10.1016/0001-8708(78)90087-7..
Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D .; Odlyzko, Andrew (1973). "Konečný počet operátorů". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 42 (3): 685–760. doi:10.1016 / 0022-247X (73) 90172-8. Přetištěno v knize se stejným názvem, Academic Press, New York, 1975.
Steven Roman. Pupeční kalkul. Dover Publications.
Theodore Seio Chihara (1978). Úvod do ortogonálních polynomů. Gordon and Breach, New York. ISBN 978-0-677-04150-6.

externí odkazy

„Appell polynomials“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Appell Sequence na MathWorld