Zobecněná Fourierova řada - Generalized Fourier series

v matematická analýza, mnoho zobecnění Fourierova řada se ukázaly jako užitečné. Jsou to všechno zvláštní případy rozkladu nad ortonormální základ z vnitřní produktový prostor. Zde uvažujeme o čtvercově integrovatelný funkce definované na interval z skutečná linie, což je důležité mimo jiné pro interpolace teorie.

Definice

Zvažte sadu čtvercově integrovatelný funkce s hodnotami v ${ displaystyle mathbb {F} = mathbb {C} { mbox {nebo}} mathbb {R}}$ ,

{ displaystyle Phi = { varphi _ {n}: [a, b] rightarrow mathbb {F} } _ {n = 0} ^ { infty},}

které jsou párové ortogonální pro vnitřní produkt

{ displaystyle langle f, g rangle _ {w} = int _ {a} ^ {b} f (x) , { overline {g}} (x) , w (x) , dx }

kde w(X) je váhová funkce, a ${ displaystyle { overline { cdot}}}$ představuje komplexní konjugace, tj. ${ displaystyle { overline {g}} (x) = g (x)}$ pro ${ displaystyle mathbb {F} = mathbb {R}}$ .

The zobecněná Fourierova řada a čtvercově integrovatelný funkce F: [A, b] → ${ displaystyle mathbb {F}}$ , s ohledem na then, je tedy

{ displaystyle f (x) sim sum _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} varphi _ {n} (x),}

kde jsou koeficienty dány vztahem

{ displaystyle c_ {n} = { langle f, varphi _ {n} rangle _ {w} over | varphi _ {n} | _ {w} ^ {2}}.}

Pokud je Φ úplná sada, tj. An ortonormální základ prostoru všech funkcí integrovatelných do čtverců na [A, b], na rozdíl od menší ortonormální množiny, relace ${ displaystyle sim ,}$ se stává rovností v L² smysl, přesněji modulo | · |_w (ne nutně bodově, ani téměř všude ).

Příklad (série Fourier – Legendre)

The Legendární polynomy jsou řešení Sturm – Liouvilleův problém

{ displaystyle left ((1-x ^ {2}) P_ {n} '(x) right)' + n (n + 1) P_ {n} (x) = 0}

a protože teorie Sturm-Liouville, tyto polynomy jsou vlastní funkce problému a jsou řešení ortogonální vzhledem k vnitřnímu produktu výše s jednotkovou hmotností. Můžeme tedy vytvořit zobecněnou Fourierovu řadu (známou jako Fourier – Legendreova řada) zahrnující Legendrovy polynomy a

{ displaystyle f (x) sim sum _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} P_ {n} (x),}

{ displaystyle c_ {n} = { langle f, P_ {n} rangle _ {w} over | P_ {n} | _ {w} ^ {2}}}

Jako příklad pojďme vypočítat Fourier – Legendrovu řadu pro ƒ(X) = cosX nad [-1,1]. Nyní,

{ displaystyle { begin {aligned} c_ {0} & = { int _ {- 1} ^ {1} cos {x} , dx over int _ {- 1} ^ {1} (1 ) ^ {2} , dx} = sin {1} c_ {1} & = { int _ {- 1} ^ {1} x cos {x} , dx over int _ { -1} ^ {1} x ^ {2} , dx} = {0 nad 2/3} = 0 c_ {2} & = { int _ {- 1} ^ {1} {3x ^ {2} -1 nad 2} cos {x} , dx nad int _ {- 1} ^ {1} {9x ^ {4} -6x ^ {2} +1 nad 4} , dx} = {6 cos {1} -4 sin {1} nad 2/5} end {zarovnáno}}}

a série zahrnující tyto výrazy

{ displaystyle c_ {2} P_ {2} (x) + c_ {1} P_ {1} (x) + c_ {0} P_ {0} (x) = {5 nad 2} (6 cos { 1} -4 sin {1}) left ({3x ^ {2} -1 over 2} right) + sin 1}

{ displaystyle = left ({45 nad 2} cos {1} -15 sin {1} vpravo) x ^ {2} +6 sin {1} - {15 nad 2} cos { 1}}

který se liší od cos X o přibližně 0,003, přibližně 0. Může být výhodné použít takovou Fourier – Legendrovu řadu, protože vlastní funkce jsou všechny polynomy, a proto se integrály, a tedy i koeficienty, počítají snadněji.

Věty o koeficientech

Některé věty o koeficientech C_n zahrnout:

Besselova nerovnost

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} | c_ {n} | ^ {2} leq int _ {a} ^ {b} | f (x) | ^ {2} w ( x) , dx.}

Parsevalova věta

Pokud Φ je kompletní sada,

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} | c_ {n} | ^ {2} = int _ {a} ^ {b} | f (x) | ^ {2} w (x ) , dx.}