Hall – Littlewoodovy polynomy - Hall–Littlewood polynomials
v matematika, Hall – Littlewoodovy polynomy jsou symetrické funkce v závislosti na parametru t a a rozdělit λ. Oni jsou Schurovy funkce když t je 0 a monomiální symetrické funkce, když t je 1 a jedná se o speciální případy Macdonaldovy polynomy Nejprve byly nepřímo definovány Philip Hall za použití Hallova algebra, a později definováno přímo Dudley E. Littlewood (1961).
Definice
Hall-Littlewoodův polynom P je definováno
kde λ je nejvýše oddíl n s prvky λi, a m(i) prvky rovnající se i, a Sn je symetrická skupina řádu n!.
Jako příklad,
Specializace
To máme , a kde druhý je Schur P polynomy.
Vlastnosti
Rozšiřování Schurovy polynomy pokud jde o polynomy Hall-Littlewood, jeden má
kde jsou Kostka – Foulkesovy polynomy. Všimněte si, že jako , tyto se snižují na běžné koeficienty Kostky.
Kombinatorický popis polynomů Kostka – Foulkes poskytli Lascoux a Schützenberger,
kde „náboj“ je určitá kombinatorická statistika na polostandardních Young tableaux a součet je převzat za všechna polostandardní Young tableaux s tvarem λ a zadejteμ.
Viz také
Reference
- I.G. Macdonald (1979). Symetrické funkce a Hallovy polynomy. Oxford University Press. 101–104. ISBN 0-19-853530-9.
- D.E. Littlewood (1961). Msgstr "Na určitých symetrických funkcích". Proceedings of the London Mathematical Society. 43: 485–498. doi:10,1112 / plms / s3-11.1.485.