Ortogonální polynomy na jednotkové kružnici - Orthogonal polynomials on the unit circle - Wikipedia

V matematice ortogonální polynomy na jednotkové kružnici jsou rodiny polynomy, které jsou vzhledem k integraci kolmé přes jednotkový kruh v složité letadlo, pro některé míra pravděpodobnosti na jednotkovém kruhu. Byly představeny Szegő (1920, 1921, 1939 ).

Definice

Předpokládejme to ${ displaystyle mu}$ je míra pravděpodobnosti na jednotkové kružnici v komplexní rovině, jejíž Podpěra, podpora není konečný. Ortogonální polynomy spojené s ${ displaystyle mu}$ jsou polynomy ${ displaystyle Phi _ {n} (z)}$ s vedoucím termínem ${ displaystyle z ^ {n}}$ které jsou kolmé vzhledem k míře ${ displaystyle mu}$.

Opakování Szegő

Szegőovo opakování to uvádí

${ displaystyle Phi _ {0} (z) = 1}$

${ displaystyle Phi _ {n + 1} (z) = z Phi _ {n} (z) - { overline { alpha}} _ {n} Phi _ {n} ^ {*} (z )}$

kde

${ displaystyle Phi _ {n} ^ {*} (z) = z ^ {n} { overline { Phi _ {n} (1 / { overline {z}})}}}$

je polynom se svými koeficienty obrácenými a komplexně konjugovanými a kde Verblunského koeficienty ${ displaystyle alpha _ {n}}$ jsou komplexní čísla s absolutními hodnotami menšími než 1.

Verblunského věta

Verblunskyho věta uvádí, že jakákoli posloupnost komplexních čísel na disku otevřené jednotky je posloupností Verblunského koeficientů pro jedinečnou míru pravděpodobnosti na jednotkovém kruhu s nekonečnou podporou.

Geronimova věta

Geronimova věta uvádí, že Verblunského koeficienty míry μ jsou Schurovy parametry funkce ${ displaystyle f}$ definované rovnicemi

${ displaystyle { frac {1 + zf (z)} {1-zf (z)}} = F (z) = int { frac {e ^ {i theta} + z} {e ^ {i theta} -z}} d mu.}$

Baxterova věta

Baxterova věta uvádí, že Verblunského koeficienty tvoří absolutně konvergentní řadu právě tehdy, když momenty ${ displaystyle mu}$ tvoří absolutně konvergentní řadu a váhovou funkci ${ displaystyle w}$ je všude přísně pozitivní.

Szegőova věta

Szegőova věta to říká

${ displaystyle prod _ {n = 1} ^ { infty} (1- | alpha _ {n} | ^ {2}) = exp { big (} int _ {0} ^ {2 pi} log (w ( theta)) d theta / 2 pi { big)}}$

kde ${ displaystyle wd theta / 2 pi}$ je absolutně kontinuální součástí opatření ${ displaystyle mu}$.

Rakhmanovova věta

Rakhmanovova věta říká, že pokud je to absolutně spojitá část ${ displaystyle w}$ opatření ${ displaystyle mu}$ je pozitivní téměř všude než Verblunského koeficienty ${ displaystyle alpha _ {n}}$ mají tendenci k 0.

Příklady

The Rogers – Szegő polynomy jsou příkladem ortogonálních polynomů na jednotkové kružnici.

Reference

• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S. C .; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Ortogonální polynomy na jednotkové kružnici", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Simon, Barry (2005), Ortogonální polynomy na jednotkové kružnici. Část 1. Klasická teorie Publikace kolokvia Americké matematické společnosti, 54„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-3446-6, PAN  2105088
• Simon, Barry (2005), Ortogonální polynomy na jednotkové kružnici. Část 2. Spektrální teorie Publikace kolokvia Americké matematické společnosti, 54„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-3675-0, PAN  2105089
• Szegő, Gábor (1920), „Beiträge zur Theorie der Toeplitzschen Formen“, Mathematische Zeitschrift, 6 (3–4): 167–202, doi:10.1007 / BF01199955, ISSN  0025-5874, S2CID  118147030
• Szegő, Gábor (1921), „Beiträge zur Theorie der Toeplitzschen Formen“, Mathematische Zeitschrift, 9 (3–4): 167–190, doi:10.1007 / BF01279027, ISSN  0025-5874, S2CID  125157848
• Szegő, Gábor (1939), Ortogonální polynomy, Publikace kolokvia, XXIIIAmerická matematická společnost, ISBN  978-0-8218-1023-1, PAN  0372517