Duální Hahnovy polynomy - Dual Hahn polynomials

V matematice je duální Hahnovy polynomy jsou rodina ortogonální polynomy v Schéma Askey hypergeometrických ortogonálních polynomů. Jsou definovány na nejednotné mřížce ${ displaystyle x (s) = s (s + 1)}$ a jsou definovány jako

{ displaystyle w_ {n} ^ {(c)} (s, a, b) = { frac {(a-b + 1) _ {n} (a + c + 1) _ {n}} {n !}} {} _ {3} F_ {2} (- n, as, a + s + 1; a-b + a, a + c + 1; 1)}

pro ${ displaystyle n = 0,1, ..., N-1}$ a parametry ${ displaystyle a, b, c}$ jsou omezeny na ${ displaystyle - { frac {1} {2}}$ .

Všimněte si, že ${ displaystyle (u) _ {k}}$ je klesající a stoupající faktoriály, jinak známý jako Pochhammerův symbol, a ${ displaystyle {} _ {3} F_ {2} ( cdot)}$ je zobecněné hypergeometrické funkce

Roelof Koekoek, Peter A. Lesky a René F. Swarttouw (2010, 14) poskytují podrobný seznam jejich vlastností.

Ortogonalita

Polynomy Dual Hahna mají podmínku ortogonality

{ displaystyle sum _ {s = a} ^ {b-1} w_ {n} ^ {(c)} (s, a, b) w_ {m} ^ {(c)} (s, a, b ) rho (s) [ Delta x (s - { frac {1} {2}})] = delta _ {nm} d_ {n} ^ {2}}

pro ${ displaystyle n, m = 0,1, ..., N-1}$ . Kde ${ displaystyle Delta x (s) = x (s + 1) -x (s)}$ ,

{ displaystyle rho (s) = { frac { gama (a + s + 1) gama (c + s + 1)} { gama (s-a + 1) gama (bs) gama ( b + s + 1) Gamma (s-c + 1)}}}

a

{ displaystyle d_ {n} ^ {2} = { frac { gama (a + c + n + a)} {n! (b-a-n-1)! gama (b-c-n)}}}

Numerická nestabilita

Jako hodnotu ${ displaystyle n}$ zvyšuje, zvyšují se také hodnoty, které diskrétní polynomy získávají. Ve výsledku získat numerická stabilita při výpočtu polynomů byste použili renormalizovaný Dual Hahn Polynomial, jak je definován jako

{ displaystyle { hat {w}} _ {n} ^ {(c)} (s, a, b) = w_ {n} ^ {(c)} (s, a, b) { sqrt {{ frac { rho (s)} {d_ {n} ^ {2}}} [ Delta x (s - { frac {1} {2}})]}}}

pro ${ displaystyle n = 0,1, ..., N-1}$ .

Potom se stane podmínka ortogonality

{ displaystyle sum _ {s = a} ^ {b-1} { hat {w}} _ {n} ^ {(c)} (s, a, b) { hat {w}} _ { m} ^ {(c)} (s, a, b) = delta _ {m, n}}

pro ${ displaystyle n, m = 0,1, ..., N-1}$

Opakovací a rozdílové vztahy

Rodriguesův vzorec

Generující funkce

Vztah k ostatním polynomům

Hahnovy polynomy, ${ displaystyle h_ {n} (x, N; alfa, beta)}$ , je definován na jednotné mřížce ${ displaystyle x (s) = s}$ a parametry ${ displaystyle a, b, c}$ jsou definovány jako ${ displaystyle a = ( alpha + beta) / 2, b = a + N, c = ( beta - alfa) / 2}$ . Poté nastavení ${ displaystyle alpha = beta = 0}$ the Hahnovy polynomy stát se Tchebichefovy polynomy. Všimněte si, že polynomy Dual Hahn mají a q-analog s dalším parametrem q známý jako Duální Hahnovy Q-polynomy

Racahovy polynomy jsou zobecněním duálních Hahnových polynomů

Reference

Zhu, Hongqing (2007), „Analýza obrazu diskrétními ortogonálními duálními Hahnovými momenty“ (PDF), Písmena pro rozpoznávání vzorů, 28 (13): 1688–1704, doi:10.1016 / j.patrec.2007.04.013
Hahn, Wolfgang (1949), „Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen“, Mathematische Nachrichten, 2 (1–2): 4–34, doi:10,1002 / many19490020103, ISSN 0025-584X, PAN 0030647
Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A .; Swarttouw, René F. (2010), Hypergeometrické ortogonální polynomy a jejich q-analogySpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, PAN 2656096
Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S. C .; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Hahn Class: Definitions“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, PAN 2723248