Spojité Hahnovy polynomy - Continuous Hahn polynomials

V matematice je spojité Hahnovy polynomy jsou rodina ortogonální polynomy v Schéma Askey hypergeometrických ortogonálních polynomů. Jsou definovány z hlediska zobecněné hypergeometrické funkce podle

${ displaystyle p_ {n} (x; a, b, c, d) = i ^ {n} { frac {(a + c) _ {n} (a + d) _ {n}} {n! }} {} _ {3} F_ {2} left ({ begin {array} {c} -n, n + a + b + c + d-1, a + ix a + c, a + d end {pole}}; 1 vpravo)}$

Roelof Koekoek, Peter A. Lesky a René F. Swarttouw (2010, 14) poskytují podrobný seznam jejich vlastností.

Blízce příbuzné polynomy zahrnují duální Hahnovy polynomy R_n(X; γ, δ,N), Hahnovy polynomy Q_n(X;A,b,C) a spojité duální Hahnovy polynomy S_n(X;A,b,C). Všechny tyto polynomy mají q-analogy s dalším parametrem q, tak jako q-Hahnovy polynomy Q_n(X; α, β, N;q), a tak dále.

Ortogonalita

Spojité Hahnovy polynomy str_n(X;A,b,C,d) jsou kolmé vzhledem k váhové funkci

${ Displaystyle w (x) = Gamma (a + ix) , Gamma (b + ix) , Gamma (c-ix) , Gamma (d-ix).}$

Zejména uspokojují vztah ortogonality^[1][2][3]

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} Gamma (a + ix) , Gamma (b + ix ) , Gamma (c-ix) , Gamma (d-ix) , p_ {m} (x; a, b, c, d) , p_ {n} (x; a, b, c , d) , dx & qquad qquad = { frac { Gamma (n + a + c) , Gamma (n + a + d) , Gamma (n + b + c) , Gamma (n + b + d)} {n! (2n + a + b + c + d-1) , Gamma (n + a + b + c + d-1)}} , delta _ {nm} end {aligned}}}$

pro ${ displaystyle Re (a)> 0}$, ${ displaystyle Re (b)> 0}$, ${ displaystyle Re (c)> 0}$, ${ displaystyle Re (d)> 0}$, ${ displaystyle c = { overline {a}}}$, ${ displaystyle d = { overline {b}}}$.

Opakovací a rozdílové vztahy

Posloupnost spojitých Hahnových polynomů splňuje relaci rekurence^[4]

${ displaystyle xp_ {n} (x) = p_ {n + 1} (x) + i (A_ {n} + C_ {n}) p_ {n} (x) -A_ {n-1} C_ {n } p_ {n-1} (x),}$

${ displaystyle { begin {aligned} { text {where}} quad & p_ {n} (x) = { frac {n! (n + a + b + c + d-1)!} {(2n + a + b + c + d-1)!}} p_ {n} (x; a, b, c, d), & A_ {n} = - { frac {(n + a + b + c + d-1) (n + a + c) (n + a + d)} {(2n + a + b + c + d-1) (2n + a + b + c + d)}}, { text {and}} quad & C_ {n} = { frac {n (n + b + c-1) (n + b + d-1)} {{2n + a + b + c + d- 2) (2n + a + b + c + d-1)}}. End {zarovnáno}}}$

Rodriguesův vzorec

Spojité Hahnovy polynomy jsou dány Rodriguesovým vzorcem^[5]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} & Gamma (a + ix) , Gamma (b + ix) , Gamma (c-ix) , Gamma (d-ix) , p_ {n} (x; a, b, c, d) & qquad = { frac {(-1) ^ {n}} {n!}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n }}} left ( Gamma left (a + { frac {n} {2}} + ix right) , Gamma left (b + { frac {n} {2}} + ix right) , Gamma left (c + { frac {n} {2}} - ix right) , Gamma left (d + { frac {n} {2}} - ix right) right). end {zarovnáno}}}$

Generování funkcí

Spojité Hahnovy polynomy mají následující generující funkci:^[6]

${ displaystyle { begin {aligned} & sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { Gamma (n + a + b + c + d) , gamma (a + c + 1 ) , Gama (a + d + 1)} {{gama (a + b + c + d) , gama (n + a + c + 1) , gama (n + a + d + 1) )}} (- it) ^ {n} p_ {n} (x; a, b, c, d) & qquad = (1-t) ^ {1-abcd} {} _ {3} F_ {2} left ({ begin {array} {c} { frac {1} {2}} (a + b + c + d-1), { frac {1} {2}} (a + b + c + d), a + ix a + c, a + d end {array}}; - { frac {4t} {(1-t) ^ {2}}} right). konec {zarovnáno}}}$

Druhá, odlišná generující funkce je dána

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { gama (a + c + 1) , gama (b + d + 1)} { gama (n + a + c +1) , Gamma (n + b + d + 1)}} t ^ {n} p_ {n} (x; a, b, c, d) = , _ {1} F_ {1} left ({ begin {array} {c} a + ix a + c end {array}}; - it right) , _ {1} F_ {1} left ({ begin {array} {c} d-ix b + d end {pole}}; to vpravo).}$

Vztah k ostatním polynomům

• The Wilsonovy polynomy jsou zobecněním spojitých Hahnových polynomů.
• The Batemanovy polynomy F_n(x) souvisí se zvláštním případem A=b=C=d= 1/2 spojitých Hahnových polynomů o

${ displaystyle p_ {n} left (x; { tfrac {1} {2}}, { tfrac {1} {2}}, { tfrac {1} {2}}, { tfrac {1 } {2}} right) = i ^ {n} n! F_ {n} left (2ix right).}$

• The Jacobiho polynomy P_n^{(α, β)}(x) lze získat jako omezující případ spojitých Hahnových polynomů:^[7]

${ displaystyle P_ {n} ^ {( alpha, beta)} = lim _ {t to infty} t ^ {- n} p_ {n} left ({ tfrac {1} {2} } xt; { tfrac {1} {2}} ( alpha + 1-it), { tfrac {1} {2}} ( beta + 1 + it), { tfrac {1} {2} } ( alpha + 1 + it), { tfrac {1} {2}} ( beta + 1-it) right).}$

Reference

• Hahn, Wolfgang (1949), „Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen“, Mathematische Nachrichten, 2: 4–34, doi:10,1002 / many19490020103, ISSN  0025-584X, PAN  0030647
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A .; Swarttouw, René F. (2010), Hypergeometrické ortogonální polynomy a jejich q-analogySpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN  978-3-642-05013-8, PAN  2656096
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S. C .; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Hahn Class: Definitions“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Andrews, George E .; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Speciální funkce, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-62321-6