Cyklický graf (algebra) - Cycle graph (algebra)
v teorie skupin, podpole z abstraktní algebra, skupina graf cyklu ilustruje různé cykly a skupina a je zvláště užitečný při vizualizaci struktury malých konečné skupiny.
Cyklus je soubor pravomocí daného prvku skupiny A, kde An, n-tá síla prvku A je definován jako produkt A vynásobí sám n krát. Prvek A říká se generovat cyklu. V konečné skupině nějaký nenulový výkon A musí být skupinová identita, E; nejnižší taková síla je objednat cyklu, počet odlišných prvků v něm. V grafu cyklu je cyklus reprezentován jako mnohoúhelník, přičemž vrcholy představují prvky skupiny a spojovací čáry označující, že všechny prvky v tomto polygonu jsou členy stejného cyklu.
Cykly
Cykly se mohou překrývat nebo nemohou mít žádný společný prvek kromě identity. Graf cyklu zobrazuje každý zajímavý cyklus jako mnohoúhelník.
Li A generuje cyklus objednávky 6 (nebo, v krátkosti, má pořadí 6) A6 = E. Pak soubor pravomocí A2, {A2, A4, E} je cyklus, ale ve skutečnosti nejde o žádnou novou informaci. Podobně, A5 generuje stejný cyklus jako A sám.
Takže pouze primitivní je třeba vzít v úvahu cykly, zejména ty, které nejsou podmnožiny jiného cyklu. Každý z nich je generován některými primitivní prvek, A. Vzít jednu směřovat pro každý prvek původní skupiny. Pro každý primitivní prvek se připojte E na A, A na A2, ..., An−1 na Anatd., dokud E je dosaženo. Výsledkem je cyklický graf.
Když A2 = E, A má objednávku 2 (je involuce ) a je připojen k E o dva okraje. Kromě případů, kdy je záměrem zdůraznit dva okraje cyklu, je obvykle nakreslen[1] jako jeden řádek mezi dvěma prvky.
Vlastnosti
 Dih4 kaleidoskop s červeným zrcadlem a čtyřnásobnými rotačními generátory |  Cyklický graf pro dihedrální skupina Dih4. |
Jako příklad grafu skupinového cyklu zvažte dihedrální skupina Dih4. Tabulka násobení pro tuto skupinu je zobrazena vlevo a graf cyklu je zobrazen vpravo s E určení prvku identity.
| Ó | E | b | A | A2 | A3 | ab | A2b | A3b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| E | E | b | A | A2 | A3 | ab | A2b | A3b |
| b | b | E | A3b | A2b | ab | A3 | A2 | A |
| A | A | ab | A2 | A3 | E | A2b | A3b | b |
| A2 | A2 | A2b | A3 | E | A | A3b | b | ab |
| A3 | A3 | A3b | E | A | A2 | b | ab | A2b |
| ab | ab | A | b | A3b | A2b | E | A3 | A2 |
| A2b | A2b | A2 | ab | b | A3b | A | E | A3 |
| A3b | A3b | A3 | A2b | ab | b | A2 | A | E |
Všimněte si cyklu {E, A, A2, A3} v tabulce násobení, s A4 = E. Inverzní A−1 = A3 je také generátorem tohoto cyklu: (A3)2 = A2, (A3)3 = A, a (A3)4 = E. Podobně jakýkoli cyklus v jakékoli skupině má alespoň dva generátory a lze jej procházet v obou směrech. Obecněji řečeno, počet generátory cyklu s n prvků je dán Eulerova funkce φ z n, a kterýkoli z těchto generátorů může být zapsán jako první uzel v cyklu (vedle identity E); nebo častěji jsou uzly ponechány neoznačené. V generátoru se nemohou protínat dva odlišné cykly.
Cykly, které obsahují nepočáteční počet prvků, mají cyklické podskupiny, které se v grafu nezobrazují. Pro skupinu Dih4 výše bychom mohli nakreslit čáru mezi A2 a E od té doby (A2)2 = E, ale od A2 je součástí většího cyklu, nejedná se o okraj grafu cyklu.
Může existovat nejednoznačnost, když dva cykly sdílejí prvek neidentity. Například 8 prvků čtveřice skupina má graf cyklu zobrazený vpravo. Každý z prvků ve středním řádku, když je vynásoben, dává −1 (kde 1 je prvek identity). V tomto případě můžeme použít různé barvy ke sledování cyklů, i když budou fungovat i úvahy o symetrii.
Jak již bylo uvedeno výše, dva okraje 2prvkového cyklu jsou obvykle reprezentovány jako jedna čára.
Inverzní prvek je uzel symetrický k němu v jeho cyklu, s ohledem na odraz, který fixuje identitu.
Dějiny
Cyklické grafy byly zkoumány teoretikem čísel Daniel Shanks na počátku 50. let jako nástroj ke studiu multiplikativní skupiny tříd reziduí.[2] Shanks tuto myšlenku poprvé publikoval v prvním vydání své knihy v roce 1962 Vyřešené a nevyřešené problémy v teorii čísel.[3] V knize Shanks zkoumá, které skupiny mají izomorfní cyklické grafy a kdy je cyklický graf rovinný.[4] Ve druhém vydání z roku 1978 Shanks uvažuje o svém výzkumu třídní skupiny a rozvoj baby-step obří krok metoda:[5]
Cyklické grafy se ukázaly jako užitečné při práci s konečnými abelianskými skupinami; a často jsem je používal při orientaci ve složité struktuře [77, s. 852], při získávání hledaného multiplikativního vztahu [78, s. 1] 426], nebo při izolaci některé hledané podskupiny [79].
Cyklické grafy se používají jako pedagogický nástroj v úvodní učebnici Nathana Cartera z roku 2009 Teorie vizuální skupiny.[6]
Charakteristiky grafů jednotlivých skupin skupin
Určité typy skupin poskytují typické grafy:
Cyklické skupiny Zn, objednat n, je jeden cyklus, který je graficky znázorněn jednoduše jako n-stranný mnohoúhelník s prvky na vrcholech:
 |  |  |  |  |  |  |  |
| Z1 | Z2 = Dih1 | Z3 | Z4 | Z5 | Z6 = Z3× Z.2 | Z7 | Z8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 |  |  |  |  |  |  |  |
| Z9 | Z10 = Z5× Z.2 | Z11 | Z12 = Z4× Z.3 | Z13 | Z14 = Z7× Z.2 | Z15 = Z5× Z.3 | Z16 |
 |  |  |  |  |  |  |  |
| Z17 | Z18 = Z9× Z.2 | Z19 | Z20 = Z5× Z.4 | Z21 = Z7× Z.3 | Z22 = Z11× Z.2 | Z23 | Z24 = Z8× Z.3 |
|  |  |  |
| Z2 | Z22 = Dih2 | Z23 = Dih2× Dih1 | Z24 = Dih22 |
|---|
Když n je prvočíslo, skupiny formuláře (Zn)m budu mít (nm − 1)/(n − 1) n-prvkové cykly sdílení prvku identity:
| | |  |
| Z22 = Dih2 | Z23 = Dih2× Dih1 | Z24 = Dih22 | Z32 |
|---|
Vzepětí skupiny Dihn, objednávka 2n se skládá z n-prvkový cyklus a n 2-prvkové cykly:
| |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Dih1 = Z2 | Dih2 = Z22 | Dih3 | Dih4 | Dih5 | Dih6 = Dih3× Z.2 | Dih7 | Dih8 | Dih9 | Dih10 = Dih5× Z.2 |
|---|
Dicyklické skupiny, Dicn = Q4n, objednávka 4n:
 |  |  |  |  |
| Dic2 = Q8 | Dic3 = Q12 | Dic4 = Q16 | Dic5 = Q20 | Dic6 = Q24 |
|---|
jiný přímé produkty:
 |  |  |  |  |
| Z4× Z.2 | Z4× Z.22 | Z6× Z.2 | Z8× Z.2 | Z42 |
|---|
Symetrické skupiny - Symetrická skupina S.n obsahuje, pro jakoukoli skupinu objednávky n, podskupina isomorfní s touto skupinou. Tudíž cyklický graf každé skupiny řádu n najdete v grafu cyklu Sn.
Viz příklad: Podskupiny S4
Příklad: Podskupiny celé oktaedrické skupiny
The plná oktaedrická skupina je křížovým součinem symetrické skupiny S.4 a cyklická skupina Z2.
Jeho pořadí je 48 a má podskupiny každé objednávky, která rozděluje 48.
V příkladech níže jsou uzly, které spolu souvisejí, umístěny vedle sebe,
nejde tedy o nejjednodušší možné cyklické grafy pro tyto skupiny (jako jsou ty napravo).
 |  |  |  |
| S4 × Z.2 (objednávka 48) | A4 × Z.2 (objednávka 24) | Dih4 × Z.2 (objednávka 16) | S3 × Z.2 = Dih6 (objednávka 12) |
|---|---|---|---|
 |  |  |  |
| S4 (objednávka 24) | A4 (objednávka 12) | Dih4 (objednávka 8) | S3 = Dih3 (objednávka 6) |
Stejně jako všechny grafy lze cyklický graf znázornit různými způsoby, aby se zdůraznily různé vlastnosti. Dvě reprezentace cyklického grafu S4 jsou toho příkladem.
   Cyklický graf S4 jak je uvedeno výše, zdůrazňuje tři Dih4 podskupiny. |   Toto odlišné znázornění zdůrazňuje symetrii viděnou v inverze sady vpravo. |
Viz také
externí odkazy
Reference
- ^ Sarah Perkins (2000). „Grafy involuce do dojíždění pro A˜n, oddíl 2.2, s. 3, první obrázek“ (PDF). Birkbeck College, Malet Street, London, WC1E 7HX: School of Economics, Mathematics and Statistics. Citováno 2016-01-31.CS1 maint: umístění (odkaz)
- ^ Shanks 1978, str. 246.
- ^ Shanks 1978, str. xii.
- ^ Shanks 1978, s. 83–98, 206–208.
- ^ Shanks 1978, str. 225.
- ^ Carter, Nathan (2009), Teorie vizuální skupinyZdroje učeben, Matematická asociace Ameriky, ISBN 978-0-88385-757-1
- Skiena, S. (1990). Cykly, hvězdy a kola. Implementace diskrétní matematiky: Kombinatorika a teorie grafů s Mathematica (str. 144-147).
- Shanks, Daniel (1978) [1962], Vyřešené a nevyřešené problémy v teorii čísel (2. vyd.), New York: Chelsea Publishing Company, ISBN 0-8284-0297-3
- Pemmaraju, S., & Skiena, S. (2003). Cykly, hvězdy a kola. Výpočetní diskrétní matematika: Kombinatorika a teorie grafů s Mathematica (str. 248-249). Cambridge University Press.