Nulový prvek - Zero element - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Nulový prvek"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a nulový prvek je jedním z několika zobecnění číslo nula jiným algebraické struktury. Tyto alternativní významy se mohou nebo nemusí snížit na stejnou věc, v závislosti na kontextu.

Aditivní identity

An aditivní identita je prvek identity v aditivní skupina. Odpovídá prvku 0 tak, že pro všechna x ve skupině platí 0 + X = X + 0 = X. Mezi příklady aditivní identity patří:

• The nulový vektor pod vektorové přidání: vektor délky 0 a jehož komponenty jsou všechny 0. Často se označuje jako ${ displaystyle mathbf {0}}$ nebo ${ displaystyle { vec {0}}}$.^[1][2][3]
• The nulová funkce nebo nulová mapa definován z(X) = 0pod bodové sčítání (F + G)(X) = F(X) + G(X)
• The prázdná sada pod nastavit unii
• An prázdná částka nebo prázdný koprodukt
• An počáteční objekt v kategorie (prázdný koprodukt, a tak identita pod koprodukty )

Absorpční prvky

An absorpční prvek v multiplikaci poloskupina nebo semiring zobecňuje majetek 0 ⋅ X = 0. Mezi příklady patří:

• The prázdná sada, což je absorpční prvek pod kartézský součin sad, protože { } × S = { }
• The nulová funkce nebo nulová mapa definován z(X) = 0 pod bodové násobení (F ⋅ G)(X) = F(X) ⋅ G(X)

Mnoho absorbujících prvků je také aditivní identita, včetně prázdné množiny a nulové funkce. Dalším důležitým příkladem je rozlišující prvek 0 v a pole nebo prsten, což je jak aditivní identita, tak multiplikativní absorpční prvek, a jehož hlavní ideál je nejmenší ideál.

Nulové objekty

A nulový objekt v kategorie je obojí počáteční a koncový objekt (a tedy identita pod oběma koprodukty a produkty ). Například triviální struktura (obsahující pouze identitu) je nulovým objektem v kategoriích, kde morfismy musí mapovat identity na identity. Mezi konkrétní příklady patří:

• The triviální skupinaobsahující pouze identitu (nulový objekt v kategorie skupin )
• The nulový modulobsahující pouze identitu (nulový objekt v kategorii moduly přes prsten)

Nulové morfismy

A nulový morfismus v kategorie je zobecněný absorpční prvek pod složení funkce: jakýkoli morfismus složený s nulovým morfismem dává nulový morfismus. Konkrétně pokud 0_XY : X → Y je nulový morfismus mezi morfismy z X na Y, a F : A → X a G : Y → B jsou tedy libovolné morfismy G ∘ 0_XY = 0_XB a 0_XY ∘ F = 0_AY.

Pokud má kategorie nulový objekt 0, pak existují kanonické morfismy X → 0 a 0 → Y, a jejich složení dává nulový morfismus 0_XY : X → Y. V kategorie skupin například nulové morfismy jsou morfismy, které vždy vracejí skupinové identity, čímž zobecňují funkci z(X) = 0.

Nejméně prvků

A nejmenší prvek v částečně objednaná sada nebo mříž může být někdy nazýván nulovým prvkem a zapsán jako 0 nebo ⊥.

Nulový modul

v matematika, nulový modul je modul skládající se pouze z přísady identita pro modul přidání funkce. V celá čísla, tato identita je nula, který dává jméno nulový modul. To, že nulový modul je ve skutečnosti modul, je snadné ukázat; je uzavřen po přidání a násobení triviálně.

Nula ideální

v matematika, nula ideál v prsten ${ displaystyle R}$ je ideální ${ displaystyle {0 }}$ sestávající pouze z doplňkové identity (nebo nula živel). Skutečnost, že se jedná o ideál, vyplývá přímo z definice.

Nulová matice

v matematika, zejména lineární algebra, a nulová matice je matice se všemi jeho položkami nula. Je střídavě označen symbolem ${ displaystyle O}$.^[1] Některé příklady nulových matic jsou

${ displaystyle 0_ {1,1} = { begin {bmatrix} 0 end {bmatrix}}, 0_ {2,2} = { begin {bmatrix} 0 & 0 0 & 0 end {bmatrix}}, 0_ {2,3} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}, }$

Sada m × n matice se záznamy v a prsten K. tvoří modul ${ displaystyle K_ {m, n}}$. Nulová matice ${ displaystyle 0_ {K_ {m, n}}}$ v ${ displaystyle K_ {m, n}}$ je matice se všemi položkami rovnými ${ displaystyle 0_ {K}}$, kde ${ displaystyle 0_ {K}}$ je aditivní identita v K..

${ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} = { begin {bmatrix} 0_ {K} & 0_ {K} & cdots & 0_ {K} 0_ {K} & 0_ {K} & cdots & 0_ {K } vdots & vdots && vdots 0_ {K} & 0_ {K} & cdots & 0_ {K} end {bmatrix}}}$

Nulová matice je aditivní identita v ${ displaystyle K_ {m, n}}$. To znamená pro všechny ${ displaystyle A v K_ {m, n}}$:

${ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} + A = A + 0_ {K_ {m, n}} = A}$

Existuje přesně jedna nulová matice jakékoli dané velikosti m × n (s položkami z daného kruhu), takže když je kontext jasný, často se na něj odkazuje the nulová matice. Obecně je nulový prvek prstence jedinečný a obvykle se označuje jako 0 bez indexu, který by označoval nadřazený prsten. Výše uvedené příklady tedy představují nulové matice nad jakýmkoli prstencem.

Nulová matice také představuje lineární transformace který posílá všechny vektory na nulový vektor.

Nulový tenzor

v matematika, nulový tenzor je tenzor, jakéhokoli pořadí, jehož všechny komponenty jsou nula. Nulový tenzor řádu 1 je někdy známý jako nulový vektor.

Užívání a tenzorový produkt jakéhokoli tenzoru s jakýmkoli nulovým tenzorem vede k dalšímu nulovému tenzoru. Přidání nulového tenzoru je ekvivalentní operaci identity.

Viz také

• Nulová poloskupina
• Nulový dělitel
• Nulový objekt
• Nula funkce
• Nula - nematematická použití

Reference