Björlingův problém - Björling problem

Katalánský minimální povrch. Lze jej definovat jako minimální povrch symetricky procházející cykloidem.

v diferenciální geometrie, Björlingův problém je problém najít minimální povrch procházející danou křivkou s předepsanými normálami (nebo tečnými rovinami). Problém položil a vyřešil švédský matematik Emanuel Gabriel Björling,^[1] s dalším upřesněním Hermann Schwarz.^[2]

Problém lze vyřešit prodloužením povrchu z křivky pomocí komplexu analytické pokračování. Li ${ Displaystyle c (s)}$ je skutečná analytická křivka v ℝ³ definované v intervalu Já, s ${ displaystyle c '(s) neq 0}$ a vektorové pole ${ displaystyle n (s)}$ podél C takhle ${ displaystyle || n (t) || = 1}$ a ${ displaystyle c '(t) cdot n (t) = 0}$, pak je následující povrch minimální:

${ Displaystyle X (u, v) = Re vlevo (c (w) -i int _ {w_ {0}} ^ {w} n (w) krát c '(w) , dw doprava )}$

kde ${ displaystyle w = u + iv in Omega}$, ${ displaystyle u_ {0} v I}$, a ${ displaystyle I podmnožina Omega}$ je jednoduše připojená doména, kde je zahrnut interval a rozšíření energetických řad o ${ Displaystyle c (s)}$ a ${ displaystyle n (s)}$ jsou konvergentní.^[3]

Klasickým příkladem je Katalánský minimální povrch, který prochází a cykloidní křivka. Použití metody na a semikubická parabola vyrábí Hennebergův povrch, a do kruhu (s vhodně zkrouceným normálním polem) minimum Möbiusův proužek.^[4]

Unikátní řešení vždy existuje. Lze jej zobrazit jako a Cauchyho problém pro minimální povrchy, což umožňuje najít povrch, pokud je znám geodetický, asymptotový nebo křivkový oblouk. Zejména pokud je křivka rovinná a geodetická, pak rovina křivky bude rovinou symetrie povrchu.^[5]

Reference

Galerie externích obrázků

• Björling Surfaces, v Indiana Minimal Surface Archive: http://www.indiana.edu/~minimal/archive/Bjoerling/index.html